第一章函數(shù)極限連續(xù)

1、2021-12-16單單 位：永城職業(yè)學院位：永城職業(yè)學院制制 作：基礎部數(shù)學教研室作：基礎部數(shù)學教研室同 學 們 好現(xiàn)在開始上課Math1-1緒論緒論當自變量當自變量x取數(shù)值取數(shù)值 時，與時，與 對應的因變量對應的因變量y的的值稱為函數(shù)值稱為函數(shù) 在點在點 處的函數(shù)值處的函數(shù)值,記為記為 或或 .當當x 取遍取遍D內的各個數(shù)值時內的各個數(shù)值時, 對應的變量對應的變量y 取值取值的全體組成的全體組成0 xD0|x xy0 x0 x0()f x定義定義1.1 設設x與與y是兩個變量，若當變量是兩個變量，若當變量x在非空數(shù)集在非空數(shù)集D內任內任取一個數(shù)值時，變量取一個數(shù)值時，變量x 按照某種對應法

2、則按照某種對應法則f 總有一個確定總有一個確定的數(shù)值的數(shù)值y 與之對應，則稱變量與之對應，則稱變量y為變量為變量x 的的函數(shù)，記作函數(shù)，記作稱稱D為該函數(shù)的定義域為該函數(shù)的定義域.記為記為Df 稱稱x為自變量，稱為自變量，稱y為因變量為因變量.xD一、一、 函數(shù)概念函數(shù)概念數(shù)集稱做這個函數(shù)的值域數(shù)集稱做這個函數(shù)的值域. .記為記為Zf 。( )yf x( )yf x2. 2. 函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法 2,cosyxyx例例2 2 某工廠全年某工廠全年1 16 6月原材料進貨數(shù)量如下表，月原材料進貨數(shù)量如下表，這里表達的是時間和原材料進貨數(shù)量之間的關系這里表達的是時間和原材料進貨數(shù)量之間的關系

3、 T(月)123456Q(噸)01015111212(1)公式法公式法 用數(shù)學公式表示自變量和因變量之間的對應用數(shù)學公式表示自變量和因變量之間的對應關系，是函數(shù)的公式表示法關系，是函數(shù)的公式表示法.如如(2)表格法表格法 自變量自變量x與因變量與因變量y的一些對應值用表格列出的一些對應值用表格列出(3) 圖示法圖示法 用函數(shù)用函數(shù)y=f(x)的圖形給出自變量的圖形給出自變量x與與因因變量變量y 之間的關系之間的關系. .這種方法在工程技術上應用很普遍，其優(yōu)點是這種方法在工程技術上應用很普遍，其優(yōu)點是直觀形象，可看到函數(shù)的變化趨勢直觀形象，可看到函數(shù)的變化趨勢 說明說明 三種表示法各有所長，缺一

4、不可，如三角函數(shù)，三角三種表示法各有所長，缺一不可，如三角函數(shù)，三角函數(shù)表，三角函數(shù)圖像，都是表示三角函數(shù)，可以相函數(shù)表，三角函數(shù)圖像，都是表示三角函數(shù)，可以相互補充?；パa充。例例4 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域(1)(1)函數(shù)的定義域和對應法則是函數(shù)的兩個主要要素函數(shù)的定義域和對應法則是函數(shù)的兩個主要要素。 注注: :(2)(2)如果兩個函數(shù)具有相同的定義域和對應法則，則如果兩個函數(shù)具有相同的定義域和對應法則，則 它們是相同的函數(shù)它們是相同的函數(shù) (4)在研究由公式表達的函數(shù)時，我們約定：函數(shù)的定義在研究由公式表達的函數(shù)時，我們約定：函數(shù)的定義域是使函數(shù)表達式有意義的自變量的一切實數(shù)值所組

5、域是使函數(shù)表達式有意義的自變量的一切實數(shù)值所組成的數(shù)集成的數(shù)集.(3)在實際問題中，函數(shù)的定義域是由實際意義確定的在實際問題中，函數(shù)的定義域是由實際意義確定的.13xyx解解 當分母當分母 時時,此函數(shù)式都有意義此函數(shù)式都有意義30 x 因此函數(shù)的定義域為因此函數(shù)的定義域為(, 3)( 3,) 例例1求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域.216ln(sin )yxx44,2(21) ,012xnxnn即即， ， ， 所以函數(shù)的定義域為所以函數(shù)的定義域為 與與 . 4,)(0, ) 解要使函數(shù)解要使函數(shù)y 有定義，必須使有定義，必須使2160,sin0,xx成成立立 40,xx與與 這兩個不等式的公共

