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文檔簡介
1、高考要求 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是等差、等比數(shù)列的概念,通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式的引申 應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解題,往往可以回避求其首項(xiàng)和公差或公比,使問題得到整體地解決,能夠在運(yùn)算時(shí)到達(dá)運(yùn)算靈活,方便快捷的目的,故一直受到重視 高考中也一直重點(diǎn)考查這局部內(nèi)容 重難點(diǎn)歸納 1 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列根本規(guī)律的深刻表達(dá),是解決等差、等比數(shù)列問題的既快捷又方便的工具,應(yīng)有意識(shí)去應(yīng)用 2 在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件,有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形 3 “巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要,但用“根本量法并樹立“目標(biāo)意識(shí),“需要什么,就求什么,既要充分合理地運(yùn)用條件,又要時(shí)刻注意題
2、的目標(biāo),往往能取得與“巧用性質(zhì)解題相同的效果 典型題例示范講解 例1函數(shù)f(x)= (x<2) (1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);(2)設(shè)a1=1, =f-1(an)(nn*),求an;(3)設(shè)sn=a12+a22+an2,bn=sn+1sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對(duì)任意nn*,有bn<成立?假設(shè)存在,求出m的值;假設(shè)不存在,說明理由 此題是一道與函數(shù)、數(shù)列有關(guān)的綜合性題目,著重考查學(xué)生的邏輯分析能力 知識(shí)依托 此題融合了反函數(shù),數(shù)列遞推公式,等差數(shù)列根本問題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)于一爐,結(jié)構(gòu)巧妙,形式新穎,是一道精致的綜合題 錯(cuò)解分析 此題首問考查反函數(shù),反函數(shù)的定義
3、域是原函數(shù)的值域,這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn),(2)問以數(shù)列為橋梁求an,不易突破 技巧與方法 (2)問由式子得=4,構(gòu)造等差數(shù)列,從而求得an,即“借雞生蛋是求數(shù)列通項(xiàng)的常用技巧;(3)問運(yùn)用了函數(shù)的思想 解 (1)設(shè)y=,x<2,x=,即y=f-1(x)= (x>0)(2),是公差為4的等差數(shù)列,a1=1, =+4(n1)=4n3,an>0,an= (3)bn=sn+1sn=an+12=,由bn<,得m>,設(shè)g(n)= ,g(n)= 在nn*上是減函數(shù),g(n)的最大值是g (1)=5,m>5,存在最小正整數(shù)m=6,使對(duì)任意nn*有bn<成立 例2設(shè)等比數(shù)列a
4、n的各項(xiàng)均為正數(shù),項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍,且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍,問數(shù)列l(wèi)gan的前多少項(xiàng)和最大?(lg2=0 3,lg3=0 4) 此題主要考查等比數(shù)列的根本性質(zhì)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法那么,等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系以及運(yùn)算、分析能力 知識(shí)依托 此題須利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式合理轉(zhuǎn)化條件,求出an;進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)明確數(shù)列l(wèi)gan為等差數(shù)列,分析該數(shù)列項(xiàng)的分布規(guī)律從而得解 錯(cuò)解分析 題設(shè)條件中既有和的關(guān)系,又有項(xiàng)的關(guān)系,條件的正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵,計(jì)算易出錯(cuò);而對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)也是易混淆的地方 技巧與方法 突破此題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項(xiàng)的對(duì)數(shù)構(gòu)
5、成等差數(shù)列,而等差數(shù)列中前n項(xiàng)和有最大值,一定是該數(shù)列中前面是正數(shù),后面是負(fù)數(shù),當(dāng)然各正數(shù)之和最大;另外,等差數(shù)列sn是n的二次函數(shù),也可由函數(shù)解析式求最值 解法一 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,mn*,依題意有化簡得 設(shè)數(shù)列l(wèi)gan前n項(xiàng)和為sn,那么sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1n·q1+2+(n1)=nlga1+n(n1)·lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()·n2+(2lg2+lg3)·n可見,當(dāng)n=時(shí),sn最大 而=5,故lgan的前5項(xiàng)和最大 解法二 接前,,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n
