（整理版）靈活運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題

1、靈活運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題重難點(diǎn)歸納 1 考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的根底題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的根底上要對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用 2 三角函數(shù)與其他知識(shí)相結(jié)合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力 3 三角函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的綜合應(yīng)用 此類題目要求考生具有較強(qiáng)的知識(shí)遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力，要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用 典型題例示范講解 例1設(shè)z1=m+(2m2)i, z2=cos+(+sin)i, 其中m,r，z1=2z2，求的取值范圍 此題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查考生的綜合分析問(wèn)題的能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用 知識(shí)依托 主要依據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思

2、想和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題來(lái)解決 錯(cuò)解分析 考生不易運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法來(lái)解決問(wèn)題 技巧與方法 對(duì)于解法一，主要運(yùn)用消參和別離變量的方法把所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題；對(duì)于解法二，主要運(yùn)用三角函數(shù)的平方關(guān)系把所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題 解法一 z1=2z2，m+(2m2)i=2cos+(2+2sin)i,=12cos2sin=2sin2sin1=2(sin)2 當(dāng)sin=時(shí)取最小值，當(dāng)sin=1時(shí)，取最大值2 解法二 z1=2z2 ,=1 m4(34)m2+428=0, 設(shè)t=m2,那么0t4,令f(t)=t2(34)t+428,那么或f(0)&

3、#183;f(4)0 0或02 的取值范圍是，2 例2如右圖，一滑雪運(yùn)發(fā)動(dòng)自h=50m高處a點(diǎn)滑至o點(diǎn)，由于運(yùn)發(fā)動(dòng)的技巧(不計(jì)阻力)，在o點(diǎn)保持速率v0不為，并以傾角起跳，落至b點(diǎn)，令ob=l，試問(wèn)，=30°時(shí)，l的最大值為多少？當(dāng)l取最大值時(shí)，為多大？ 此題是一道綜合性題目，主要考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決物理問(wèn)題的能力 知識(shí)依托 主要依據(jù)三角函數(shù)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題 錯(cuò)解分析 考生不易運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決物理問(wèn)題，知識(shí)的遷移能力不夠靈活 技巧與方法 首先運(yùn)用物理學(xué)知識(shí)得出目標(biāo)函數(shù)，其次運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題 解 由條件列出從o點(diǎn)飛出后的運(yùn)動(dòng)方程 由整理得 v0cos

4、=v02+glsin=g2t2+=gl運(yùn)發(fā)動(dòng)從a點(diǎn)滑至o點(diǎn)，機(jī)械守恒有:mgh=mv02,v02=2gh,l=200(m)即lmax=200(m),又g2t2= 得cos=cos,=30°l最大值為200米，當(dāng)l最大時(shí)，起跳仰角為30° 例3如下列圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=asin(x+)+b (1)求這段時(shí)間的最大溫差 (2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式 此題以應(yīng)用題的形式考查備考中的熱點(diǎn)題型，要求考生把所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)分析、思考，充分表達(dá)了“以能力立意 知識(shí)依托 依據(jù)圖象正確寫出解析式 錯(cuò)解分析 不易準(zhǔn)確判斷所給圖象所屬的三

5、角函數(shù)式的各個(gè)特定系數(shù)和字母 技巧與方法 數(shù)形結(jié)合的思想，以及運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式 解 (1)由圖示，這段時(shí)間的最大溫差是3010=20()；(2)圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)y=asin(x+)+b的半個(gè)周期的圖象 =146,解得=,由圖示a=(3010)=10，b=(30+10)=20，這時(shí)y=10sin(x+)+20,將x=6,y=10代入上式可取= 綜上所求的解析式為y=10sin(x+)+20,x6,14 例4、為銳角，且x(+)0,試證不等式f(x)=x2對(duì)一切非零實(shí)數(shù)都成立 證明 假設(shè)x0，那么+、為銳角，0;0,0sin()sin 0sin()sin，0cossin

