空間向量巧解平行、垂直關(guān)系

1、高中數(shù)學(xué)空間向量巧解平行、垂直關(guān)系編稿老師劉詠霞一校黃楠二校楊雪審核鄭建彬一、考點突破知識點課標要求題型說明1. 能夠運用向量的坐標判斷兩個向量的平行或垂直。2.理解直線的方向向量與平面的注意用向量方法解決平行和垂直空間向量巧解法向量。選擇題填空題問題中坐標系的建平行、垂直關(guān)系3.能用向量方法解決線面、面面的立以及法向量的求解答題垂直與平行問題，體會向量方法在法。立體幾何中的作用。二、重難點提示重點： 用向量方法判斷有關(guān)直線和平面的平行和垂直關(guān)系問題。難點： 用向量語言證明立體幾何中有關(guān)平行和垂直關(guān)系的問題?？键c一：直線的方向向量與平面的法向量1.直線 l 上的向量 a 或與 a 共線的向量叫

2、作直線l 的方向向量。2.如果表示向量a 的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面 ，記作 a ，此時向量a 叫作平面 的法向量。【核心歸納】 一條直線的方向向量有無數(shù)多個，一個平面的法向量也有無數(shù)多個，且它們是共線的。 在空間中，給定一個點A 和一個向量a，那么以向量a為法向量且經(jīng)過點A 的平面是唯一確定的?！倦S堂練習(xí)】已知 A（ 1， 1， 0）， B（1， 0，1）， C（ 0，1， 1），則平面 ABC的一個法向量的單位向量是（）A. （1， 1， 1）B. (3, 3, 3)333C. (1,1,1)D. (3, 3,3 )333333思路分析： 設(shè)出法向量坐標，列方程組

3、求解。uuuruuur答案： 設(shè)平面 ABC的一個法向量為 n（ x，y，z）， AB （ 0， 1，1）， BC （ 1，uuuryz0uuurAB·nuuurxy0 ， x y z，1， 0）， AC （ 1， 0， 1），則BC ·nuuurxz0AC ·n又單位向量的模為1，故只有B正確。技巧點撥： 一般情況下，使用待定系數(shù)法求平面的法向量，步驟如下：（ 1）設(shè)出平面的法向量為 n（ x， y， z）。（ 2）找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量a（ a1， b1， c1），b（ a2， b2 ，c2）。（ 3）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x， y， z 的方

4、程組n·a0n·b0.（ 4）解方程組，取其中的一個解，即得法向量。考點二：用向量法證明空間中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系設(shè)兩條不重合的直線l ， m的方向向量分別為a（ a1， b1， c1）， b（ a2，b2，線線平行c2），則 l m? a b? （ a1， b1， c1） k（ a2， b2，c2）設(shè) l 的方向向量為a（ a1， b1，c1）， 的法向量為u（ a2， b2，c2），線面平行則 l ? a u? a· u 0? a1a2b1 b2 c1c2 0設(shè) ， 的法向量分別為u（ a1， b1， c1）， v（ a2 ，b2， c2），面面平行?u?（1

5、，1，1）k（2，2，c2）則va b ca b設(shè)兩條不重合的直線l ， m的方向向量分別為a（ a ， b ， c）， b（ a ，b ，線線垂直11122a a b b cc 0c ），則 l m? a b? a· b 0?2121212設(shè) l 的方向向量為a（ a1， b1，c1）， 的法向量為 u（ a2， b2，c2），線面垂直則 l ? a u? a ku? （ a1，b1， c1） k（a2， b2， c2）（ k R）設(shè)，的法向量分別為u（a1，b1，1），（ 2， 2，2），cvabc面面垂直則 ? u v? u·v 0? a1a2b1b2 c1c2 0【

6、核心突破】 用向量法解決立體幾何問題是空間向量的一個具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、 輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算， 降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想。 用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：建立立體圖形與空間通過向量運算，研究把向量的運算結(jié)果向量的聯(lián)系，用空間點、直線、平面之間“翻譯”成相應(yīng)的幾向量表示問題中涉及的位置關(guān)系以及它們何意義。的點、直線、平面，之間的距離和夾角等把立體幾何問題轉(zhuǎn)化問題。為向量問題。例題1（浙江改編）如圖，在四面體A BCD中， AD平面BCD，BC CD，AD 2，BD 22，M是AD的中點，P是BM的

7、中點，點Q在線段AC上，且AQ3QC。證明：PQ平面 BCD。思路分析： 利用直線的方向向量和平面的法向量垂直證明線面平行。答案： 證明：如圖，取 BD的中點 O，以 O為原點， OD、OP所在射線為 y、z 軸的正半軸，建立空間直角坐標系 O xyz。由題意知， A（0，2 ， 2）， B（ 0，2 ， 0），D（ 0，2 ，0）。設(shè)點 C的坐標為（ x0， y0uuuruuur3231，0）。因為 AQ3QC ，所以 Qy0 ,。4 x0 ,442因為 M為 AD的中點，故 M（ 0， 2 ， 1），又 P 為 BM的中點，故 P 0,0, 1，2uuur3 y0 ,0 。所以 PQ 3

