2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第6節(jié)拋物線學(xué)案文北師大版

1、第六節(jié)拋物線考綱傳真1. 了解拋物線的實(shí)際背影，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用 2 了解拋物線的定義、 幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線方程）3 理解數(shù)形結(jié)合的思想 4 了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.雙基自主測(cè)評(píng)I 基礎(chǔ)知識(shí)誤林力全面鞏固（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第 123 頁）基礎(chǔ)知識(shí)填充1.拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1（1不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的集合叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線I叫做拋物線的準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程-2-y= 2px(P0)- 2-y- 2px(pO)- 2-x 2py(pO)-2-x-

2、2py(pO)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線I的距離圖形/1L0y0X頂點(diǎn)皿對(duì)稱軸仏y=0 xO焦占八、八、-ifp，o)F2,o)o,y Rxwo,yRyO,xRywO,xR焦半徑| PF,pXo+,pXo+2,pyo+2,p-yo+2知識(shí)拓展1.拋物線y2= 2px（p0）上一點(diǎn)P（xo,yo）到焦點(diǎn)F=, 0 的距離|PF=xo+p，也稱為拋物線的焦半徑.22.y2=ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 曽，0 ,準(zhǔn)線方程為x= a.b 丿43. 設(shè)AB是過拋物線y2= 2px(p0)焦點(diǎn)F的弦，若A(xi,yi) ,B(x2,y2)，則2P2(1)xiX2= 4,yiy2=p.2p弦長(zhǎng) IAB=X1+X2+p

3、=a為弦AB的傾斜角).sina以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p,通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.基本能力自測(cè)1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的集合一定是拋物線.方程y=ax2(az0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是線方程是x= 4.()4拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.()AB為拋物線y2= 2px(p0)的過焦點(diǎn) F|2, 0 的弦，若A(X1,y” ,B(X2,y2),則X1X2=:,(J10，準(zhǔn)2y1y2=p，弦長(zhǎng) |AB=X1+X2+p.()

4、答案(1)X(2)X(3)XV2一2.(教材改編)若拋物線y= 4x上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為 1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.C.15B亦D. 0M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離,11又準(zhǔn)線方程為y= 16，設(shè)Mx,y)，則y+云=1，Ay=暮3拋物線y= 4x4的準(zhǔn)線方程是(A.y= iB.y= 2C.x= 1D.x= 2 y= 4x2,2 x = 4y ,準(zhǔn)線方程為y= 1.78324.(2018 大同模擬)已知拋物線y= 2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(一 1,1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A. ( 1,0)B. (1,0)C. (0， 1)D. (0,1)B 拋物線y2= 2px(p0)的準(zhǔn)線

5、為x= *且過點(diǎn)(一 1,1)，故一 2= 1，解得p= 2,所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).25.(2016 浙江高考)若拋物線y= 4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為 10,則M到y(tǒng)軸的距離是9 設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xo,則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x= 1 的距離為xo+ 1,由拋物線的定義知xo+ 1 = 10,X。= 9,點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為 9.題型分類突破I耗題型規(guī)律方法逐麺(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第 124 頁)曲封拋物線的定義及應(yīng)用(1)(2014 全國(guó)卷I)已知拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(x。，y。)是C上一點(diǎn),IAH= 4x0,貝yX0=()A. 1C. 4D. 8已知拋物線y2= 4x,過焦點(diǎn)F的直

6、線與拋物線交于A, B兩點(diǎn)，過A,B分別作y軸的垂線，垂足分別為C, D,則|Aq+ |BD的最小值為 _ .【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090304】21(1)A (2)2 (1)由y=x，知 2p= 1,即卩p= ,設(shè)點(diǎn)A(X0,y)到準(zhǔn)線I的距離為d,則由拋物線的定義可知d=|AF.15從而X0+ 4= 4x0,解得X0= 1.2由y= 4x，知p= 2,焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線x= 1.根據(jù)拋物線的定義，|AF| = |AC+ 1, |BF= |BD+ 1.因此 |AQ+ |BD T AF+ IBF 2= |AB 2.所以|AC+ |BD取到最小值，當(dāng)且僅當(dāng)|AB取得最小值，B. 2因此焦點(diǎn)F1, 0