6、解為這兩個不等式的公共解為 對用解析式表示的函數(shù),求定義域時應當注意以下幾點: 函數(shù)表達式中含有分式,則分母不能為零; 函數(shù)表達式中含有偶次方根,則根式下表達式必須大于或等于零; 函數(shù)表達式中含有對數(shù),則真數(shù)必須大于零; 函數(shù)表達式中含有arcsinu 或 arccosu ,則必須滿足 u1 ; 分段函數(shù)的定義域是各部分自變量的取值范圍之并集3.3.分段函數(shù)分段函數(shù)在實際問題中在實際問題中, ,有時會遇到一個函數(shù)在定義域的有時會遇到一個函數(shù)在定義域的不同范圍內，用不同的解析式表示的情形，這樣的函不同范圍內，用不同的解析式表示的情形，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)數(shù)稱為分段函數(shù) 例如符號函數(shù)例如符號函數(shù)

7、 100010,sgn,xyxxx是一個分段函數(shù)，它的定義域為是一個分段函數(shù)，它的定義域為 (,) 分段函數(shù)是用幾個公式合起來表示一個函數(shù)，而不分段函數(shù)是用幾個公式合起來表示一個函數(shù)，而不是表示幾個函數(shù)是表示幾個函數(shù).1-1xyo 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線 (2) 取整函數(shù) y=xx表示不超過x的最大整數(shù) 30,352.53,11 2, 20,( ), 0,3, 03,xxf xxxxx f (x)的定義域是的定義域是-2, 3)，即分段函數(shù)的定義域為各，即分段函數(shù)的定義域為各段定義域的并集。段定義域的并集。例例2練習：練習：

8、分段函數(shù)分段函數(shù)21, 01,2( ), 12,196, 24,2xxf xxxxxx 求解：求解：1( ),(1),(3),(4)2ffff定義定義3 設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)是定義在是定義在Df上的一個函數(shù)，其值域為上的一個函數(shù)，其值域為Zf , ,對任意對任意y Zf , ,如果有唯一確定的滿足如果有唯一確定的滿足y=f(x)的的x Df與與之對應，則得到一個定義在之對應，則得到一個定義在Zf上以上以y為自變量的函數(shù)，我為自變量的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)們稱它為函數(shù)y =f (x)的反函數(shù)，記作的反函數(shù)，記作1( )xfy 4.4. 反函數(shù)反函數(shù)習慣上，常用習慣上，常用x來表示自變量，來表示

9、自變量，y 表示因變量，所表示因變量，所以我們可以將反函數(shù)改寫成以我們可以將反函數(shù)改寫成1( ) yfx 在直角坐標系中的在直角坐標系中的 圖形與圖形與y=f(x)的圖形是的圖形是1( )yfx 關于直線關于直線y = x 對稱的對稱的. .例例11 設函數(shù)設函數(shù)y=2x3，求它的反函數(shù)并畫出圖形，求它的反函數(shù)并畫出圖形.123 (3).2解解出出 得得yxxxy 解解于是得反函數(shù)于是得反函數(shù)1(3)2yx23yx1(3)2yxyx 1.1.奇偶性奇偶性設函數(shù)設函數(shù)y =f (x) 的定義域的定義域D是關于原點對稱的，即是關于原點對稱的，即當當 時，時， 有有 .xD xD 則稱則稱f (x)

10、為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關于為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關于y 軸對稱；軸對稱；()( ),fxf x如果對于任意的如果對于任意的 ，均有，均有Dx 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x)為奇函數(shù)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關于坐標原點對稱奇函數(shù)的圖形關于坐標原點對稱.如果對任意的如果對任意的 ,均有均有xD ()( ),fxf x 二、二、 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性例例12 討論下列函數(shù)的奇偶性討論下列函數(shù)的奇偶性:2(1) ( );f xx ;)()2(3xxf.)( ),()()(2)333是奇函數(shù)xxfxfxxxf. )( ),()()() 1 (222是偶函數(shù)xxfxfxxxf解解.)()3(32xxxf