8、x0 ,2444uuur又平面 BCD的一個法向量為a（ 0， 0， 1），故 PQ · a0。又 PQ?平面 BCD，所以 PQ平面 BCD。技巧點撥： 解決此類問題的依據(jù)是要根據(jù)線面平行的判定定理，平面內(nèi)某一向量平行，也可證直線的方向向量與平面的法向量垂直。可證直線的方向向量與例題 2如圖所示，正三棱柱（底面為正三角形的直三棱柱） 1 1 1 的所有棱長都ABC A BC為 2，D為1 的中點。求證：1平面1。CCABABD思路分析： 證明線面垂直可以通過證明線與面的法向量平行來實現(xiàn)。答案：證明：如圖所示， 取 BC的中點 O，連接 AO，因為 ABC為正三角形， 所以 AOBC

9、。在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 ABC平面BCC1B1， AO平面 BCC1B1，取 B1C1 的中點 O1，以 O為原點，分別以uuuruuuuruuurOB，OO， OA 所在直線為 x 軸， y 軸， z 軸1建立空間直角坐標系，則B（ 1，0，0），D（ 1，1，0），A1（ 0，2，3 ），A（ 0，0，3 ），B1（ 1， 2，0）。uuuruuuruuur（ 1，2，3 ）BA3 ）， BD （ 2， 1，0）。 AB =（1， 2，11設(shè)平面 A1BD的法向量為 n（ x， y，z），uuuruuuruuurnBA10x2 y3z0，因為 n BA ， n BD

10、，故uuur1n02xy0BD令 x1，則 y2， z3 ，故 n（ 1， 2，3）為平面A1BD的一個法向量，uuur（ 1， 2， 3uuurnuuurnABA BD而AB1），所以AB1AB1，故 ，所以1平面1。技巧點撥： 解決此類問題的依據(jù)是要根據(jù)線面垂直的判定定理，證明直線的方向向量與平面的法向量平行。例題3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1 中， AB BC， AB BC 2， BB1 1， E 為BB1 的中點，求證：平面AEC1平面 AA1C1 C。思路分析： 建系寫出坐標，分別求出兩個平面的法向量，證明兩個平面垂直。答案： 證明：由題意得 AB，BC， B1B 兩兩垂直，以

11、 B 為原點，分別以 BA， BC，BB1 所在直線為 x，y， z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則 （2， 0， 0）， 1（ 2，0， 1）， （ 0， 2，0）， 1（0， 2， 1）， （ 0， 0， 1），AACCEuuuruuuruuuuruuur 2則 AA1 （ 0，0， 1）， AC （ 2， 2，0）， AC1 （ 2， 2， 1）， AE （ 2， 0， 1 ）。2uuur設(shè)平面 AACC的一個法向量為n （ x，y， z），則n1 ·AA10z 0uuur1112x2 y0n1 ·AC0令 x1，得 y1， n1（ 1， 1， 0）。uuuur

12、2x02 y0z0 0n 2·AC10設(shè)平面 AEC1的一個法向量為n2（ x0，y0，z0），則uuur2x01 z00n 2·AE 02令 z04，得 x0 1， y0 1。 n2（ 1， 1，4）。 n1 ·n21×11×（ 1） 0×4 0， n1n2 . 平面 AEC1平面 AA1C1C。技巧點撥： 利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑， 一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進而轉(zhuǎn)化為線線垂直； 二是直接求解兩個平面的法向量， 由兩個法向量垂直， 得面面垂直。 向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在

13、不必考慮圖形的位置關(guān)系。恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只須經(jīng)過向量運算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思維難度。利用向量解決立體幾何中的探索性問題【滿分訓(xùn)練】 在正方體 ABCD A1B1C1D1 中， E，F(xiàn) 分別是棱 AB，BC的中點，棱 BB1 上是否存在一點 M，使得 D1M平面 EFB1。思路分析： 設(shè)出點 M的坐標，利用線面垂直列方程組求解。答案： 建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，設(shè)正方體的棱長為2，則 （2，1，0），（ 1， 2，0）， 1E（ 0， 0， 2）， 1（ 2， 2，2）。FDBuuur設(shè) M（ 2，2， m），則 EF （ 1，1， 0）， 2

