復(fù)習(xí)資料：二次函數(shù)

1、二次函數(shù)的復(fù)習(xí)資料知識點1.二次函數(shù)的定義1、一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的 次式，二次項系數(shù)必須是非零實數(shù)時才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)2、當(dāng)b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)練習(xí)（1）下列函數(shù)中，二次函數(shù)的是（ ）Ay=ax2+bx+c B C Dy=x(x1) 練習(xí)（2）如果函數(shù)是二次函數(shù)，那么m的值為 知識點2.二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)1、已知一個二次函數(shù)，確定它的圖象名稱、開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減范圍、極值。已知條件中含二次函數(shù)開口方向或?qū)ΨQ軸、頂點坐標、增減范圍、極值，

2、求解析中待定系數(shù)的取值。（1）、二次函數(shù) 的圖像是對稱軸平行于(包括重合)軸的拋物線.（2）、二次函數(shù) ，當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點；當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點（3）、對于y=ax2+bx+c而言，其頂點坐標為（ ， ）對于y=a（xh）2+k而言其頂點坐標為（ ， ）。二次函數(shù)用配方法或公式法（求h時可用代入法）可化成：的形式，其中h= ,k= 練習(xí)（3）拋物線的圖象的開口方向是_, 頂點坐標是_.練習(xí)（4）若拋物線的最低點在軸上，則的值為 （4）、二次函數(shù) 的對稱軸為直線x= 運用拋物線的對稱性求對稱軸，由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱點的連線段的垂直平分線是拋物

3、線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.若拋物線上有兩點A（m,n）、B(p,n)的縱坐標相等,則它的對稱軸為直線x=練習(xí)（5）已知、是拋物線上位置不同的兩點，且關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則點、的坐標可能是_（寫出一對即可）（5）增減性：二次函數(shù) 的增減性分對稱軸左右兩側(cè)描述（數(shù)形結(jié)合理解它的增減性）若，當(dāng)x 時（在對稱軸 側(cè)），y隨x的增大而增大，當(dāng)x 時（在對稱軸 側(cè)），y隨x的增大而減小，若，當(dāng)x 時（在對稱軸 側(cè)），y隨x的增大而增大，當(dāng)x 時（在對稱軸 側(cè)），y隨x的增大而減小，練習(xí)（6）已知拋物線（0）的對稱軸為直線，且經(jīng)過點，試比較和的大?。?_（填“>”，“<”或“=

4、”）特別注意頂點橫坐標是否在自變量的取值范圍內(nèi)練習(xí)（7）二次函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而減?。划?dāng)時，隨的增大而增大。則當(dāng)時，的值是 。（6）最大（?。┲担喝繇旤c橫坐標在自變量的取值范圍內(nèi)當(dāng)a>0時，函數(shù)有最 值，并且當(dāng)x= 時，y最 值= ；當(dāng)a<0時，函數(shù)有最 值，并且當(dāng)x= 時，y最 值= ； 若頂點橫坐標不在自變量的取值范圍內(nèi)，只考慮在端點處是否取得最值。練習(xí)（8）二次函數(shù)y=m2x2-4x+1有最小值-3,則m等于( ) A.1 B.-1 C.±1 D.±練習(xí)（9）已知二次函數(shù)的圖象(0x3)如圖所示關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是( ) A

5、有最小值0，有最大值3 B有最小值1，有最大值0 C有最小值1，有最大值3 D有最小值1，無最大值練習(xí)（10）填表：特性函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標最值增減性+4練習(xí)（11）若二次函數(shù)當(dāng)l時，隨的增大而減小，則的取值范圍是（ ） A=l B>l Cl Dl練習(xí)（12）、若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x與y的部分對應(yīng)值如下表：X-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353則當(dāng)x=1時，y的值為 （可用多種解法）2、畫二次函數(shù)的圖象：首先將一般式化為頂點式畫對稱軸確定頂點確定與y軸交點關(guān)于對稱軸對稱的點確定與x軸的交點或另選一組較簡的對稱點連線練習(xí)（13）已知二次函數(shù).畫出它的圖象3、拋

