2016年清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計劃試題

1、2016年清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計劃試題1.已知函數(shù)有最小值，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）A. B. C. D.取決于的值答案：注意，答案C.2. 已知的三個內(nèi)角所對的邊為.下列條件中，能使得的形狀唯一確定的有（ ）A. B.C.D.答案：對于選項A，由于，于是有唯一取值2，符合題意；對于選項B，由正弦定理，有，可得，無解；對于選項C，條件即，于是，不符合題意；對于選項，由正弦定理，有，又，于是，符合題意.答案：AD.3.已知函數(shù)，下列說法中正確的有（ ）A.在點處有公切線B.存在的某條切線與的某條切線平行C. 有且只有一個交點D. 有且只有兩個交點答案：注意到為函數(shù)在處的切線，如圖，因此答案BD

2、.4. 過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，為線段的中點.下列說法中正確的有（ ）A.以線段為直徑的圓與直線一定相離B. 的最小值為C. 的最小值為D.以線段為直徑的圓與軸一定相切答案：對于選項A，點到準(zhǔn)線的距離為，于是以線段為直徑的圓與直線一定相切，進(jìn)而與直線一定相離；對于選項B,C，設(shè)，則，于是，最小值為4.也可將轉(zhuǎn)化為中點到準(zhǔn)線的距離的2倍去得到最小值；對于選項D，顯然中點的橫坐標(biāo)與不一定相等，因此命題錯誤.答案：AB.5. 已知是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點.下列說法中正確的有（ ）A.時，滿足的點有兩個B. 時，滿足的點有四個C.的周長小于D. 的面積小于等于答案：對于選項A,B，

3、橢圓中使得最大的點位于短軸的兩個端點；對于選項C，的周長為；對于選項D，的面積為.答案：ABCD.6.甲、乙、丙、丁四個人參加比賽，有兩花獲獎.比賽結(jié)果揭曉之前，四個人作了如下猜測：甲：兩名獲獎?wù)咴谝?、丙、丁中；乙：我沒有獲獎，丙獲獎了；丙：甲、丁中有且只有一個獲獎；丁：乙說得對.已知四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的，那么兩個獲獎?wù)呤牵?）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案：乙和丁同時正確或者同時錯誤，分類即可，答案：BD.7. 已知為圓的一條弦（非直徑），于，為圓上任意一點，直線與直線相交于點，直線與直線相交于點.以下說法正確的有（ ）A.四點共圓 B. 四點共圓C. 四點共圓 D.以上

4、三個說法均不對答案：7.對于選項A，即得；對于選項B，若命題成立，則為直徑，必然有為直角，不符合題意；對于選項C，即得.答案：AC.8.是為銳角三角形的（ ）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件答案：必要性：由于,類似地，有，于是.不充分性：當(dāng)時，不等式成立，但不是銳角三角形.答案：B.9.已知為正整數(shù)，且，那么方程的解的組數(shù)為（ ）A. B. C. D.答案：由于，故.若，則，可得；若，則，可得；若，則，進(jìn)而解得；若，則，可得.答案：B.10.集合，任取這三個式子中至少有一個成立，則的最大值為（ ）A. B. C. D.答案：不妨假設(shè)，若集合中的

5、正數(shù)的個數(shù)大于等于4，由于和均大于，于是有，從而，矛盾！所以集合中至多有3個正數(shù).同理可知集合中最多有3個負(fù)數(shù).取，滿足題意，所以的最大值為7.答案B.11.已知，則下列各式中成立的有（ ）A.B.C. D. 答案：令，則，所以，以上三式相加，即有.類似地，有，以上三式相加，即有.答案BD.12.已知實數(shù)滿足，則的最大值也最小值乘積屬于區(qū)間（ ）A. B. C. D.答案：設(shè)函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)，作出的圖象，函數(shù)的圖象在處的切線，以及函數(shù)的圖象過點和的割線，如圖，于是可得，左側(cè)等號當(dāng)或時取得； 右側(cè)等號當(dāng)時取得.因此原式的最大值為，當(dāng)時取得；最小值為，當(dāng)時取得，從而原式的最大值與最小值的乘積為.答

6、案B.13.已知，則下列結(jié)論正確的有（ ）A.的最大值為 B. 的最大值為C. 的最大值為 D. 的最小值為答案：由可得.設(shè)，則是關(guān)于的方程的三個根.令，則利用導(dǎo)數(shù)可得，所以，等號顯然可以取到.故選項A,B都對.因為，所以，等號顯然可以取到，故選項C錯誤.答案ABD.14.數(shù)列滿足，對任意正整數(shù)，以下說法中正確的有（ ）A.為定值 B.或C.為完全平方數(shù) D.為完全平方數(shù)答案：因為.所以A選項正確；由于，故，又對任意正整數(shù)恒成立，所以，故選項C,D正確.計算前幾個數(shù)可判斷選項錯誤.答案：ACD.說明：若數(shù)列滿足，則為定值.15. 若復(fù)數(shù)滿足，則可以取到的值有（ ）A. B. C. D. 答案：