11、,)( ,)( ,)()3(323232xxxfxxxfxxxf而),()( ),()(,0 xfxfxfxfx且時當. )(32函數(shù)既不是偶函數(shù)也不是奇所以xxxf練習：練習： 討論下列函數(shù)的奇偶性討論下列函數(shù)的奇偶性:3(1) ( )tan ;f xxx(2) ( )sin ;f xxx(3) ( )sin(sin ).f xx2(4) ( )cos;f xx 設函數(shù)設函數(shù)y=f (x), 如果存在正常數(shù)如果存在正常數(shù) T,使得對于定義域內使得對于定義域內的任何的任何x均有均有 f (x + T)=f (x) 成立，則稱函數(shù)成立，則稱函數(shù)y=f (x)為為顯然，若顯然，若T是周期函數(shù)是周期

12、函數(shù)f(x)的周期，則的周期，則kT也是也是f (x)的周期的周期(k=1,2,3 )，通常我們說的周期函數(shù)的周期就，通常我們說的周期函數(shù)的周期就是指最小正周期是指最小正周期. 2 . 周期性周期性 周期函數(shù)，周期函數(shù)，T為為f (x)的周期的周期.例如，函數(shù)例如，函數(shù)y=sin x及及y=cos x都是以都是以 為周期的為周期的周期函數(shù)；周期函數(shù)；2函數(shù)函數(shù)y=tan x及及y=cot x都是以都是以 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù).3.3.單調性單調性設函數(shù)設函數(shù)y = f (x) 在區(qū)間在區(qū)間I上有定義上有定義(即即是函數(shù)是函數(shù)y =f (x)的定義域或者是定義域的一部分的定義域或者是

13、定義域的一部分).如果對于任意的如果對于任意的 ，當，當 時，均有時，均有則稱函數(shù)則稱函數(shù)y =f (x)在區(qū)間在區(qū)間上單調增加上單調增加(或單調減少或單調減少).12,xxI 12xx 1212()() ()(),f xf xf xf x 或或 單調增加單調增加(或單調減少或單調減少)的函數(shù)又稱為單調遞增的函數(shù)又稱為單調遞增(單調遞減單調遞減)函數(shù)函數(shù),統(tǒng)稱為單調函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù),使函數(shù)保持單調使函數(shù)保持單調性的自變量的取值區(qū)間稱為該函數(shù)的單調區(qū)間性的自變量的取值區(qū)間稱為該函數(shù)的單調區(qū)間.函數(shù)函數(shù) 內是單調減少的，在內是單調減少的，在區(qū)間區(qū)間 上是單調增加的上是單調增加的,而在區(qū)間而在區(qū)間

14、 內則不是單調函數(shù)內則不是單調函數(shù).單調增加的函數(shù)的圖形是沿單調增加的函數(shù)的圖形是沿x 軸正向上升的；軸正向上升的；單調減少的函數(shù)的圖形是沿單調減少的函數(shù)的圖形是沿x 軸正向下降的；軸正向下降的；例如，函數(shù)例如，函數(shù) 內是單調增加的內是單調增加的.3( )(,)f xx 在在2( )(,0f xx在在(,) 0,)4.4.有界性有界性設函數(shù)設函數(shù)y =f (x)的定義域為的定義域為D，數(shù)集，數(shù)集 ,如果存如果存在正數(shù)在正數(shù)M，使得對于任意的，使得對于任意的 ,都有不等式都有不等式成立，則稱成立，則稱f (x)在在X上有界，如果這樣的上有界，如果這樣的M不存在，就不存在，就稱函數(shù)稱函數(shù)f (x)

15、在在X上無界上無界.如果如果M為為f (x)的一個界，易知比的一個界，易知比M大的任何一個大的任何一個正數(shù)都是正數(shù)都是f (x)的界的界.|( )|f xM xX XD 如果如果f (x)在在x上無界，那么對于任意一個給定的上無界，那么對于任意一個給定的正數(shù)正數(shù)M，X中總有相應的點中總有相應的點 ，使，使 .Mx|()|Mf xM 當函數(shù)當函數(shù)y=f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有界時，函數(shù)上有界時，函數(shù)y =f (x)的圖形恰好位于直線的圖形恰好位于直線y =M 和和y = 之間之間.這里取這里取 = 1.函數(shù)函數(shù)y = sin x 的圖形位于直線的圖形位于直線y =1與與y = 1之間之間.

