(浙江專版)高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義學(xué)案新人教A版必修4

1、12. 4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義澡前自主學(xué)習(xí).基穩(wěn)才能樓鬲預(yù)習(xí)課本 P103105，思考并完成以下問(wèn)題(1)怎樣定義向量的數(shù)量積？向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘相同嗎？(2)向量b在a方向上的投影怎么計(jì)算？數(shù)量積的幾何意義是什么? 向量數(shù)量積的性質(zhì)有哪些? 向量數(shù)量積的運(yùn)算律有哪些?新知初探1向量的數(shù)量積的定義(1)兩個(gè)非零向量的數(shù)量積:已知條件向量a,b是非零向量，它們的夾角為0定義a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)是數(shù)量|a|b|cos0記法a-b= |a|b|cos0(2)零向量與任一向量的數(shù)量積：規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為 0.點(diǎn)睛(1)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，它

2、的值等于兩向量的模與 兩向量夾角余弦值的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值來(lái)決定.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積記作ab,千萬(wàn)不能寫成axb的形式.2.向量的數(shù)量積的幾何意義(1) 投影的概念：1向量b在a的方向上的投影為 IblcosB.2向量a在b的方向上的投影為 IalcosB.(2) 數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a-b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影 Ib|cosB的乘積.點(diǎn)睛(1)b在a方向上的投影為|b|cos0(B是a與b的夾角)，也可以寫成a bTaT2(2)投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零.33.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量，0為a與b的夾角.a丄b?ab=

3、 0.(2) 當(dāng)a與b同向時(shí)，ab= |a|b| ,當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=- |a|b|.(3)aa= |a|2或|a| =a - a=a2.ab(4) cos0=.Ia|b|(5) | a-b| 三|a|b|.點(diǎn)睛對(duì)于性質(zhì)(1)，可以用來(lái)解決有關(guān)垂直的問(wèn)題，即若要證明某兩個(gè)向量垂直，只需判定它們的數(shù)量積為0;若兩個(gè)非零向量的數(shù)量積為0，則它們互相垂直.4向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)ab=ba(交換律).(2) (入a) b=入(ab) =a(入b(結(jié)合律).(3) (a+b) c=ac+bc(分配律).點(diǎn)睛(1)向量的數(shù)量積不滿足消去律：若a,b,c均為非零向量，且a c=bc,但得不到a=b.

4、(2) (ab) c豐a(bc)，因?yàn)閍b,bc是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(ab) c與向量c共線，a(bc)與向量a共線，因此，(ab) c=a(bc)在一般 情況下不成立.小試身手1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“x”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積仍然是向量.()若a b=bc,則一定有a=c.()(3) 若a,b反向，則a b= |a|b|.()若ab= 0,貝Ua丄b.()答案：(1)x(2)x(3)Vx12. 若 |a| = 2, |b| = ,a與b的夾角為 60,貝U a b=()1A. 2B.?1C. 1D4答案：B413.已知 |a| = 10,|b| =

5、 12,且(3a) 5b=- 36,則a與b的夾角為()A. 60B. 120C. 135D. 150答案：B4已知a,b的夾角為0, |a| = 2, |b| = 3.(1) 若0= 135，貝Ua-b =_;(2) 若a/b,貝Ua-b =_;若a丄b,貝Ua-b=_ .答案：(1) 3 2(2)6 或一 6(3)0典例已知向量a與b的夾角為 120,且|a| = 4, |b| = 2，求：ab;(a+b) (a 2b).uuiruuuruuu(2)如圖，正三角形ABC勺邊長(zhǎng)為：2,AB=c,BC=a,CA=b,求ab+bc+ca.解(1)由已知得ab=|a|b|cos0= 4x2xcos

6、 120= 4.2 2(a+b)(a2b)=aab2b=16(4)2x4=12.(2)v|a| = |b| = |c| = 、2，且a與b,b與c,c與a的夾角均為 120, ab+bc+ca=2x.2xcos 120 x3=3.向量數(shù)量積的求法(1) 求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量 的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵.題型一向量數(shù)量積的運(yùn)算課議講練誥計(jì).舉一能通類題5(2) 根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法 運(yùn)算.活學(xué)活用已知|a| = 3, |b| = 4,a與b的夾角為 120,求:62 2a b； (2)ab；(2ab)