7、因為，故，等號分別當(dāng)和時取得.答案CD.16. 從正2016邊形的頂點中任取若干個，順次相連構(gòu)成多邊形，若正多邊形的個數(shù)為（ ）A. B. C. D.答案：從2016的約數(shù)中去掉1，2，其余的約數(shù)均可作為正多邊形的邊數(shù).設(shè)從2016個頂點中選出個構(gòu)成正多邊形，這樣的正多邊形有個，因此所求的正多邊形的個數(shù)就是2016的所有約數(shù)之和減去2016和1008.考慮到，因此所求正多邊形的個數(shù)為.答案C.17.已知橢圓與直線，過橢圓上一點作的平行線，分別交于兩點.若為定值，則（ ）A. B. C. D.答案：設(shè)點，可得，故意為定值，所以，答案：C.說明：（1）若將兩條直線的方程改為，則；（2）兩條相交直線

8、上各取一點，使得為定值，則線段中點的軌跡為圓或橢圓.18. 關(guān)于的不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)為（ ）A. B. C. D.答案：方程兩邊同時模3，可得，因不能被3整除，故不能被3整除，所以，故，所以為偶數(shù)，可設(shè)，則有，解得即答案：B.19.因為實數(shù)的乘法滿足交換律與結(jié)合律，所以若干個實數(shù)相乘的時候，可以有不同的次序.例如，三個實數(shù)相乘的時候，可以有等等不同的次序.記個實數(shù)相乘時不同的次序有種，則（ ）A. B. C. D.答案：根據(jù)卡特蘭數(shù)的定義，可得.答案：AB.關(guān)于卡特蘭數(shù)的相關(guān)知識見卡特蘭數(shù)計數(shù)映射方法的偉大勝利.20.甲乙丙丁4個人進(jìn)行網(wǎng)球淘汰賽，規(guī)定首先甲乙一組、丙丁一組進(jìn)行比賽，兩組

9、的勝者爭奪冠軍.4個人相互比賽的勝率如表所示：表中的每個數(shù)字表示其所在的選手擊敗其所在列的選手的概率，例如甲擊敗乙的概率是0.3，乙擊敗丁的概率是0.4.那么甲刻冠軍的概率是 .答案：根據(jù)概率的乘法公式 ，所示概率為.21.在正三棱錐中，的邊長為1.設(shè)點到平面的距離為，異面直線的距離為.則 .答案：當(dāng)時，趨于與平面垂直，所求極限為中邊上的高，為.22.如圖，正方體的棱長為1，中心為，則四面體的體積為 .答案：如圖，.23. .答案：根據(jù)題意，有.24.實數(shù)滿足，則的最大值為 .答案：根據(jù)題意，有，于是，等號當(dāng)時取得，因此所求最大值為1.25.均為非負(fù)實數(shù)，滿足，則的最大值與最小值分別為 .答案

10、：由柯西不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值.根據(jù)題意，有，于是解得.于是的最小值當(dāng)時取得，為.26.若為內(nèi)一點，滿足，設(shè)，則 .答案：根據(jù)奔馳定理，有.27.已知復(fù)數(shù)，則 .答案：根據(jù)題意，有.28.已知為非零復(fù)數(shù)，的實部與虛部均為不小于1的正數(shù)，則在復(fù)平面中，所對應(yīng)的向量的端點運動所形成的圖形的面積為 .答案：設(shè)，由于，于是如圖，弓形面積為，四邊形的面積為.于是所示求面積為.29.若，則 .答案：根據(jù)題意，有.30.將16個數(shù)：4個1，4個2，4個3，4個4填入一個的數(shù)表中，要求每行、每列都恰好有兩個偶數(shù)，共有 種填法.答案：首先確定偶數(shù)的位置有多少種選擇.第一行兩個偶數(shù)有種選擇.下面考慮這兩個偶數(shù)所在的列，每列還需要再填空一個偶數(shù)，設(shè)為.情形一：若位于同一行，它們的位置有3種選擇，此時剩下的四個偶數(shù)所填的位置唯一確定；情形二：若位于不同的行，它們的位置有6種選擇，此時剩下的四個偶數(shù)所填的位置有2種選擇.所以偶數(shù)的不是位置數(shù)為