16、例如，函數(shù)例如，函數(shù)f (x)=sin x在在 內是有界的內是有界的. 這是因為對于任意的這是因為對于任意的 ， 都有都有 成立，成立，),(),(x1|sin|x應該注意，函數(shù)的有界性，不僅僅要注意函數(shù)的應該注意，函數(shù)的有界性，不僅僅要注意函數(shù)的特點，還要注意自變量的變化范圍特點，還要注意自變量的變化范圍.例如，函數(shù)例如，函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間(1,2)內是有界的內是有界的.1( )f xx 1 |( )| | 1f xx都都有有成成立立，)2 , 1 (x事實上，若取事實上，若取=1，則對于任何，則對于任何 而而 在區(qū)間在區(qū)間(0,1)內是無界的內是無界的.1( )f xx )., 0()0

17、,( 和和的的定定義義域域為為為為負負整整數(shù)數(shù)時時，當當 x)., 0), 0()0 ,(,),(,2135 72 5332 的的定定義義域域為為；和和的的定定義義域域為為；為為的的定定義義域域，如如分分數(shù)數(shù)時時，情情況況比比較較復復雜雜當當xxxxx為(1)冪函數(shù)冪函數(shù)yx 冪函數(shù)冪函數(shù) 的定義域隨的定義域隨 的不同而不同的不同而不同.x 三、初等函數(shù)三、初等函數(shù)).,( 的的定定義義域域為為為為正正整整數(shù)數(shù)時時，當當 x( 是常數(shù)是常數(shù)) 當當 為無理數(shù)時為無理數(shù)時,規(guī)定規(guī)定 的定義域為的定義域為 (0,)x 1.1.基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 的定義域為的定義域為 .當當a

18、1時，它嚴時，它嚴格單調增加；當格單調增加；當0a1時，它嚴格單調增加；當時，它嚴格單調增加；當0ax0 x( )f x0 xx 0 xAxfxx )(lim00 xx0 xx限，記為限，記為0 x0 x0 x函數(shù)的極限與左、右極限有如下關系：函數(shù)的極限與左、右極限有如下關系： 定理定理 0lim( )xxf xA 00lim( )lim( )xxxxf xf xA注注: : 定理常用來判斷分段函數(shù)在分段點的極限是否存在定理常用來判斷分段函數(shù)在分段點的極限是否存在 例例 判斷函數(shù)判斷函數(shù) 1cos,0( )sin,0 xxf xxx 在在 點處是否有極限點處是否有極限. . 0 x 00lim

19、( )lim( )0 xxf xf x 因為因為0lim( )0 xf x 所以所以0)(lim0 xfx 0lim ( ) 0 xf x( (唯一性唯一性) ) 如果函數(shù)在某一變化過程中如果函數(shù)在某一變化過程中 有極限，則其極限是唯一的有極限，則其極限是唯一的 3 3、 函數(shù)極限的性質函數(shù)極限的性質( (有界性有界性) ) 若函數(shù)若函數(shù)f (x)當當x x0 0時極限存在，時極限存在，則必存在則必存在x0 0的某一鄰域，使得函數(shù)的某一鄰域，使得函數(shù)f (x)在該鄰域內有界在該鄰域內有界( (保號性保號性) ) 1.1.無窮小量無窮小量定義定義 若變量若變量Y在某過程下以零為極限，則稱變量在某

20、過程下以零為極限，則稱變量Y在在此過程下為無窮小量，簡稱無窮小此過程下為無窮小量，簡稱無窮小.1.3 1.3 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量303lim00 xxxx ，是是例例sinsinxxxx 0 0l l i i m m0 00 0，是是例例時的無窮小量時的無窮小量.時的無窮小量時的無窮小量.因為因為所以所以因為因為所以所以例如函數(shù)例如函數(shù) 時的無窮小，但當時的無窮小，但當時不是無窮小。時不是無窮小。當當 時，時， 的極限不為零，所以當?shù)臉O限不為零，所以當 時，函數(shù)時，函數(shù) 不是無窮小，而當不是無窮小，而當 時時是無窮小量。是無窮小量。1 ( )f xxx 是是應該注意無窮小量是

21、在某一過程中，以零為極應該注意無窮小量是在某一過程中，以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數(shù)。因此應明確指限的變量，而不是絕對值很小的數(shù)。因此應明確指出其變化過程。出其變化過程。1x sin x 2x2xsin x0 x sin x 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中 (1) 有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.(4) 有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.(3)常量與無窮小的乘積仍為無窮小常量與無窮小的乘積仍為無窮小.(2) 有限個無窮小的乘積仍為無窮小有限個無窮小的乘積仍為無窮小.2 .無窮小的性質無窮小的性質sin.xx

