點線面之間的位置關(guān)系的知識點總結(jié)

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備高中空間點線面之間位置關(guān)系知識點總結(jié)第二章直線與平面的位置關(guān)系2.1 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系DC1 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法及表示（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45 0，且橫邊畫成鄰邊的2 倍長（如圖）AB（2）平面通常用希臘字母 、 、等表示，如平面、平面 等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面 ABCD等。3 三個公理：（ 1）公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為ALBL => LA ·ALB公理

2、 1 作用：判斷直線是否在平面內(nèi)（2）公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。AB符號表示為： A、 B、C 三點不共線 =>有且只有一個平面 ， ·C ··使 A 、 B 、C 。公理 2 作用：確定一個平面的依據(jù)。（3）公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為： P => =L，且 PL公理 3 作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)PL2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系·1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面

3、內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè) a、 b、c 是三條直線a b。=>ac2 公理 4：平行于c b強(qiáng)調(diào)：公理4 實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理 4 作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)4 注意點： a' 與 b' 所成的角的大小只由a、 b 的相互位置來確定，與O 的選擇無關(guān)，為簡便，點O 一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角 (0 ， ) ； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異

4、面直線互相垂直，記作a b；2 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角?？臻g中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（ 1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點（ 2）直線與平面相交 有且只有一個公共點（ 3）直線在平面平行 沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示aa=Aa 2.2. 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則

5、線面平行。符號表示：a b=> aab平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：aba b = P a b 2、判斷兩平面平行的方法有三種：（ 1）用定義；（ 2）判定定理；（ 3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：a aab = b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備符號表

6、示： = aab = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L 與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L 與平面 互相垂直，記作L ，直線L 叫做平面 的垂線，平面 叫做直線 L 的垂面。如圖，直線與平面垂直時, 它們唯一公共點P 叫做垂足。Lp2、判定定理： 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b) 定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的

7、兩個半平面所組成的圖形A梭 lB2、二面角的記法：二面角-l-或 -AB- 3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2 性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。異面直線所成的角是指經(jīng)過空間任意一點作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的 銳角（或直角）.一般通過平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍. 例 1 在正方體 ABCD-A1 B1 C1 D1 中 ,O 是底面 ABCD的中心， M、 N 分別是棱DD1 、D1 C1 的中點，則直線OM().

8、A . 是 AC和 MN的公垂線 .B .垂直于 AC但不垂直于MN.C . 垂直于 MN，但不垂直于AC. D .與 AC、 MN都不垂直 .名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備錯解 :B.錯因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影正解：A. 例 2 如圖，已知在空間四邊形ABCD中 ,E,F 分別是.AB,AD 的中點，G,H分別是BC,CD 上的點 , 且BGGCDHHC2,求證:直線EG,FH,AC 相交 于一點 .錯解： 證明：E 、F 分別是AB,AD 的中點,1EF BD,EF= 2 BD,BGDH12 , GH BD,GH= 3 BD,又 GCHC四邊形 EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,

9、FH相交于一點 T,DH2,F 分別是 AD. AC與 FH 交于一點 .HC直線 EG,FH,AC相交于一點正解： 證明：E 、 F 分別是 AB,AD 的中點 ,EF1 BD,EF= 2 BD,BGDH2 ,又 GCHC1GH BD,GH= 3 BD,四邊形 EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點T,EG平面 ABC,FH平面 ACD,T面 ABC,且 T面 ACD,又平面 ABC平面 ACD=AC,T AC , 直線 EG,FH,AC相交于一點 T.例 3在立方體 ABCD A B C D 中，（ 1）找1111出平面 AC的斜線 BD1 在平面 AC內(nèi)的射影；（ 2）直線 BD1

10、和直線 AC的位置關(guān)系如何？（ 3）直線 BD 和直線 AC所成的角是多少度？1解： (1)連結(jié) BD, 交 AC于點 ODD1平面 AC, BD 就是斜線 BD1在平面 AC上的射影 .(2)BD 1 和 AC是異面直線 .(3)過 O 作 BD1 的平行線交DD1 于點 M，連結(jié) MA、 MC，則 MOA 或其補(bǔ)角即為異面直線AC 和 BD1 所成的角.不難得到 MA MC，而 O 為 AC 的中點，因此MO AC，即 MOA 90°，名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備異面直線BD1 與 AC所成的角為90°. 例 4 a 和 b 為異面直線，則過a 與 b 垂直的平面 ().A