6、物線的平移、對稱、旋轉(zhuǎn)：首先化二次函數(shù)的解析式為頂點式，抓住關(guān)鍵點頂點的變化，頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的形狀大小完全相同，只是頂點的位置不同.反之，若幾條拋物線的形狀大小相同，則二次項系數(shù)的絕對值相同。拋物線的平移、對稱、旋轉(zhuǎn)過程中，的值不變。 拋物線y=ax2+bx+C向上平移n（n0）個單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+C向下平移n（n0）個單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+C向左平移n（n0）個單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+C向右平移n（n0）個單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于X軸對稱的拋

7、物線解析式是 （方法是將原解析式中的 不變，把 轉(zhuǎn)換為 ，再整理） 拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于Y軸對稱的拋物線解析式是 （方法是將原解析式中的 不變，把 轉(zhuǎn)換為 ，再整理）練習(xí)（14）將拋物線繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后，再分別向下、向右平移1個單位，此時該拋物線的解析式為（ ） A. B. C. D. 二次函數(shù)的圖像向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)圖像的解析式為，則與分別等于（ ）A、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、144、拋物線y=ax2+bx+c的位置與參數(shù)a、b、c及相關(guān)特殊代數(shù)式的符號的關(guān)系：a的符號判別-開口向上 a 0；開口向下 a 0；

8、c的符號判別-由拋物線的與Y軸的交點來確定：若交點在y軸的正半軸 c 0；若交點在y軸的負半軸 c 0；若交點在原點 c 0；b的符號由對稱軸來確定：對稱軸在Y軸的左側(cè) a、b同號；對稱軸在Y軸的右側(cè) a、b異號。a+b+c的符號由x=1時的點的位置決定;ab+c的符號由x=1時的點的位置決定點（1，a+b+c）在x軸上方 a+b+c 0點（1，a+b+c）在x軸下方 a+b+c 0點（-1，a-b+c）在x軸上方 a-b+c 0點（-1，a-b+c）在x軸下方 a-b+c 0-11yb+2a的符號由對稱軸與1的大小關(guān)系確定；b2a或2a-b的符號由對稱軸與-1的大小關(guān)系確定的符號由拋物線與x

9、軸的交點個數(shù)確定 2個交點. 0拋物線與x軸有 1個交點. = 0 0個交點. 0練習(xí)（16）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論：a+b+c0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4知識點3：確定二次函數(shù)的解析式1、二次函數(shù)解析式常用的有三種形式： (1) 當(dāng)已知拋物線上任意三點（題設(shè)中直接或間接給出）時，通常設(shè)為一般式y(tǒng)ax2bxc形式。 (2)當(dāng)已知拋物線的頂點與拋物線上另一點時，通常設(shè)為頂點式y(tǒng)a(xh)2k形式。(3) 當(dāng)已知拋物線與x軸的交點或交點橫坐標時，通常設(shè)為兩根式y(tǒng)a(xx1)(xx2)練習(xí)（17）有一個運算裝置，當(dāng)輸入

10、值為x時，其輸出值為，且是x的二次函數(shù)，已知輸入值為,0,時, 相應(yīng)的輸出值分別為5,此二次函數(shù)的解析式是_ 練習(xí)（18）拋物線與x軸一個交點的橫坐標為2，頂點為(2,8),它的關(guān)系式為 練習(xí)（19）直線交軸于A點，交軸于B點，過A、B兩點的拋物線交軸于另一點C（3,0）. 拋物線的解析式為 練習(xí)（20）已知拋物線經(jīng)過點（0，3），請你確定一個b的值，使該拋物線與x軸的一個交點在(1，0)和(3，0)之間你所確定的b的值是 練習(xí)（21）拋物線上部分點的橫坐標，縱坐標的對應(yīng)值如下表：x21012y04664你能得到拋物線的哪些特征？（至少寫出四條）解析式是什么？知識點4：二次函數(shù)與一元二次方程1

11、、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：(1) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的值等于m的自變量x的值就是一元二次方程ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0)的解。反過來,解方程ax2+bx+c=0(a0)又看作已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c值為0時求自變量x的值.(2)二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標就是一元二次方程的根二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)與一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的關(guān)系. 一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點情況b2-4ac>0有兩個不相等的根有兩個不同的交點b2-4ac=0有兩相等的根只有惟一的一

