為什么不能在加時(shí)賽中拋硬幣

1、為什么不能在加時(shí)賽中拋硬幣Steven J. Brams 和 Zeve N. Sanderson關(guān)鍵詞： 博弈論當(dāng)職業(yè)足球聯(lián)盟在淘汰賽或者獎(jiǎng)杯爭奪賽的比賽中出現(xiàn)平局的時(shí)候就會(huì)進(jìn)入加時(shí)賽，兩支球隊(duì)輪流進(jìn)行罰點(diǎn)球直到打破平局，這時(shí)候就用投硬幣來決定哪支球隊(duì)先罰點(diǎn)球。類似的，當(dāng)在美國的國家職業(yè)橄欖球聯(lián)盟（National Football League (NFL)）比賽出現(xiàn)平局進(jìn)入加時(shí)賽的時(shí)候，拋硬幣也被用來決定在加時(shí)賽中哪支球隊(duì)先進(jìn)攻、哪支球隊(duì)先防守。在這兩種運(yùn)動(dòng)中，我們可以說，拋硬幣是一種有缺陷的做決定的機(jī)制，它可以顯著地影響到輸贏的結(jié)果。因?yàn)樽髡邔?duì)于美式橄欖球比賽更加熟悉，本文就集中

2、討論這一運(yùn)動(dòng)，但是我們會(huì)在之后回到足球的情形分析中。職業(yè)橄欖球聯(lián)賽采用猜硬幣的辦法決定誰進(jìn)攻誰防守。圖片由Pierre-Selim提供NFL中的問題在NFL在加時(shí)賽中用投擲硬幣來決定誰發(fā)球誰接球的做法在投擲之前看起來非常的公平，但是投擲之后就出現(xiàn)問題了。盡管投擲硬幣的結(jié)果是公平的，兩支球隊(duì)獲勝的可能性相同，擲硬幣之后猜對(duì)的一方享有明顯的優(yōu)勢，他們不約而同的選擇接球來進(jìn)行防守。這樣做，在1994到2011的所有賽季中，接球的隊(duì)伍贏得了加時(shí)賽接近60%的勝率，其中34%贏在了開局。從2012賽季開始，NFL試著改善這一問題，采用射門得分排除法：防守隊(duì)在第一波進(jìn)攻中必須通過達(dá)陣（touchdown）

3、得分（6分）而贏得比賽，而不是像之前只需要通過射門得分（3分）就可以獲勝。也就是必須達(dá)陣才能立刻贏得比賽。但是結(jié)束第一波進(jìn)攻后，比賽或許會(huì)因?yàn)榱⒖趟劳龆Y(jié)束，也就是第一個(gè)得分的隊(duì)伍會(huì)勝出比賽。當(dāng)這一規(guī)則應(yīng)用在2011-2012的季后賽時(shí)，兩場平局的比賽均由猜對(duì)硬幣的隊(duì)伍獲勝。在2012-2013賽季，出現(xiàn)了23場加時(shí)賽（相當(dāng)于總比賽場數(shù)的8%），其中一場以平局結(jié)束。在目前進(jìn)行過的采用這一規(guī)則的24場非平局結(jié)果的加時(shí)賽中，盡管采用了射門得分排除法，其中16場（也就是2/3）由防守隊(duì)獲得，8場（也就是1/3）由進(jìn)攻隊(duì)獲得。換句話說，猜對(duì)投擲硬幣的球隊(duì)平均來說有2/3的機(jī)會(huì)贏得加時(shí)賽。開局線報(bào)價(jià)：一