22、x 0 01 1l li im m求求例例limxxxx0 00000，即即 是是解解 |sin|,sinxx 1111 1 1 而而即即注意注意 這個極限不能用極限的四則運算法則求得，這個極限不能用極限的四則運算法則求得， 因為因為 不存在不存在.xx1sinlim0. 01sinlim0 xxx所以所以時的無窮小量時的無窮小量.為有界變量為有界變量,3. 無窮大量無窮大量).( )( )(lim00 xxxfxfxx或定義定義 在自變量在自變量x的某一變化過程中的某一變化過程中, ,若函數(shù)值的絕對若函數(shù)值的絕對值值 無限增大，則稱無限增大，則稱 f( (x) )為此變化過程中的無為此變化過

23、程中的無窮大量，簡稱無窮大窮大量，簡稱無窮大. .記作記作 )(xf 記記f (x)是無窮大，只是無窮大，只是為了書寫的方便，同時也表明了當是為了書寫的方便，同時也表明了當 時時f (x)雖然雖然無極限，但還是有明確趨向的無極限，但還是有明確趨向的.無窮大量是一個絕對值可無窮大量是一個絕對值可無限增大的變量，不是絕對值很大很大的固定數(shù)無限增大的變量，不是絕對值很大很大的固定數(shù).0 xx 注意：注意： 函數(shù)函數(shù)f (x)當當 時為無窮大，則極限時為無窮大，則極限 是不存在的是不存在的.利用記號利用記號0 xx )(lim0 xfxx)(lim0 xfxx4 . 無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大

24、的關系簡言之無窮小與無窮大的關系為：在自變量的同一變簡言之無窮小與無窮大的關系為：在自變量的同一變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小,無窮小無窮小(不等于不等于0)的倒的倒數(shù)是無窮大數(shù)是無窮大.定理定理 在自變量的同一變化過程中，若在自變量的同一變化過程中，若f (x)為無窮大為無窮大,則則 為無窮小為無窮小;反之反之,若若f (x)為無窮小且為無窮小且f (x)不等于不等于0,則則 為無窮大為無窮大.)(1xf)(1xf.xxx 2 22 21 11 1l i ml i m1 1求求.xxx 2 22 21 11 1 l i m l i m1 1由由定定理理知知以后

25、，遇到類似上例的題目，可直接寫出結果以后，遇到類似上例的題目，可直接寫出結果.例例,xxx 2 22 21 11 1 l i m0 l i m01 1由由于于解解( )xf xx 1 11 1例考察例考察 當當 時，時， 為無窮大量；為無窮大量；( )xf xx 1 11 11x 當當 時，時， 為無窮小量；為無窮小量； ( )xf xx 1 11 11 11x定理定理1 設設 ,則則 2)lim( )( ) ;(f xg xA B (3)0B 若若，( )( )lim.f xAg xB 1.4.1 1.4.1 極限的運算法則極限的運算法則下面的定理，僅就函數(shù)極限的情形給出，所得的下面的定理，

26、僅就函數(shù)極限的情形給出，所得的結論對數(shù)列極限也成立結論對數(shù)列極限也成立.1.4 1.4 極限的運算極限的運算(1)lim( ( )( )f xg xABlimlimf xAg xB( ), ( )( ), ( )其中自變量其中自變量x的趨勢可以是的趨勢可以是 等各種情形等各種情形.0,xxx 定理定理1中的中的(1)和和(2)可以推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)可以推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的極限情況和及乘積的極限情況.結論結論(2)還有如下常用的推論還有如下常用的推論.推論推論1 設設limf(x)存在，則對于常數(shù)存在，則對于常數(shù)c，有，有l(wèi)im( )lim( ).cf xcf x 推論推論2 設

27、設limf(x)存在，則對于正整數(shù)存在，則對于正整數(shù)k，有，有l(wèi)im ( )lim( ) .kkf xf x 321lim(232).xxx求求極極限限例例132132111lim(2)lim(3)lilim(23m22)xxxxxxxx解解. 12131223 一般地，設有多項式一般地，設有多項式(有理整函數(shù)有理整函數(shù))( ),nnnnf xa xa xaxa 1 1011011lim( )()xxf xf x 0 00 0則有則有l(wèi)im.xxxx 2 22 24 42121求求極極限限例例2lim.xxxx 2 22 22 24 42 22 24 46 62 21 12 2 2 21 15