7、 (a+ 3b).解：(1)a b= |a|b|cos 120 = 3x4X 2 = 6.a2b2= |a|2 |b|2= 32 42= 7.2 2(2ab)(a+ 3b) = 2a+ 5a-b 3b=2|a|2+ 5|a|b| - cos 120 3|b|2題型三*與向量的模有關(guān)的冋題典例(1)(浙江高考)已知ei,e2是平面單位向量，且ei-e2= 2.若平面向量b滿足be1=be2= 1,貝y|b| =_ .(2)已知向量a,b的夾角為 45，且|a| = 1, |2ab| =屮 0,貝 U |b| =_解析令e1與e2的夾角為0,又 0w0w180,.0=60./b ( e1e2)=

8、0,b與e1,e2的夾角均為 30,b 8 = |b|e1|cos 30 = 1,從而 |b| = 3_ =竽.cos 303(2) /a,b的夾角為 45, |a| = 1,a b= |a|b|cos 45 = 子|b| ,|2ab|2= 4 4X-|b| + |b|2= 10,. |b| = 3 .2.答案號(hào) (2)3、:2求向量的模的常見(jiàn)思路及方法(1)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2=|a|2,勿忘2=2X3 +5X3X4X3X4 = 60. 8 -e2= |e1-|e2|cos10= cos0=237記開(kāi)方.aa=a2= |a|2或|a| =.a2,可以

9、實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.活學(xué)活用已知向量a,b滿足|a|= |b|= 5，且a與b的夾角為 60,求|a+b| , |ab|, |2a+b|.22解:T|a+b| = (a+b) = (a+b)(a+b)=|a|2+ |b|2+ 2ab= 25+ 25+ 2|a|b|cos 60 1=50+2X5X5X =75,I a+ b| = 532 2/1ab| = (ab) = (ab)(ab)22=|a| +1b| 2ab22=|a| + |b| 2|a|b|cos 60 = 25, |ab| = 5.2/12a+b| = (2a+b)(2a+b)2 2=4|a| +1b| + 4ab=4

10、|a| +1b| + 4|a|b|cos 60 = 175, |2a+b| = 5：7.兩個(gè)向量的夾角和垂直題點(diǎn)一：求兩向量的夾角a,b滿足|b| = 4|a|，且a丄(2a+b)，貝U a與b的夾角為2 2|b| = 4|a| , 2|a| + 4|a| cosa,b= 0,1.(重慶高考)已知非零向量C.2n3D.38解析：選 C a 丄(2a+b) , a (2a+b) = 0,2 . 2|a| +ab= 0,2即 2|a| + |a|b|cos a,b= 0.題點(diǎn)二：證明兩向量垂直 cosa,b1,a,b2n92. 已知向量a,b不共線，且|2a+b|=|a+ 2b|，求證：(a+b)

11、丄(ab).證明:|2a+b| =|a+ 2b| ,2 2(2a+b) = (a+ 2b).即 4a2+ 4ab+b2=a2+ 4ab+ 4b2, 2 2-a=b .2 2 (a+b) (ab) =ab= 0.又a與b不共線，a+0,ab*0, (a+b)丄(ab).題點(diǎn)三：利用夾角和垂直求參數(shù)3.已知a丄b, |a| = 2, |b| = 3 且向量 3a+2b與kab互相垂直，則k的值為()33A. 2B 2c 土 3D. 1解析：選 BT3a+ 2b與kab互相垂直， (3a+ 2b) (kab) = 0,2 2 3ka+ (2k 3) a -b 2b= 0.a丄b,a-b= 0,又 I

12、a| = 2, |b| = 3,3 12k 18= 0,k=勺求向量a與b夾角的思路(1)求向量夾角的關(guān)鍵是計(jì)算a-b及|a|b| ,在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計(jì)算在個(gè)別含有|a| , |b|與a-b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計(jì)算cos0的值.cosa-b|a|b|，最后借助0,n，求出0的值.課姑展級(jí)訓(xùn)涼步歩提打能力r I h10層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1 .已知向量a,b滿足|a| = 1, |b| = 4,且a-b= 2,則a與b的夾角0為()11A A.6BnB.TnC.亍nD兀解析：選 C 由題意，知ab= |a|b|cos0= 4cos0= 2，又 Ow0Wn，所以0=n丁.3

13、2已知|b| = 3,a在b方向上的投影為 2，則ab等于()9A 3B21C. 2D.23解析：選 B 設(shè)a與b的夾角為0 . |a|cos0=，39 ab= | a| b|cos3.已知 |a| = |b| = 1,a與b的夾角是 90,c=2a+ 3b,d=ka 4b,c與d垂直，則k的值為()A. 6B. 6C. 3D. 3解析：選 BTcd= 0, (2a+ 3b) (ka 4b) = 0,2 2 2ka 8ab+ 3kab 12b= 0, 2k= 12 ,k= 6.4.已知a,b滿足 |a| =4, |b| = 3，夾角為 60,則 |a+b| =()A. 37B. 13C. 37