11、 有且只有一個B一個面或無數(shù)個C 可能不存在D可能有無數(shù)個錯解：A.錯因 ：過 a 與 b 垂直的平面條件不清.正解：C. 例 5 在正方體 A1B1C1D1 ABCD中， E、F 分別是棱 AB、 BC的中點， O是底面 ABCD的中點求證： EF 垂直平面 BB1O證明： 如圖 , 連接 AC、 BD，則 O為 AC和 BD的交點E、 F 分別是 AB、 BC的中點， EF 是 ABC的中位線， EFACB1B平面 ABCD,AC 平面 ABCDAC B1B，由正方形ABCD知： AC BO，又 BO與 BB1 是平面 BB1O上的兩條相交直線，AC平面 BB1O(線面垂直判定定理)AC

12、EF， EF 平面 BB1O 例 6 如圖， 在正方體ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 BB1 的中點， O 是底面正方形ABCD 的中心，求證： OE平面 ACD1 分析 ：本題考查的是線面垂直的判定方法根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明OE平面 ACD1 ，只要在平面 ACD1 內(nèi)找兩條相交直線與OE 垂直證明： 連結(jié) B1D 、 A! D 、 BD ，在 B1BD 中， E,O 分別是 B1B 和 DB 的中點， EOB1D B1A1面 AA1D1D ， DA1 為 DB1 在面 AA1D1D 內(nèi)的射影名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備又 AD1A1D ， AD1 DB1 同理可證B1DD1C

13、又 AD1 CD1D11C11 ， AD,D面ACD， B1D 平面 ACD1 B1D OE ， OE 平面 ACD1 點 評：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時常用的轉(zhuǎn)化方法在證明線線垂直時既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用 例 7 如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1 中, 點 N在 BD上 ,點 M在 B1C 上,且 CM=DN,求證 :MN平面 AA1B1B.證明：證法一 . 如圖 , 作 MEBC,交 BB1 于 E, 作 NF AD,交 AB 于 F, 連EF則 EF平面 AA1B1B.MEB1MN

14、FBN,BCB C ,ADBD1MEBNNFBCBDAD ,ME=NF又 ME BC AD NF, MEFN為平行四邊形 ,MN EF.MN平面 AA1B1B.證法二 . 如圖 , 連接并延長 CN交 BA 延長線于點 P,連 B P, 則 B P平面 AAB B.1111DNCNNDC NBP ,NBNP .CMDNCN又 CM=DN,B1C=BD,MB1NBNP .MN B1P.B1P平面 AA1B1B,MN平面 AA1 B1B.名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備證法三 . 如圖 , 作 MP BB, 交 BC于點 P, 連 NP.1MP BB1,CMCPMB1PB .BD=B1C,DN=CM,B1

15、MBN.CMDN,CPDNMB1NBPBNB .NP CD AB.面 MNP面 AA1B1B.MN平面 AA1B1B.點、線、面之間的位置關(guān)系單元測試第 1 題 . 下列命題正確的是（）經(jīng)過三點確定一個平面經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面四邊形確定一個平面兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面答案：第 2 題 . 如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別A是 AB， BC ，CD ， DA的中點H求證：四邊形 EFGH 是平行四邊形EGD答案：證明：連接 BD BFC因為 EH 是 ABD 的中位線，所以 EH BD，且 EH1BD 2同理， FG BD ，且 FG1BD 2因為EHFG

16、，且 EHFG 所以四邊形 EFGH 為平行四邊形第 3 題 . 如圖，已知長方體ABCDABCD 中， AB2 3，AD2 3，AA2 （） BC 和 A C 所成的角是多少度？（） AA 和 BC 所成的角是多少度？DCABCD名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備答案：（） 45t ；（） 60t 第 4 題 . 下列命題中正確的個數(shù)是（） 若直線 l 上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則 l 若直線 l 與平面平行，則 l 與平面內(nèi)的任意一條直線都平行 如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行 若直線 l 與平面平行，則 l 與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點A 0 1 2 3答案：

