蚌埠二中年省理科實驗班招生加試數(shù)學(xué)試題(附答案)

1、蚌埠二中 2014 年省理科實驗班招生加試數(shù)學(xué)試題（本卷滿分 150 分答題時間 120 分鐘）題 號一二三總 分1213141511得 分參考公式：(ab) 3a 33a 2 b3ab2b3( ab) 3a 33a 2 b3ab2b 3a3b 3(ab)(a 2ab b2 )a 3b3( ab)(a 2abb2 )閱卷人得分一、選擇題（本題共4 小題，每小題7 分，滿分 28 分。每小題均給出了代號A 、 B、 C、 D 的四個結(jié)論，其中只有一個是正確的，請將正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)）1、如圖，梯形ABCD 的對角線交于O，過 O 作兩底的平行線分別交兩腰于M、N，若AB 4， CD

2、1，則 MN 的長為（）DCMNA、 1.2B、 1.4OC、 1.6D、 1.8AB第1題圖2、方程 2xx 22 的正根個數(shù)為（）xA、 0B、 1C 、 2D 、 33、若 a、b 和 c 是三個兩兩不同的奇質(zhì)數(shù)，且方程 (bc) x 25(a1) x2250有兩個相等的實根，則a 的最小值是（）A、 41B、 47C、53D、59、已知y x3ax2bxc，當(dāng)x5時，y50；x6時，y 60；x7時，y70。4則當(dāng) x4 時， y 的值為（）A、 30B、 34C、40D、44第1頁共8頁閱卷人得分二、填空題（本題共6 小題，每小題7 分，滿分 42 分）5、若 0 a1，化簡 （ a

3、12（ a12得。a） 4a） 46、已知 (2 x1) 9a0 a1 xa 2 x 2a9 x 9 ，則 (a0 a2a 4a6a8 ) 2(a1a3 a5a7a9 ) 2 的值為。7、向一個三角形內(nèi)加入2005 個點，加上原三角形的三個點共計2008個點。用剪刀最多可以剪出個以這2008 個點為頂點的三角形。8、若 2 x 12 x1 a 對任意實數(shù) x 恒成立，則 a 的取值范圍是。9、如圖， C 為半圓 O 上一點， AB 為直徑， 且 AB 2a， COA 60°。 延長 AB 到 P，使BP1AB ，連 CP 交半圓于 D ，過 P 作 AP 的垂線交 AD 的延長線于

4、H ，則 PH 的長度2為。CDHAOBP第 9題圖10 、 已 知 ： a 0 ， b 0 ， 且 2a 2a211 ， 則 代 數(shù) 式 a 3b b1 的 值bbb b為。三、解答題（本題共5 小題，滿分80 分）閱卷人得 分11、（本題滿分 10 分）有三個含 30°角的直角三角形，它們的大小互不相同，但均有一條長為 a 的邊。這三個三角形按照從大到小的順序，求其面積比。第2頁共8頁閱卷人得分12、（本題滿分15 分）某廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料 290kg，計劃用這兩種原料生產(chǎn)A、B 兩種產(chǎn)品共50 件。已知生產(chǎn)一件 A 種產(chǎn)品，需用甲種原料 9kg，乙種原料 3kg

5、，可獲利潤700 元；生產(chǎn)一件B 種產(chǎn)品，需甲種原料 4kg，乙種原料 10kg，可獲利潤 1200元。（ 1）按要求安排A 、 B 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有幾種方案？請你設(shè)計出來；（ 2）設(shè)生產(chǎn) A、 B 兩種產(chǎn)品總利潤是 y 元，其中一種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)是 x。試寫出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式， 并利用函數(shù)的性質(zhì)說明 （ 1）中的哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？閱卷人得分13、（本題滿分 15 分）試寫出所有3 個連續(xù)正整數(shù)立方和的最大公約數(shù)，并證明。第3頁共8頁閱卷人得分14、（本題滿分 20 分）如圖 1，在 ABC 中，AB 邊上高 CE 與 AC 邊上高 BD 相交于 H