4、個(gè)雙贏的策略我們相信需要一個(gè)更加激進(jìn)的解決方案來排除這種不公平的機(jī)會(huì)。我們建議的規(guī)則使得球隊(duì)相對(duì)于讓對(duì)方來扮演自己的角色來說更加滿意又自己來扮演這個(gè)角色。一個(gè)規(guī)則稱為公平的，假如這個(gè)規(guī)則下的每支球隊(duì)，不論在加時(shí)賽開始的時(shí)候是進(jìn)攻隊(duì)還是防守隊(duì)，更愿意扮演自己的角色而不是對(duì)方的角色。在這種情形下，每支球隊(duì)都認(rèn)為他們比對(duì)手處于更加優(yōu)勢的位置。這怎么可能呢？我們的解決方案基于一個(gè)與買賣交易相同的原理，在一宗交易中，買家和賣家通過達(dá)成商品價(jià)格的協(xié)議而得到相同的滿意度。因?yàn)殡p方的偏好不同-買家更加愿意得到商品而不是金錢，而賣家卻更愿意得到金錢而不是商品-交易達(dá)成了一個(gè)雙贏的局面。不是在商品價(jià)格上討價(jià)還價(jià)，

5、我們建議球隊(duì)對(duì)開局的場線位置進(jìn)行議價(jià)。不像通常的加時(shí)賽的開場，取而代之的是，開場是在一個(gè)特定的碼線處開始。碼線的位置由雙方球隊(duì)的報(bào)價(jià)的平均而得到，報(bào)價(jià)低（它意義將很快會(huì)變得明確）的球隊(duì)作進(jìn)攻方，報(bào)價(jià)高的球隊(duì)作防守方。這一結(jié)果使得，相對(duì)于處于對(duì)方的位置上來說，雙方球隊(duì)都同等程度都更加滿意現(xiàn)處的位置。為了進(jìn)行說明，假設(shè)球隊(duì)A開價(jià)是20碼線，這意味著 作為進(jìn)攻方，他們希望從自己的20碼線開始，使得他們得帶球過80碼來得分； 作為防守方，他們希望可以從對(duì)方的20碼線開始，使得對(duì)手要帶球過80碼才可以得分。我們稱這個(gè)為球隊(duì)A的無差別點(diǎn)，因?yàn)閺募悍降?0碼線開始進(jìn)攻和從對(duì)方的20碼線開始防守，在這一點(diǎn)上他

6、們認(rèn)為是己方贏得比賽的機(jī)會(huì)是均等的（盡管不一定是50-50的機(jī)會(huì)-這取決于隊(duì)伍本身的相對(duì)水平）。我們假定每支球隊(duì)都有一個(gè)無差別點(diǎn)，這個(gè)無差別點(diǎn)在面對(duì)不同的對(duì)手來的時(shí)候可能會(huì)有所不同（取決于雙方的優(yōu)勢與劣勢）。為了繼續(xù)說明，假設(shè)球隊(duì)B的無差別點(diǎn)是30碼線。平均兩隊(duì)報(bào)價(jià)是25碼線，從離開時(shí)，球隊(duì)A扮演進(jìn)攻方（因?yàn)樗o出了低報(bào)價(jià)20碼）球隊(duì)B將扮演防守方。當(dāng)比賽開始的時(shí)候，注意到球隊(duì)A，作為進(jìn)攻隊(duì)，距離B隊(duì)的得分線比自己開出的進(jìn)攻無差別點(diǎn)20碼線近了5碼，因?yàn)樗麄儸F(xiàn)在需要帶球的距離是75碼而不是原來所報(bào)價(jià)的80碼。同樣的，球隊(duì)B的防守起始線比起他的防守?zé)o差別點(diǎn)30碼線遠(yuǎn)了5碼，因?yàn)樗麄冃枰柚沟倪M(jìn)攻