6、,0cossin,01,01,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減，f(x)f(0)=2 假設(shè)x0,+,、為銳角，0,0,0sinsin(),sincos,0sinsin(),sincos,1, 1,f(x)在(,0上單調(diào)遞增，f(x)f(0)=2,結(jié)論成立 學(xué)生穩(wěn)固練習(xí) 1 函數(shù)y=x·cosx的局部圖象是( )2 函數(shù)f(x)=cos2x+sin(+x)是( )a 非奇非偶函數(shù)b 僅有最小值的奇函數(shù)c 僅有最大值的偶函數(shù)d 既有最大值又有最小值的偶函數(shù)3 函數(shù)f(x)=()cosx在，上的單調(diào)減區(qū)間為_ 4 設(shè)0，假設(shè)函數(shù)f(x)=2sinx在，上單調(diào)遞增，那么的取值范圍是_ 5 設(shè)二

7、次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,cr),不管、為何實(shí)數(shù)恒有f(sin)0和f(2+cos)0 (1)求證 b+c=1；(2)求證c3；(3)假設(shè)函數(shù)f(sin)的最大值為8，求b，c的值 6 用一塊長(zhǎng)為a，寬為b(ab)的矩形木板，在二面角為的墻角處圍出一個(gè)直三棱柱的谷倉(cāng)，試問(wèn)應(yīng)怎樣圍才能使谷倉(cāng)的容積最大？并求出谷倉(cāng)容積的最大值 7 有一塊半徑為r，中心角為45°的扇形鐵皮材料，為了獲取面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形的半徑上，然后作其最大內(nèi)接矩形，試問(wèn) 工人師傅是怎樣選擇矩形的四點(diǎn)的？并求出最大面積值 8 設(shè)x，求函數(shù)y=log2(1+sinx)+log2(1s

8、inx)的最大值和最小值 9 是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a·cosx+a在閉區(qū)間0，上的最大值是1？假設(shè)存在，求出對(duì)應(yīng)的a值；假設(shè)不存在，試說(shuō)明理由 參考答案 1 解析 函數(shù)y=xcosx是奇函數(shù)，圖象不可能是a和c，又當(dāng)x(0, )時(shí)，y0 答案 d2 解析 f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x1+cosx=2(cosx+1 答案 d3 解 在,上，y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是,0及, 而f(x)依cosx取值的遞增而遞減,故,0及,為f(x)的遞減區(qū)間 4 解 由x，得f(x)的遞增區(qū)間為,，由題設(shè)得5 解 (1)1sin1且f(sin)0恒成立，f(

9、1)012+cos3,且f(2+cos)0恒成立 f(1)0 從而知f(1)=0b+c+1=0 (2)由f(2+cos)0,知f(3)0,9+3b+c0 又因?yàn)閎+c=1,c3 (3)f(sin)=sin2+(1c)sin+c=(sin)2+c()2,當(dāng)sin=1時(shí)，f(sin)max=8,由解得b=4,c=3 6 解 如圖，設(shè)矩形木板的長(zhǎng)邊ab著地，并設(shè)oa=x，ob=y，那么a2=x2+y22xycos2xy2xycos=2xy(1cos) 0,1cos0,xy (當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取“=號(hào))，故此時(shí)谷倉(cāng)的容積的最大值v1=(xysin)b= 同理，假設(shè)木板短邊著地時(shí)，谷倉(cāng)的容積v的最大值v

10、2=ab2cos,ab,v1v2從而當(dāng)木板的長(zhǎng)邊著地，并且谷倉(cāng)的底面是以a為底邊的等腰三角形時(shí)，谷倉(cāng)的容積最大，其最大值為a2bcos 7 解 如下列圖，扇形aob的內(nèi)接矩形是mnpq，連op，那么op=r，設(shè)aop=，那么qop=45°，np=rsin,在pqo中，pq=rsin(45°) s矩形mnpq=qp·np=r2sinsin(45°)=r2·cos(245°)r2，當(dāng)且僅當(dāng)cos(245°)=1,即=22 5°時(shí)，s矩形mnpq的值最大且最大值為r2 工人師傅是這樣選點(diǎn)的，記扇形為aob，以扇形一半徑oa為一邊，在扇形上作角aop且使aop=22 5°，p為邊與扇形弧的交點(diǎn)，自p作pnoa于n，pqoa交ob于q，并作omoa于m，那么矩形mnpq為面積最大的矩形，面積最大值