6、1)lg,數(shù)列l(wèi)gan是以lg108為首項(xiàng),以lg為公差的等差數(shù)列,令lgan0,得2lg2(n4)lg30,n=5 5 由于nn*,可見數(shù)列l(wèi)gan的前5項(xiàng)和最大 例3等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為30,前2m項(xiàng)的和為100,求它的前3m項(xiàng)的和為_ 解法一 將sm=30,s2m=100代入sn=na1+d,得 解法二 由知,要求s3m只需求ma1+,將得ma1+ d=70,s3m=210 解法三 由等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式知,sn是關(guān)于n的二次函數(shù),即sn=an2+bn(a、b是常數(shù) 將sm=30,s2m=100代入,得,s3m=a·(3m)2+b·3m=210解法四 s3
7、m=s2m+a2m+1+a2m+2+a3m=s2m+(a1+2md)+(am+2md)=s2m+(a1+am)+m·2md=s2m+sm+2m2d 由解法一知d=,代入得s3m=210 解法五 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知 sm,s2msm,s3ms2m也成等差數(shù)列,從而有 2(s2msm)=sm+(s3ms2m)s3m=3(s2msm)=210解法六 sn=na1+d,=a1+d點(diǎn)(n, )是直線y=+a1上的一串點(diǎn),由三點(diǎn)(m,),(2m, ),(3m, )共線,易得s3m=3(s2msm)=210 解法七 令m=1得s1=30,s2=100,得a1=30,a1+a2=100,a1=30,
8、a2=70a3=70+(7030)=110s3=a1+a2+a3=210答案 210 學(xué)生穩(wěn)固練習(xí) 1 等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為sn,假設(shè),那么sn等于( )c 2d 22 a,b,a+b成等差數(shù)列,a,b,ab成等比數(shù)列,且0<logm(ab)<1,那么m的取值范圍是_ 3 等差數(shù)列an共有2n+1項(xiàng),其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319,偶數(shù)項(xiàng)之和為290,那么其中間項(xiàng)為_ 4 a、b、c成等比數(shù)列,如果a、x、b和b、y、c都成等差數(shù)列,那么=_ 5 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,a3=12,s12>0,s13<0 (1)求公差d的取值范圍;(2)指出s1、s2
9、、s12中哪一個(gè)值最大,并說明理由 6 數(shù)列an為等差數(shù)列,公差d0,由an中的局部項(xiàng)組成的數(shù)列a,a,a,為等比數(shù)列,其中b1=1,b2=5,b3=17 (1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;(2)記tn=cb1+cb2+cb3+cbn,求 7 設(shè)an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分別求出an及bn的前n項(xiàng)和s10及t10 8 an為等差數(shù)列,公差d0,an0,(nn*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(kn*)(1)求證 當(dāng)k取不同自然數(shù)時(shí),此方程有公共根;(2)假設(shè)方程不同的根依次為x1,x2,xn,求證 數(shù)列為等差數(shù)列 參考答案
10、:1 解析 利用等比數(shù)列和的性質(zhì) 依題意,而a1=1,故q1,根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知s5,s10s5,s15s10,也成等比數(shù)列,且它的公比為q5,q5=,即q= 答案 b2 解析 解出a、b,解對(duì)數(shù)不等式即可 答案 (,8)3 解析 利用s奇/s偶=得解 答案 第11項(xiàng)a11=294 解法一 賦值法 解法二 b=aq,c=aq2,x=(a+b)=a(1+q),y=(b+c)=aq(1+q), =2 答案 25 (1)解 依題意有 解之得公差d的取值范圍為d3 (2)解法一 由d0可知a1>a2>a3>>a12>a13,因此,在s1,s2,s12中sk為最大值的條件為
11、 ak0且ak+10,即a3=12,,d0,2k3d3,4,得5 5k7 因?yàn)閗是正整數(shù),所以k=6,即在s1,s2,s12中,s6最大 解法二 由d0得a1>a2>>a12>a13,假設(shè)在1k12中有自然數(shù)k,使得ak0,且ak+10,那么sk是s1,s2,s12中的最大值 由等差數(shù)列性質(zhì)得,當(dāng)m、n、p、qn*,且m+n=p+q時(shí),am+an=ap+aq 所以有2a7=a1+a13=s130,a70,a7+a6=a1+a12=s12>0,a6a7>0,故在s1,s2,s12中s6最大 解法三 依題意得 最小時(shí),sn最大;d3,6(5)6 5 從而,在正整
12、數(shù)中,當(dāng)n=6時(shí),n (5)2最小,所以s6最大 點(diǎn)評(píng) 該題的第(1)問通過建立不等式組求解屬根本要求,難度不高,入手容易 第(2)問難度較高,為求sn中的最大值sk,1k12,思路之一是知道sk為最大值的充要條件是ak0且ak+10,思路之三是可視sn為n的二次函數(shù),借助配方法可求解 它考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計(jì)算能力,較好地表達(dá)了高考試題注重能力考查的特點(diǎn) 而思路之二那么是通過等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律,找出“分水嶺,從而得解 6 解 (1)由題意知a52=a1·a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2,d0,a1=2d,數(shù)列的公比q=3,=a1·3n1又=a1+(bn1)d=由得a1·3n1=·a1 a1=2d0,bn=2·3n11 (2)tn=cb1+cb2+cbn=c (2·301)+c·(2·311)+c(2·3n11)=(c+c·32+c·3n)(c+c+c)=(1+3)n1(2n1)= ·4n2n+,7 解 an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,a2+a4=2a3,b2·b4=b32,a2+a4=b3,b2
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