14、D. 13解析：選 C |a+b| = .：a+b2=, a2+ 2ab+b2=42+2X4X3cos 60 +32=.37.5.在四邊形ABCDKUULTAB=UULTDC,UULT UULT且ACBD= 0,則四邊形ABC是()A. 矩形B.菱形C. 直角梯形D.等腰梯形uuirUUUTUULTUULTUULT解析：選 B -AB=DC,即一組對(duì)邊BD平行且相等，ACBD= 0, 即對(duì)角線互相垂直，四邊形ABCD菱形.126.給出以下命題:131若az0,則對(duì)任一非零向量b都有a bz0；2若ab= 0,貝Ua與b中至少有一個(gè)為 0;3a與b是兩個(gè)單位向量，則a2 3=b2.其中，正確命題

15、的序號(hào)是 _ .解析：上述三個(gè)命題中只有正確，因?yàn)閨a| = |b| = 1,所以a2= |a|2= 1,b2= |b|2= 1,故a2=b2當(dāng)非零向量a,b垂直時(shí)，有a b= 0，顯然錯(cuò)誤.答案：7.設(shè)&代2是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為 60,則(2e1 e ( 3& + 2eJ=_.229解析：(2e1e2) ( 3e1+ 2e2)= 6e1+ 7e1e2 2e2= 6+ 7xcos 60 2=.答案：9&若|a| = 1, |b| = 2,c=a+b,且c丄a,則向量a與b的夾角為_(kāi).解析：c丄a,.c-a= 0,(a+b) -a= 0, 即卩a2+a-b= 0.

16、/|a| = 1, |b| = 2, 1 + 2cosa,b= 0,1 cosa,b=2又 0wa,bw180,.a, b= 120.答案：1209.已知e1與e2是兩個(gè)夾角為 60的單位向量，a= 2e1+e2,b= 2e2 3e1，求a與b的 夾角.解：因?yàn)?|e1| = |ea| = 1,1所以e1-e2= 1x1xcos 60 =,|a|2= (2 8 +e2)2= 4+ 1 + 4e1-e2= 7,故 |a| = .7,Ib|2= (2e2 3ed2= 4 + 9 12e1e2= 7,故 |b| =7,且ab= - 6e1+ 2el+ei-氏=6+ 2+ -=ab所以 cosa,b=

17、石b=IalIbl= |b|cosa,b,因?yàn)閨a| = 1, |b|=2，所以 cosa,b= 0，即a丄b,則 |ab| = , |a|2+1b|2 2a-b= ,5.uuurAC等于(C. 8 D .16AC丄uuur解析：選 D法一 :因?yàn)閏osA=AB故AB=16，故選 Duuuuuuruuu法二：AB在AC上的投影為|ABuuur uuuruuuruuuruuuruuuruuur2AC = U AB | -| AC|cosA=|AC|uuuruuuruuurA. 16 B . 8|AC|AB|cosA= |AC|2= 16,故選 D.|cosA= |AC| ,故AB-AC=15UU

18、Ur LULT4.如圖，在邊長(zhǎng)為 2 的菱形ABC中，/BAD=60,E為BC的中點(diǎn)，則AEBD=()5.設(shè)向量a, b,c滿足a+b+c= 0, (a-b)丄c,a丄b,若|a| = 1,則 |a|2+ |b|2+|c|的值是_解析：法一：由a+b+c= 0 得c=-a-b.又(a-b) c= 0,二(a-b) ( a-b) = 0,即a2=b2.2 .2 2.2 2.2則c= (a+b) =a+b+ 2a-b=a+b= 2,2 2 2- |a| + |b| + |c| = 4.uuurUULT法二：如圖，作AB=BD=a,UULTuurBC=b,則CA=c.a丄b,.AB丄BCUULT U

19、ULT UUU又a-b=BDBC=CD,(a-b)丄c,.CDLCA所以ABC是等腰直角三角形， |a| = 1,.|b| = 1, |c| = .2, |a|2+ |b|2+ |c|2= 4.答案：416._ 已知向量 a,b的夾角為 45,且|a| = 4,尹+b (2a-3b) = 12,則|b| =_b在a方向上的投影等于_1 1解析： 歹+b (2a-3b) =a2+?ab-3b2= 12，即 3|b|2- 2|b| 4 = 0,解得 |b|= 2(舍負(fù))，b在a方向上的投影是|b|cos 45 =2 x-2= 1.A. - 3C. 1解析：選Cuuur AE1一+2AD-UULT(AD-uuur-AB)1UULT=2ABUULTAD-uuu