7、 ,準(zhǔn)線I的方程為14又 IAB= 2p= 4 為最小值.5故|Aq+ IBQ的最小值為 4 2 = 2.規(guī)律方法1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離， 一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離處 理如本例充分運(yùn)用拋物線定義實(shí)施轉(zhuǎn)化，使解答簡(jiǎn)捷、明快.2P2若Rxo,y。)為拋物線y= 2px(p0)上一點(diǎn)，由定義易得|PFJ =Xo+2；若過焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(X1,yd,B(X2,y2)，則弦長(zhǎng)為|AB=X1+X2+p,X1+X2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出.2變式訓(xùn)練 1 (1)設(shè)P是拋物線y= 4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x= 1 的距離之和的最小值為 _ .2rv

8、 I(2)若拋物線y= 2x的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，則|PA+ |PF取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為5 (2) (2,2) (1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線是x= 1，由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線x= 1 的距離等于點(diǎn)P到F的距離于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上 求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A 1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小.連接AF交拋物線于點(diǎn)P,此時(shí)最小值為設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線I:x= *的距離為d,由定義知|PA+ IPF| = |PA+d,當(dāng)PAL I72時(shí)，|PA+d最小，最小值為 2,此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為 2，代入y= 2x，得x= 2,；62

9、,二 A 在拋物線內(nèi)部，如圖.6坐標(biāo)為(2,2) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)點(diǎn)M5,3)到拋物線y=ax2的準(zhǔn)線的距離為 6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是722x= 12y或x=- 36y.y= 4x知p= 2.焦點(diǎn)F(1,0).k又曲線y=-(k0)與曲線C交于點(diǎn)P,且PF丄x軸.x- R1,2 ),k將點(diǎn)P(1,2)代入y=x，得k= 2z.規(guī)律方法1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：(1) 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有P,所以只需一個(gè)條件確定p值即可.(2) 拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量.2 由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點(diǎn)位置、焦點(diǎn)

10、到準(zhǔn)線的距離，從而進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.變式訓(xùn)練 2 (1)(2018 鄭州模擬)拋物線y2= 2px(p0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為 拋物線上一點(diǎn)，且|MF= 4|0F，MFC的面積為 4,3,則拋物線的方程為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090305】A.21x=Py121Bx= 12y或x=-36yC.21x=-36y22D. x= 12y或x=- 36yA.C.設(shè)F為拋物線C：y2= 4x的焦點(diǎn)，曲線ky=x(k0)與C交于點(diǎn)P, PF丄x軸，則k=(B.D.(1)D (2)D 1將y=ax化為x=ay當(dāng)a0 時(shí)，準(zhǔn)線1 1y=-4a，則3+4a=6，a=衣.當(dāng)a0）于點(diǎn)P,

11、 M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接Oh并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說明理由.1x= 2,x= 2,y=2、2,由圖知B 322直線與(1)求IOHION；聯(lián)立直線與拋物線的方程知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為y=x1),10解如圖，由已知得M0,t）,11故直線ON的方程為y=px,將其代入y2= 2px，整理得px2 2t2x= 0,2t2,2t2、解得X1= 0,X2=.因此 Hj , 2t.pkpJ所以N為0H的中點(diǎn)，即=2.直線MH與C除 H 以外沒有其他公共點(diǎn)理由如下:直線MH的方程為yt= 2tx,即x=(yt).2 2 2代入y= 2px得y 4ty+ 4t= 0，解得y

12、i=y2= 2t,即直線MHW C只有一個(gè)公共點(diǎn),規(guī)律方法1.(1)本題求解的關(guān)鍵是求出點(diǎn)N, H的坐標(biāo).(2)第(2)問將直線與拋物線C的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.2. (1)判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo), 用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.(2)解題時(shí)注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧.角度 2 與拋物線弦長(zhǎng)或中點(diǎn)有關(guān)的問題(2017 泰安模擬)已知拋物線 C:y2= 2px(p0)的焦點(diǎn)為F,拋物線C與直線l1：y=x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程; 不過原點(diǎn)的直

13、線 丨2與l1的垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A B,若線段AB的中點(diǎn)為P,且 IOP= |PB|，求FAB的面積.解(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8 , 8),2 2 ( 8) = 2px8,二 2p= 8 ,拋物線方程為y= 8x. 直線12與l1垂直，故可設(shè)直線丨2：x=y+mA(x1,y,B(x?,y2)，且直線12與x軸的交點(diǎn)為M又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，故所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點(diǎn).12 分MH的方程也可利12廠2小y= 8x,2由 $得y 8y 8m= 0, = 64 + 32m0,. m 2.lx=y+m132 2yiy22yi+y2= 8,yiy2= 8m二xiX2= -64 =m.由題意可知OAL OB2即X1X2+y)2=m 8m= 0, m= 8 或 m= 0(舍)，二直線12：x=y+ 8