6、 點。若 BC 25， BD 20，BE 7。C（ 1）求 DE 的長；DHABE第 14題圖 1（ 2）如圖 2，若以 DE 為直徑作圓，分別與AC、 AB 交于 G、 F ，連 AH ，求證： AH GF。CDGHABFE第 14題圖 2第4頁共8頁閱卷人得分15、（本題滿分20 分）已知二次函數(shù)y ax 2bxc ，對任意實數(shù)x 都有x ax 2c x12bx成立。2（ 1）當(dāng) x1 時，求 y 的值；（ 2）若當(dāng) x1 時， y0 ，求 a、 b、 c 的值。第5頁共8頁蚌埠二中 2005 年省理科實驗班招生加試數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題1、C2、 A3、 D4、 B二、填空題5、2 a6

7、、 397、 40118、 a 29、3 a10、7a38三、解答題（如有其它正確解法，請參照給分）11、如圖， RtABC 、 RtABD 、 RtABE 中，有一條相等的邊AB ， BAC BAD E 30°。設(shè)EABa2 3aAB a， AD 33cos302BE 2aC 其斜邊按從大到小的比是2： 23 ： 1（5分）AB 三角形相似311 題圖D 面積比 12： 4： 3（10 分）12、（ 1）設(shè)安排生產(chǎn)A 種產(chǎn)品 x 件，則生產(chǎn)B 種產(chǎn)品為（ 50 x）件，根據(jù)題意，得9 x4(50x )360（5 分）3 x10(50x )290解得 30 x32。因為 x 是自然數(shù)

8、，所以 x 只能取 30， 31，32。所以按要求可設(shè)計出三種生產(chǎn)方案：方案一：生產(chǎn)A 種產(chǎn)品30 件，生產(chǎn) B 種產(chǎn)品 20 件；方案二：生產(chǎn)A 種產(chǎn)品31 件，生產(chǎn) B 種產(chǎn)品 19 件；方案三：生產(chǎn)A 種產(chǎn)品32 件，生產(chǎn) B 種產(chǎn)品 18 件；（10 分）（ 2）設(shè)生產(chǎn)A 種產(chǎn)品 x 件，則生產(chǎn)B 種產(chǎn)品（ 50 x）件，由題意，得y700x 1200（ 50 x） 500x 60000因為 a 0，由一次函數(shù)的性質(zhì)知，y 隨 x 的增大而減小。因此，在 30 x 32 的范圍內(nèi)，當(dāng)x 30 時，的范圍內(nèi)，當(dāng)x 30 時，取最大值，且y最大值 45000（ 15 分）13、第6頁共8頁

9、設(shè)三個連續(xù)的正整數(shù)的立方和為f (n ) ( n 1) 3n3(n 1) 3(n 2)f (1) 36；f (2) 99f (1) ， f(2)的最大公約數(shù)是9f (1) ， f (2)f (n) 的最大公約數(shù)不超過9 現(xiàn)證明f (n)是 9的倍數(shù)（5 分）f (n) ( n1) 3n 3(n 1) 3（7 分）= 2n（ n 2+3） +n 3= n（ 3n 2+6）= 3n（ n 2 1 1 2）= 3n（ n 1）（ n+1） +9n（10 分）又 當(dāng) n 2 時， (n 1) n （ n+1 ）是三個連續(xù)的整數(shù)的積，所以必是3 的倍數(shù)，所以3n（ n 1）（ n+1 ）能被 9 整除

10、f (n) 能被 9 整除三個連續(xù)的正整數(shù)的立方和的最大公約數(shù)是9（15 分）14、由已知得CD 15， CE 24（ 1）由題設(shè)知 ADB AEC 90°，所以 ADB 與 AEC 相似，故AD BD ABAECEAC由有AD5AD15AE6（5 分）AE75AE18AD156于是，點 D 是 RtAEC 的中點，故 DE 1AC 15（10 分）2（ 2）法一：由條件知：G、F、 E、 D； E、 D、 C、 B 四點共圓，則 AFG ADE EBC ，故 GF BC（15 分）或（法二：連DF ，則 DF CE，由（ 1）知 D 為 AC 中點，故 F 為 AE 中點，所以 AF 9 AG= 54545AG9故5AC3025AF9，AGAFGF BC）AB25ACAB H 為 ABC 垂心 AH BC GFBC第7頁共8頁 AH GF15、（本題滿分20 分） f （