7、距離是75碼而不是原來的70碼。因?yàn)槊恐蜿?duì)都得到比他們報(bào)價(jià)而言相同的收益（5碼）。這一方案對(duì)于雙方來說不僅僅這是一個(gè)雙贏的，而且是公平的-每支球隊(duì)都同等程度的更加滿意現(xiàn)在的位置而不是對(duì)手的位置：如果球隊(duì)A扮演球隊(duì)B的角色，他們就得從對(duì)方的25碼線開始防守，然而它更加愿意從對(duì)方的20碼線就開始防守。類似地，球隊(duì)B也更滿意自己的位置而不是球隊(duì)A的位置，這一差距也是5碼。它更有利于最誠實(shí)的一方一支球隊(duì)可不可以單方面偏離自己的真正的無差別點(diǎn)而報(bào)一個(gè)不真誠的無差別點(diǎn)從而獲益？假設(shè)球隊(duì)A不誠實(shí)地報(bào)價(jià)x，這里20<x<30，所以它過高的進(jìn)行了報(bào)價(jià)。這么做確實(shí)對(duì)它扮演進(jìn)攻方有好處，因?yàn)檫@使得報(bào)價(jià)

8、平均值相對(duì)于20來說更加接近于30。但低報(bào)價(jià)（x<20）會(huì)有壞處，所以它的最優(yōu)偏離有一個(gè)下界。那么,球隊(duì)A可以從高報(bào)價(jià)（30）中獲得一定程度的益處-它并不知道這些，因?yàn)樗⒉恢狼蜿?duì)B會(huì)報(bào)價(jià)30。事實(shí)上，因?yàn)檫@個(gè)比賽是一種不完整信息的比賽，球隊(duì)A甚至不能夠它的報(bào)價(jià)是低于還是高于球隊(duì)B的報(bào)價(jià)。下面假定報(bào)價(jià)x>30。那么球隊(duì)A就要扮演防守方，更加糟糕的是，這樣做會(huì)使得球隊(duì)B的移動(dòng)距離小于70碼就能得分。不僅僅是球隊(duì)B會(huì)比自己的無差別點(diǎn)表現(xiàn)的好，球隊(duì)A會(huì)更加中意球隊(duì)B的位置，因?yàn)?0+遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于球隊(duì)A的無差別點(diǎn)20碼。顯然，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，或甚至風(fēng)險(xiǎn)中性的球隊(duì)有誠實(shí)報(bào)價(jià)的動(dòng)機(jī)，因?yàn)槿魏畏较虻钠x

9、-某個(gè)方向偏離一定的數(shù)值（例如球隊(duì)A進(jìn)行低報(bào)價(jià)），或者另外一個(gè)方向偏離了較大的數(shù)值（例如球隊(duì)A的報(bào)價(jià)比真實(shí)的數(shù)值超過了10碼）-都會(huì)帶來壞處。因此，在報(bào)價(jià)游戲中，誠實(shí)似乎是一個(gè)強(qiáng)制的策略。報(bào)價(jià)在足球比賽中的應(yīng)用足球比賽中罰點(diǎn)球是從距離球門11米的罰球線上踢出的。它們通常出現(xiàn)在淘汰賽或者獎(jiǎng)杯爭奪賽中，如果打滿90分鐘和加時(shí)仍然平局，就需要通過點(diǎn)球決勝負(fù)。由投擲硬幣決定由哪支球隊(duì)先罰點(diǎn)球，然后兩隊(duì)輪流罰點(diǎn)球直到各罰滿5球。如果這5球之后仍然沒有任何一支球隊(duì)取得先機(jī)，就要進(jìn)行到下一步，在這一步中，兩支球隊(duì)輪流罰球，每次罰一球，直到有一隊(duì)得分領(lǐng)先而贏得比賽。菲利普拉姆在2012歐冠賽總決賽中罰球得分。

