柳卡圖解決多次相遇與追及問題

1、數(shù)海拾貝我不知道世人怎樣看我， 但我自己以為我不過像一個在海邊玩耍的孩子，不時為發(fā)現(xiàn)比尋常更為美麗的一塊卵石或一片貝殼而沾沾自喜，至于展現(xiàn)在我面前的浩翰的真理海洋，卻全然沒有發(fā)現(xiàn)。-牛頓（英國）柳卡圖解決多次相遇與追及問題解多次相遇問題的工具一一柳卡柳卡圖，不用基本公式解決， 快速的解法是直接畫時間 -距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線, 按要求數(shù)交點(diǎn)個數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動過程中相遇的次數(shù)相遇的地點(diǎn)”，以及 由相遇的地點(diǎn)求出全程 ”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個 物體走完一個全程時所用的時間是多少？（下面的例題基本都是先求得時間，然后畫出準(zhǔn)確的柳卡圖，若用比例的方法

2、更快更方便，本講暫不用比例來解答，有興趣的同學(xué)可以自己 畫畫看）如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易?！纠?】 每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開 往哈佛輪船在途中均要航行七天七夜試問：某條從哈佛開出的輪船在到達(dá)紐約前（途 中）能遇上幾艘從紐約開來的輪船？解答：（這題不是我解答的）這就是著名的柳卡問題下面介紹的法國數(shù)學(xué)家柳卡斯圖姆給出的一個非常直觀巧妙的解法.他先畫了如下一幅圖：這是一張運(yùn)行圖.在平面上畫兩條平行線，以一條直線表示哈佛，另一條直線表示紐 約那么，從哈佛或紐約開出的輪船，就可用圖中的兩組平行線簇來表示.圖中的每條線段分別表示每

3、條船的運(yùn)行情況.粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點(diǎn)即為與對方開來輪船相遇的情況.從圖中可以看出，某天中午從哈佛開出的一條輪船（圖中用實(shí)線表示） 會與從紐約開出的15艘輪船相遇（圖中用虛線表示）而且在這相遇的15艘船中，有1艘是在出發(fā)時遇到（從紐約剛到達(dá)哈佛），1艘是到達(dá)紐約時遇到（剛好從紐約開出），剩下13艘則在海上相遇；另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時間是每天中午和子夜.如果不仔細(xì)思考，可能認(rèn)為僅遇到7艘輪船這個錯誤，主要是只考慮以后開出 的輪船而忽略了已在海上的輪船.【例 2 】 甲、乙兩人在一條長 <?xml:namespace prefix = st1 /

4、><?xml:namespace prefix= st1/><?xml: namespaceprefix = st1 /><?xml: namespaceprefix = st1/><?xml: namespace prefix = st1 />的直路上來回跑步，甲的速度是每秒，乙的速度是每秒0.6米如果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？解答：甲行一個全程用30勻=30秒，乙行一個全程用30弋.6=50秒，然后畫出下面柳卡圖：i甲，甲，乙】甲，乙20甲.從圖上看出，甲乙分別從兩端出發(fā)，150秒后又回到來位置，

5、所以可以看成150秒一個周期, 甲乙在1個周期里共相遇了 5次，10 >60出50=4個周期，共相遇了 4 X5=20次?！纠?】 A、 B兩地相距，甲從 A地、乙從 B地同時出發(fā)，在 A、 B兩地間往返鍛 煉乙跑步每分鐘行，甲步行每分鐘行在30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第幾次相遇時距B地最近（從后面追上也算作相遇 ）？最近距離是多少？解答：知道了兩地的距離，需要求出每個人走一個全程所用的時間，方便畫出柳卡圖。乙行一個全程用1000 150=6又2/3分，甲行一個全程用 1000為0=16又2/3分。0246810121416 1S 20222426303230分鐘內(nèi)，兩人一共合行（150+60 ） X30 1000=6.3個全程。畫出圖后，可以很清楚的可 以看到第3次相遇離B地最近。下面只要求的第三次相遇點(diǎn)距離B地多少千米即可。第三次相遇兩人共行了3個全程，1000 X3- （150+60 ） =14又2/7分鐘，這時甲行了 60 X14又2/7=6000/7 米，距離乙地還有 1000- 6000/7=142又6/7米?！眷柟獭緼、 B兩地相距甲、乙兩人同時由A地出發(fā)往返鍛煉半小時甲步行，每分鐘走；乙跑步，每分鐘行則甲、乙二人第幾次迎面相遇時距B地最近？解答：甲走一個全程需要 950 20=23.75分鐘，乙行一個全程需要 950 +150=6又1/3分