14、）。 D1M平面 EFB1，uuurB1E （ 0， 1， 2），uuuuur D1M（ 2， 2， m D1M EF， D1M B1E，uuuuuruuuruuuuuruuur D1M · EF 0 且 D1M · B1E 0，于是22 0， 1。22(m2)m0故取1 的中點為就能滿足1 平面1。B BMDMEFB技巧點撥： 對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件做出判斷，再進一步論證。 另一種是利用空間向量， 先設(shè)出假設(shè)存在的點的坐標， 再根據(jù)條件求該點的坐標，即找到“存在點”，若該點坐標不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”。（答題時間： 40 分鐘）

15、1.（東營高二檢測）已知平面 的法向量為a（ 1， 2， 2），平面 的法向量為b（ 2， 4， k），若 ，則 k（）A. 4B. 4uuurC. 5D. 52.uuuruuur（青島高二檢測） 若 AB CD CE ，則直線 AB與平面 CDE的位置關(guān)系是 （）A. 相交B. 平行uuurC. 在平面內(nèi)D. 平行或在平面內(nèi)uuuruuuruuuruuur3. 已知 AB （ 1，5， 2）， BC （ 3，1，z），若 AB BC ， BP （x 1，y， 3），且 平面，則實數(shù)x，z分別為（）BPABCyA. 33 ， 15 ，4B.40 ， 15 ，4C.40 ， 2，4 D. 4，

16、40 ，157777774. （汕頭模擬）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長為 3，點 E 在 AA1上，點 F 在 CC1上，且 AE FC1 1。（ 1）求證： E，B， F， D1 四點共面；（ 2）若點 G在 BC上，BG 2 ，點 M在 BB1 上，GM BF，垂足為 H，求證：EM平面 BCC1B1。35. 下列命題中，正確的是 _。（填序號） 若 n1， n2 分別是平面 ， 的一個法向量，則n1 n2 ； 若 n， n 分別是平面 ， 的一個法向量，則 n · n 0；1212 若n是平面的一個法向量，a與平面共面，則 · 0；na 若兩個平

17、面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直。uuuruuur uuuruuuruuur6. 平面上有四個互異的點 A， B，C，D，已知（ DB DC 2 DA ）·（ AB AC ）0，則 ABC的形狀是三角形。7. 如圖，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD是矩形， AB 2， AD 1， AA1 3， M 是BC的中點。在DD1上是否存在一點N，使 MN DC1？并說明理由。8. （衡水調(diào)研卷）如圖所示，在四棱柱ABCD A 1B1C1D1 中， A 1D 平面 ABCD，底面ABCD是邊長為1 的正方形，側(cè)棱A1A 2。（1）證明： AC A1B ；uuur

18、uuur（ 2）是否在棱A1A 上存在一點P，使得 AP PA1 ，且面 AB1C1面 PB1C1。1. D 解析： ， a b， a· b 28 2k0， k 5。uuuruuuruuuruuuruuuruuur2. D 解析： AB CD CE ， AB 、 CD 、 CE 共面，則 AB與平面 CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)。uuuruuuruuuruuur3. B 解析： AB BC ， AB · BC 0，即 3 5 2z 0，解得 z4，40uuuruuuruuuruuurx15 y60x7。又 BP平面 ABC， BP AB ， BP BC ，則3 x1y1

19、2，解得150y74. 證明：（ 1）以 B 為原點，以 BA， BC，BB1 為 x 軸， y 軸， z 軸，建立如圖所示的空間直 uuur角坐標系 B- xyz ，則 B（0，0，0），E（ 3，0， 1），F(xiàn)（0，3，2），D1（ 3，3，3），則 BE （ 3，uuuruuuuruuuuruuuruuur0， 1）， BF （ 0，3， 2）， BD1 （ 3， 3，3），所以 BD1 BE BF 。由向量共面的充要條件知 E，B， F， D1 四點共面。（ 2）設(shè) M（ 0，0， z0）， G 0, 2 ,032uuur，則GM 0, z0 ，而 BF （ 0， 3， 2），3uuu

20、r200uuur由題設(shè)得 GM · BF ×3 z ·2 0，得 z 1。故 M（ 0， 0， 1），有 ME （ 3，30， 0）。uuuruuur uuuruuur uuuruuur又 BB1（ 0，0， 3）， BC （ 0，3， 0），所以 ME · BB10， ME · BC 0，從而 ME BB1， ME BC。又 BB1 BCB，故 EM平面 BCC1B1。5.解析：一定正確，中兩平面有可能重合。uuur uuur uuur6.uuur uuuruuuruuur uuur等腰解析：（ DB DC2DA）·（ AB AC）（ DBDADC uuuruuuruuuruuuruuurDA）· CB （ ABAC）·CB 0，故 ABC為等腰三角形。7. 解：如圖所示，建立以 D為坐標原點， DA為 x 軸， DC為 y 軸， DD1為 z 軸的坐標系，則 C1（ 0， 2， 3）， M（ 1 ， 2， 0），D（ 0， 0， 0）。設(shè) N（ 0，