17、第 5題 . 若直線 a 不平行于平面，且 a，則下列結(jié)論成立的是（）內(nèi)的所有直線與a 異面內(nèi)不存在與 a 平行的直線內(nèi)存在唯一的直線與 a 平行內(nèi)的直線與 a 都相交答案：第 6題 . 已知 a ， b ， c 是三條直線，角a b ，且 a 與 c 的夾角為，那么 b 與 c 夾角為答案：第 7題 . 如圖， AA 是長方體的一條棱，這個長方體中與AA 垂直的棱共條DCABCDAB答案： 8 條第 8 題 . 如果 a ， b 是異面直線，直線 c 與 a ， b 都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有個答案： 2 個名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備第 9 題 . 已知兩條相交直線a ，

18、b ， a 平面則 b 與的位置關(guān)系是答案： b a ，或 b 與 a 相交第 10 題 . 如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條確定一個平面，一共可以確定幾個平面？如果三條直線相交于一點，它們最多可以確定幾個平面？N答案： 3 個，3 個第 11 題 . 如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中：DCMEAB BM 與 ED 平行 CN 與 BE 是異面直線F CN 與 BM 成 60?角 DM 與 BN 垂直以上四個命題中，正確命題的序號是（），答案：第 12 題 . 下列命題中，正確的個數(shù)為（）兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行；平行移動兩條異面直線中的任何一條，它們所成的

19、角不變；過空間四邊形 ABCD 的頂點 A 引 CD 的平行線段 AE ，則 BAE 是異面直線 AB 與 CD 所成的角；四邊相等，且四個角也相等的四邊形是正方形0123答案：第 13 題 . 在空間四邊形ABCD 中， N ， M 分別是 BC ， AD 的中點，則2MN 與 ABCD 的大小關(guān)系是答案： 2MNABCD 第 14 題 . 已知 a， b 是一對異面直線， 且 a， b 成 70 角， P 為空間一定點， 則在過 P 點的直線中與a， b 所成的角都為 70 的直線有條名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備答案：4 第 15 題. 已知平面/，P 是平面，外的一點，過點 P 的直線 m

20、與平面，分別交于 A， C 兩點，過點 P 的直線 n 與平面，分別交于 B， D 兩點，若 PA 6， AC9， PD8，則 BD 的長為答案： 24或 24 5第 16 題 . 空間四邊形 ABCD 中， E ，F(xiàn) ，G ，H 分別是 AB ，BC ，CD ， DA 的中點， 若 ACBDa ，且 AC 與 BD 所成的角為90，則四邊形 EFGH 的面積是答案： 1 a2 4第 17題 .已知正方體ABCDABC D中，E，F(xiàn)分別為D C， C B的中點， ACBDP，11 111 11 1AC11EFQ 求證：（）D， B，F(xiàn) ， E四點共面；（）若 AC 交平面DBFE于R點，則P，

21、 Q ，R三點共線1答案：證明：如圖（）EF 是D BC 的中位線，EFBD 11111在正方體 AC1 中， B1D1 BD ，EFBDEF 確定一個平面，即D， B，F(xiàn) ， E四點共面（）正方體 AC中，設(shè)A ACC 確定的平面為，又設(shè)平面 BDEF 為 111Q AC11， Q又Q EF， QEC1則 Q 是與的公共點，PQ A1QF又 AC1R，RAC1B1R， 且R，則 RPQ RDC故 P ， Q， R三點共線PAB第 18 題 . 已知下列四個命題： 很平的桌面是一個平面；名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備 一個平面的面積可以是4 m2 ；平面是矩形或平行四邊形；兩個平面疊在一起比一個平面

22、厚其中正確的命題有（） 0個 1個 2個 3個答案：第 19 題 . 給出下列命題：和直線 a 都相交的兩條直線在同一個平面內(nèi)；三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；有三個不同公共點的兩個平面重合；兩兩平行的三條直線確定三個平面其中正確命題的個數(shù)是（） 0 12 3答案：第 20 題 . 直線 l1 l2 ，在 l1 上取3點， l2 上取 2點，由這5 點能確定的平面有（） 9個 6個3個 1個答案：第 21 題 . 三條直線相交于一點，可能確定的平面有（） 1個 2個 3個 1個或 3個答案：第 22 題 . 下列命題中，不正確的是（）一條直線和兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；每兩條都相交但不共點的四條直線一定共面；兩條相交直線上的三個點確定一個平面；兩條互相垂直的直線共面與與與與答案：第 23 題 . 分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是（）異面直線相交直線不相交直線不平行直線答案：第 24 題. 在長方體ABCDA1B1C1 D1 中，點