10、在足球比賽中投硬幣被用來決定哪支球隊(duì)在點(diǎn)球大戰(zhàn)中首先罰球。圖片來自Markus Unger.就如在NFL中，猜對(duì)硬幣的一方有優(yōu)勢：統(tǒng)計(jì)暗示在點(diǎn)球大戰(zhàn)中首先罰球的球隊(duì)獲勝的幾率是60%，相比后罰球的球隊(duì)擁有3:2或者說50%的優(yōu)勢。但是通過兩隊(duì)對(duì)于罰球線的報(bào)價(jià)，將罰球線定在兩個(gè)報(bào)價(jià)的平均值上，然后報(bào)價(jià)高的球隊(duì)獲得先罰球的獎(jiǎng)勵(lì)，這一做法是有問題的，因?yàn)樘咏蜷T（比如說6米或者更近）或許不是優(yōu)勢反而是劣勢。這是因?yàn)槭亻T員可以比較容易的通過移動(dòng)來防守來自這么短距離的射門，盡管他或者她的反應(yīng)時(shí)間要變得短了。相應(yīng)的，我們建議報(bào)價(jià)高的球隊(duì)先罰球，而報(bào)價(jià)低的球隊(duì)將會(huì)被要求從標(biāo)準(zhǔn)的11米開始罰球。是不是兩支球

11、隊(duì)都會(huì)選擇報(bào)價(jià)11米？顯然不是，因?yàn)樗麄儠?huì)愿意去報(bào)價(jià)多1厘米而不影響他們的罰球得分的機(jī)會(huì)。結(jié)果就是，報(bào)價(jià)肯定會(huì)以某一隊(duì)的大于11米而結(jié)束。不明朗的是，比11米大多少才能讓本球隊(duì)在罰球的先后順序上無差別。似乎顯而易見的是這個(gè)計(jì)算將依賴于本球隊(duì)以及對(duì)手的水平，罰球隊(duì)員、守門員的技術(shù)。但不管每支球隊(duì)的計(jì)算如何，報(bào)價(jià)將會(huì)幫助提升公平的競賽環(huán)境。結(jié)論我們關(guān)于橄欖球加時(shí)賽中開場碼線報(bào)價(jià)，或者足球點(diǎn)球大戰(zhàn)中罰球線報(bào)價(jià)的建議，消除了投擲硬幣的偶然因素。這使得比起對(duì)方球隊(duì)的選擇來說，每支球隊(duì)都相同程度的更加滿意他們自己的選擇。報(bào)價(jià)竟會(huì)給兩種運(yùn)動(dòng)都添加新的策略元素：在橄欖球比賽中它會(huì)制造一個(gè)懸念-哪支球隊(duì)會(huì)扮演進(jìn)

12、攻方和防守方，起始線在什么地方；在足球比賽中哪支球隊(duì)先罰點(diǎn)球，罰球線在哪里。雖然橄欖球和足球的球迷會(huì)爭論說報(bào)價(jià)并不是一個(gè)“純粹”的競賽測試，但投擲硬幣也不是。在所有的優(yōu)點(diǎn)中突出的一點(diǎn)，報(bào)價(jià)會(huì)使得球隊(duì)對(duì)他們自己的選擇負(fù)責(zé)而不是讓他們將自己的糟糕表現(xiàn)怪罪于壞運(yùn)氣。運(yùn)動(dòng)在向更加公平不斷的發(fā)展。證據(jù)是全美籃球協(xié)會(huì)（NBA）在1979年設(shè)立的三分線來獎(jiǎng)勵(lì)遠(yuǎn)投所需要的額外技巧，NFL由1979年開始采用的兩分轉(zhuǎn)換來雙倍獎(jiǎng)勵(lì)通過奔跑或者投擲而不是踢球得分。在足球比賽中，1970年引進(jìn)的紅黃牌警告使得球員和教練對(duì)于裁判的判決更加明白，2012年引入的球門線科技用于判定足球是否穿過球門平面，這些都是這一運(yùn)動(dòng)中的發(fā)明的例子。我們相信橄欖球以及足球比賽中加時(shí)賽規(guī)則的發(fā)展演化也是如此。關(guān)于作者Steven Brams 是紐約大學(xué)政治學(xué)教授。他是數(shù)學(xué)與民主Mathematics and d