黃岡中學競賽訓練題 高中數(shù)學

1、黃岡中學競賽訓練題 高中數(shù)學（77）立體幾何1、已知正三棱錐SABC的高SO為3，底面邊長為6，過A向它所對側(cè)面SBC作垂線，垂足為O，在AO上取一點P，使APPO=8，求經(jīng)過P點且平行底面的截面的面積分析及答案 分析：本題的關鍵在于求出過P平行于底的截面到頂點的距離與底面到頂點的距離之比解答：如圖1013，因SABC是正三棱錐，所以O是正三角形ABC的中心連結(jié)AO延工交BC于D，則D是BC的中點，故BCAD，BCSD，因而BC平面SAD，從而平面ASD平面SBC又AO平面SBC，故SO在平面SAD內(nèi)，因而O在SD上，于是由設過P作平行于底的平面與SD的交點為O1，則于是故所求截面面積2、設正

2、三棱錐PABC的高為PO，M為PO的中點，過AM作與棱BC平行的平面，將正三棱錐截成上、下兩部分，試求兩部分體積之比分析及答案 分析：設過AM且平行BC的平面交平面PBC于EF（EPB，F(xiàn)PC），要求兩部分體積之比，只要求VPABC=SPEFSPBC解答：如圖1014，過設AM且平行BC的平面與棱PB、PC分別交于E、F則EF/BC連結(jié)AO并延長交BC于D，則D為BC的中點，連結(jié)PD交EF于G，則因A到平面PEF的距離即為A到平面ABC的距離，所以在PAD中，過O作PD的平行線，交AG于N因為M為PO的中點，故|ON|=|PG|，故，因而，故所求上下兩部分體積之比為3、四面體ABCD被平面所截

3、，對棱AB，CD都與平行且與等距，設截得截面四邊形的面積為S，對棱AB與CD的距離為h，求這個四面體ABCD的體積分析及答案 分析：利用“等底、等高的兩個四面體的體積相等”將四面體添加幾個等體積的四面體，構(gòu)成一個平行六面體來計算解答：過四面體ABCD的各棱分別作與其對棱平行的平面，六個平面相交得一平行六面體AC1BD1A1CB1D（如圖1015）此時VABCD等于平行六面體的體積V減去四個彼此等積的三棱錐的體積，這四個三棱錐分別是AA1CD，BB1DC，CC1AB，DD1AB因為這四個三棱錐的底面積為平行六面體底面積的，其高與平行六面體的高相等，故每一個三棱錐的體積等于于是由于AB，CD與截面

4、等距，如圖1015可知K，L，M，N分別是AA1，CC1，BB1，DD1的中點，易知，而h就是平面AC1BD1與平面A1CB1D的距離，所以說明：利用“等積”進行割補，是解決多面體體積問題的一個有效方法4、設SABCD是一個高為3，底面邊長為2的正四棱錐，K是棱SC的中點，過AK作平面與線段SB、SD分別交于M、N（M，N可以是線段的端點）試求四棱錐SAMKN的體積V的最大值與最小值分析及答案 分析：顯然SAMKN的體積V可由SM，SN的長度確定，令，設法建立V與x，y的函數(shù)關系，以及x與y的關系，消去x（或y），使V成為y（或x）的一元函數(shù)，再求V的最大值和最小值解答：為了建立V與原四棱錐S

5、ABCD的關系我們需要下列結(jié)論：引理：設A1，B1，C1分別在三棱錐SABC的側(cè)棱SA，SB，SC上，又SA1B1C1與SABC的體積分別是V1和V，則事實上，如圖1017，設C，C1在平面SAB上的射影分別是H，H1則又，所以下面回到原題，如圖1016設的體積為于是，由引理可得于是，而由當即時，等號成立，故V的最小值為其次，令時，所以f(u)在單調(diào)遞減而在1，2上單調(diào)遞增，且因此f(u)在上的最大值為從而當即取最大值為綜上得四棱錐SAMKN的體積V的最大值為，最小值為說明：本題也可由關于x的方程在區(qū)間上有實根的條件，經(jīng)過討論得出且兩端等號均能達到，從而得出上述同樣的結(jié)論5、直三棱柱ABCA1

6、B1C1的底面是等腰三角形，AB=AC，BAC=，AD是BC邊上的高，若此直棱柱的側(cè)面積為S，過BC1且與AD平行的平面與底面成角，求這平面截棱柱所得截面面積以及棱柱被截面分成的兩部分的體積分析及答案 分析：利用線面平行關系確定截面的位置后，再計算解答：如圖1018，因截面與AD平行，故截面與底面的交線為過B與DA平行的直線，設這條直線交CA的延長線于E，連C1E交A1A于F，連BF則C1FB即為平行于AD的平面截棱柱所得的截面因為CC1平面ABC，又ADBC，AD/EB，故BCEB，由三垂線定理得BEBC1，而C1BC是二面角C1BEC的平面角，故C1BC=設BC=a，則，于是又CC1平面A

7、BC，故CC1BC在RtC1CB中，CC1=BCtan=atan從而有故截面BC1F的面積為設棱柱ABCA1B1C1的體積為V，它被截面分成上、下兩部分的體積分別為V1和V1，于是又F到平面BCC1B1的距離為h=AD故因此6、已知圓錐的表面積等于其內(nèi)切球的表面積的n倍，試確定正整數(shù)n的一切可能值分析及答案 解析：如圖1019，設圓錐底面半徑為R，母線長為l，母線與底面的夾角為，內(nèi)切球半徑為r依題意，有R(Rl)=n·4r2而在O1OB中有，在BOC中，有，代入上述等式并約去R2后，得將代入后，得令，我們得到于是當因為z必須為正數(shù)，所以注意到，要使上述解滿足條件還必須是0<&l

8、t;90，即因為故z1,2都符合要求。故所求正整數(shù)n為不小于2的一切正整數(shù)說明：本題的關鍵是利用了三角函數(shù)將一個含三個變量的方程化為一元二次方程來討論從而使問題迎刃而解7、已知ABC中各頂點的坐標分別為(xA，yA)，(xB，yB)，(xC，yC)，點E，F(xiàn)分別AC，AB上，且求BE與CF的交點P的坐標分析及答案 解答：由定比分點公式得另一方面，由梅涅勞斯定理又有，于是，從而再次利用定比分點公式，得同理可得所以，所求交點的坐標為說明：由例1中公式可得：ABC的重心G、內(nèi)心I、垂心H、外心O的坐標分別為：8、ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點H、直線ED和AB交于M，F(xiàn)D和AC交于點N求證：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN分析及答案 證明：（1）如圖建立直角坐標系，設A（0,a），B（b,0），C（c,0），則AB的方程為axbyab=0AC的方程為axcyac=0CF的方程為bxaybc=0BE的方程為cxaybc=0于是可求得又BC的中垂線方程為，AC的中垂線方程為，故可求得又因FD過點F，故可設其方程為，而FD過原點，所以，代入上式