12、個交點b2-4ac<0無實數(shù)根無交點2、弦長公式：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故 3、直線與拋物線的交點(1)軸與拋物線只有一個交點()(2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,). (3)拋物線與軸的交點：二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點拋物線與軸相交；有一個交點(頂點在軸上)拋物線與軸相切；沒有交點拋物線與軸相離.(4)平行于軸的直線y=k與拋物線的交點,同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點。當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為，則

13、交點的橫坐標是的兩個實數(shù)根. 有兩個交點拋物線與直線y=k相交；有一個交點(頂點在直線y=k上)拋物線與直線y=k相切；沒有交點拋物線與直線y=k相離.(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點方程有兩個不相等的實數(shù)根; 方程組只有一組解時與只有一個交點方程有兩個相等的實數(shù)根;方程組無解時與沒有交點方程無實數(shù)根;練習(xí)（22）二次函數(shù)是常數(shù)中，自變量與函數(shù)的對應(yīng)值如下表：12311一元二次方程是常數(shù)的兩個根的取值范圍是下列選項中的哪一個（ ）練習(xí)（23）二次函數(shù)的圖象如圖所示，（1）根據(jù)圖象寫出方程的兩個根（2）根據(jù)圖象寫出不等式的解

14、集（4）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍練習(xí)（24）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的解為 練習(xí)（25）已知函數(shù)的圖象如圖所示，那么關(guān)于的方程的根的情況是（ ）A無實數(shù)根B有兩個相等實數(shù)根C有兩個異號實數(shù)根D有兩個同號不等實數(shù)根練習(xí)（26）已知二次函數(shù)y=x2+x+m,當(dāng)x取任意實數(shù)時,都有y>0,則m的取值范圍是( ) A.m; B.m> C.m; D.m<練習(xí)（26）已知關(guān)于x的函數(shù)y（m1）x22xm圖像與坐標軸有且只有2個交點，則m 練習(xí)（26）已知拋物線的圖象與x軸有兩個交點為，且，m= 練習(xí)（26）a取何值時,拋物線y=x2+ax+a-

15、2與x軸的兩個不同的交點間的距離最小? 練習(xí)（27）已知拋物線yx2mxm2. （1）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側(cè)，并且AB，試求m的值；（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N，并且 MNC的面積等于27，試求m的值.練習(xí)（28）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，它與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點A、C的坐標分別是（-1，0）（0，1.5）（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式。（2）若點P是此拋物線上位于x軸上方的一個動點，求三角形ABP面積的最大值。（3）問：此拋物線位于x軸的下方是否存在一點Q，使ABQ的面積與ABP的面積相等？如果有，求出

16、該點坐標，如果沒有請說明理由。知識點5：二次函數(shù)的應(yīng)用：1、解決實際問題時的基本思路：(1)分析理解問題；(2)分析問題中的變量和常量；(3)設(shè)誰為自變量x，誰為函數(shù)y，找到變量間的相等關(guān)系，用函數(shù)表達式表示出y與x之間的關(guān)系；(4)利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進行求解；(5)檢驗結(jié)果的合理性，對問題加以拓展等2、二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數(shù)的最大(小)值，運用二次函數(shù)的性質(zhì)求實際問題的最大值或最小值的一般步驟 :（1）列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍；（2）在自變量的取值范圍內(nèi)，運用公式法或通過配方求出二次函數(shù)的最大值或最小值。（3）檢查

17、求得的最大值或最小值對應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi) 。解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問題的求解依靠方配法或最值公式，而不是解方程。練習(xí)（29）某賓館客房部有60個房間供游客居住，當(dāng)每個房間的定價為每天200元時，房間可以住滿當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑對有游客入住的房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用設(shè)每個房間每天的定價增加元求：（1）房間每天的入住量（間）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式 （2）該賓館每天的房間收費p（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式 （3）該賓館客房部每天的利潤（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)每個房間的定價為每天多少元時，有最大值？最大值是多少？（6分）3、利用二次函數(shù)的關(guān)系式求解實際問題的一般步驟:(1).建立適當(dāng)?shù)?/p>