28、 5解解),()()(000 xFxQxP 0000lim( )( )lim( )lim( )lim( )xxxxxxxxP xP xF xQ xQ xlim( )()xxF xF x 0 00 0有有時時當當都是多項式都是多項式與與其中其中,0)(,)()(0 xQxQxP( )( ),( )P xF xQ x 設有理分式函數(shù)設有理分式函數(shù)式式(1)與式與式(2)說明對于有理函數(shù)求關于說明對于有理函數(shù)求關于 的的極限時，如果有理函數(shù)在點極限時，如果有理函數(shù)在點 有定義，其極限值就有定義，其極限值就是在是在 點處的函數(shù)值，以后可以當做公式使用點處的函數(shù)值，以后可以當做公式使用.0 xx 0 x

29、0 xlim ().xx 1 11212lim.xxx 2 2 1 11 11 1求求例例3()()limlimxxxxxxx 2 2 1 1 1 11111111111解解lim().xxx 3 31 113131111求求. 11112112lim221 xxxx )1)(1()2)(1(lim21 xxxxxx 例例4lim()limxxxxxxx 2 23333111113131313111111解lim.xxxx 2 22 221212 2求求例例5limlim.xxxxxxxx 2 22 22 22 211112 221212 22 22 21 1解解.21lim32 xxxx求求

30、. 021111lim21lim32332 xxxxxxxxx例例6，然后再求極限，得，然后再求極限，得分母同時除以分母同時除以分子分子, ,3x解解一般地一般地, ,對于有理分式有對于有理分式有: : mnmnbamnbxbxbaxaxamnmmmmnnnnx當當當當當當0lim011011其中其中n, ,m為正整數(shù)為正整數(shù)解：因為解：因為所以所以31lim3xxx利用無窮小與無窮大的關系利用無窮小與無窮大的關系求求xxxx21coslim解：因解：因為為01lim2xxx又因為又因為xcos為有界函數(shù)為有界函數(shù)01coslim2xxxx所以所以利用無窮小的性質：無窮小與有界函數(shù)的積仍為利用

31、無窮小的性質：無窮小與有界函數(shù)的積仍為無窮小無窮小例例7求求例例831lim3xxx013lim3xxx1.4.2 1.4.2 兩個重要極限兩個重要極限重要極限重要極限1 sinlim.xxx 0 0 1 1BODACx特點：特點：2.Sin后整體趨向于后整體趨向于01.Sin后整體一致后整體一致. 1tanlim0 xxx求例例9)cos1sin(limtanlim 00 xxxxxxx解解. 1cos1limsinlim00 xxxxx1coslim0此題中用到此題中用到xx20cos.xxx求求1 1l i ml i m220)2(2sinlim21xxx.211212例例1022020

32、2sin2limcos1limxxxxxx解解xxx55sinlim50. 515 .5sinlim0 xxx求例例11xxxxxx55sin5lim5sinlim 00解解.()xxex1 1l i m 1l i m 1重要極限重要極限232lim(1) .xxx求例例12特點：特點：1.括號內為括號內為1+2.括號內外互為倒數(shù)括號內外互為倒數(shù)3.括號外的指數(shù)整體趨向于無窮大括號外的指數(shù)整體趨向于無窮大.)1(limxxxx求例例14141013lim(1 2 )xxx例1.3.3 無窮小的比較無窮小的比較兩個無窮小的和、差、積都是無窮小，那么，兩兩個無窮小的和、差、積都是無窮小，那么，兩個

33、無窮小的商是否仍是無窮小呢？請看下面的例子個無窮小的商是否仍是無窮小呢？請看下面的例子.230, ,sin,2 ,xx xxx x 當時都是無窮小.,sin,2;0 322均不是無窮小是無窮小時即xxxxxxxxx , 1sinlim , 22lim , 0lim0020 xxxxxxxxx320limxxx這些情形表明，同為無窮小，但它們趨于這些情形表明，同為無窮小，但它們趨于0的速的速度有快有慢，為了比較不同的無窮小趨于度有快有慢，為了比較不同的無窮小趨于0的速度，的速度，我們引入無窮小量階的概念我們引入無窮小量階的概念. .(3)如果如果 ,則稱則稱 是比是比 的高階無窮小的高階無窮小.

34、(2)如果如果 ,則稱則稱 是等價無窮小。是等價無窮小。(1)如果如果 ( 是常數(shù)是常數(shù)),則稱則稱 是同階無窮小是同階無窮小.與與定義定義 設設 時為無窮時為無窮小小(且且 ).( )x( )x，0()xxx在在或或0 1limlimc0lim0c與與lim(4)如果如果 ，此時稱，此時稱 是比是比 低階的無窮小低階的無窮小.所以當所以當 時時, 與與x是等價無窮小是等價無窮小,即即所以當所以當 時時, 是比是比x高階的無窮小高階的無窮小,即即1,sinlim0 xxx例例15.x x x si n (0)si n (0)20,0lim因xxx 2 0( )().xo xx例例16 同理可知

35、同理可知,當當 時時,0 x tan.xx x 0 02xx 0 0sin x關于等價無窮小在求極限中的應用，有如下定理關于等價無窮小在求極限中的應用，有如下定理.limlimlim.lim)lim( lim 由假設，有證證存在，則有，無窮小，且時都是或在及，設lim)( 0 xxx定理定理2limlim. 根據(jù)此定理，在求兩個無窮小之比的極限時，若根據(jù)此定理，在求兩個無窮小之比的極限時，若此極限不好求，可用分子、分母各自的等價無窮小來此極限不好求，可用分子、分母各自的等價無窮小來代替，如果選擇適當，可簡化運算代替，如果選擇適當，可簡化運算.用定理用定理2求極限，需要預先知道一些等價無窮小求極

36、限，需要預先知道一些等價無窮小. 一些常用的等價無窮小如下一些常用的等價無窮小如下：20 e1 1 12sin,tan,ln() ,cos.xxxxxxxxxxx 當當 時時arcsin x xarctan x x.2sin3tanlim0 xxx求例例17，所以，時，當xxxxx22sin33tan0解解.2323lim2sin 3tan lim 00 xxxxxx01 cos18limsinxxxx例求極限21cos,sin2xxxx解 ： 因 為 x0時 ,220 x0 x1cos x12limlimsin xx2xx所以.sintanlim30 xxxx求2tan1cos2xxxx ，

37、3030)cos1( tanlim tanlim xxxxxxxx sin .212lim320 xxxx例例19時，時，當當0 ), cos(1 tan sin tan xxxxx解解注意：注意： 相乘相乘(除除)的無窮小都可用各自的等價無窮小代換，的無窮小都可用各自的等價無窮小代換，但是相加但是相加(減減)的無窮小的項一般不能作等價代換，如的無窮小的項一般不能作等價代換，如.tansinxxxxxxxx 3 33 30 00 0l l i i m ml l i i m m0 0是完全錯誤的是完全錯誤的x1.5.1 1.5.1 函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)連續(xù)性的概念xxxxxx 00相應的函數(shù)的改

38、變量（增量）相應的函數(shù)的改變量（增量）:函數(shù)的函數(shù)的終值終值 與初值與初值 之差之差 稱為自變量的改變量，記為稱為自變量的改變量，記為)()()()(0000 xfxxfxfxfyyy 1.1.改變量（增量）：改變量（增量）：1.5 1.5 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性yx0 xxx0)(xfy )(0 xfxy0當自變量由初值當自變量由初值 變化到終值變化到終值 時，終值與初值之差時，終值與初值之差 稱為自變量的改變量，記為稱為自變量的改變量，記為0 x0 xx )(xf)(0 xf)()(0 xfxf 定義定義1 1： 設函數(shù)設函數(shù) 在點在點 的某鄰域內有定義，的某鄰域內有定義，當自變量在點當

39、自變量在點 處有增量處有增量 時，相應的函數(shù)有增量時，相應的函數(shù)有增量 , ,如果當自變量的增量如果當自變量的增量 趨于趨于零時，函數(shù)的增量零時，函數(shù)的增量 也趨于零，即也趨于零，即則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點在點 處連續(xù)，點處連續(xù)，點 稱為函數(shù)的連稱為函數(shù)的連續(xù)點續(xù)點0 x)(xfy )()(00 xfxxfy )(xfy 0 x0 x0 x2.2.連續(xù)連續(xù)x x y 若記若記 ，則，則 ，且當，且當 xxx 0)()(0 xfxfy 0 xx 故定義故定義1 1又可敘述為又可敘述為0lim0 yx0 x時注：連續(xù)與極限的關系注：連續(xù)與極限的關系定義定義2 2：設函數(shù)設函數(shù)y = = f ( (x

40、) )在點在點 的某鄰域內有定義，若的某鄰域內有定義，若有有 , ,則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點在點 處連續(xù)處連續(xù). . 00lim( )()xxf xf x 0 x由定義由定義2可知若函數(shù)可知若函數(shù) 在點在點 處連續(xù)，則函數(shù)處連續(xù)，則函數(shù) 在點在點 處的極限一定存在，反之不一定連續(xù)處的極限一定存在，反之不一定連續(xù)x0 0)(xf)(xfx0 0( )yf x 0 x0（1）函數(shù)f(x)在x的某鄰域內有定義000lim ( )lim ( )lim ( )xxxxxxf xf xf x（2）存在，即00lim( )()xxf xf x（3）定義定義3 3：若函數(shù)：若函數(shù) 滿足滿足 ，則稱，則稱函函 數(shù)

41、數(shù) 在點處在點處 左連續(xù)。左連續(xù)。 同理可以定義右連續(xù)同理可以定義右連續(xù)3 3、左右連續(xù)、左右連續(xù))()(lim00 xfxfxx4 4、區(qū)間連續(xù)、區(qū)間連續(xù)定義定義4 4：若函數(shù)：若函數(shù) 在（在（a , b）內每一點都連續(xù)）內每一點都連續(xù) ，則稱，則稱函數(shù)函數(shù) 在（在（a , b）內連續(xù)。）內連續(xù)。)(xf)(xf)(xf)(xf0 x定義定義5 5 若函數(shù)若函數(shù)y = f(x)在（在（a , b）內每一點都連續(xù)，）內每一點都連續(xù)，且在左端點且在左端點a 處右連續(xù)，在右端點處右連續(xù)，在右端點b處左連續(xù)，則稱處左連續(xù)，則稱函函數(shù)數(shù)y = f (x)在在a , b上連續(xù)。上連續(xù)。5. 5. 函數(shù)的

42、間斷點及其分類函數(shù)的間斷點及其分類連續(xù)在0)(xxf處處有有意意義義。在在0)()1(xxf則一定滿足以下條件則一定滿足以下條件存在存在)(lim)2(0 xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 如果如果f(x)在點不能滿足以上任何一個條件，則點在點不能滿足以上任何一個條件，則點 是函數(shù)是函數(shù) 的間斷點。的間斷點。)(xf0 x) 1(3) 1()(112xxxfxx例例解解3)1 (2lim)(lim11112fxfxxxx所以所以x =1=1為可去間斷點為可去間斷點1.可去間斷點：可去間斷點：如果函數(shù)在點如果函數(shù)在點 的極限存在，但不等于的極限存在，但不等于 即即0 x)(0 xf

43、)()(lim00 xfAxfxx則稱則稱 為為 的可去間斷點的可去間斷點。)(xf0 x)(lim)(lim00 xfxfxxxx2.2.跳躍間斷點：跳躍間斷點：例例 )21(1)10()(xxxxxf所以所以 x =1=1為跳躍間斷點為跳躍間斷點左右極限存在不相等左右極限存在不相等11lim( )1lim( )0 xxf xf x 解： 當當 時，函數(shù)值不斷地在兩點之間跳時，函數(shù)值不斷地在兩點之間跳動，左右極限均不存在動，左右極限均不存在3.3.無窮間斷點無窮間斷點0 xx f( (x) )在點在點 的左、右極限至少有一個是無窮的左、右極限至少有一個是無窮大，則稱大，則稱 為為f( (x)

44、 )的無窮間斷點的無窮間斷點 0 x0 x例例 x=0=0為為無窮間斷點無窮間斷點1yx 4.4.振蕩間斷點振蕩間斷點例例1( )sinf xx x=0是其振蕩間斷點是其振蕩間斷點間斷點的類型間斷點的類型：第一類間斷點第一類間斷點: 我們把左右極限都存在的間斷點稱為第一我們把左右極限都存在的間斷點稱為第一 類間斷點類間斷點.第二類間斷點第二類間斷點: 除第一類以外的間斷點除第一類以外的間斷點,即左右極限至少有即左右極限至少有 一個不存在的間斷點稱為第二類間斷點一個不存在的間斷點稱為第二類間斷點.（可去與跳躍）（可去與跳躍） （無窮與震蕩） 例例)1()(22 xxxxxf解解函數(shù)在函數(shù)在x= -1 , x = 0 , x = 1處沒有定義處沒有定義所以所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函數(shù)的間斷點是函數(shù)的間斷點221lim(1)xxxxx 所以所以x = - -1是函數(shù)的無窮間斷點是函數(shù)的無窮間斷點22221(1)(1)0001(1)(1)000lim()limlim1lim()limlim1xxxxxxxxxxxxxxxxfxfx 所以所以x= 0是函數(shù)的跳躍間斷點是函數(shù)的跳躍間斷點()()2211(1)2(1)111lim( )limlimxxxx xxxxf x 所以所以x= 1是