（整理版）第6講　空間向量及其運(yùn)算

1、第6講空間向量及其運(yùn)算分層a級(jí)根底達(dá)標(biāo)演練(時(shí)間：30分鐘總分值：55分)一、選擇題(每題5分，共20分)假設(shè)向量a，b共線，那么向量a，b所在的直線平行；假設(shè)向量a，b所在的直線為異面直線，那么向量a，b一定不共面；假設(shè)三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，那么向量a，b，c，共面；空間的三個(gè)向量a，b，c，那么對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得pxaybzc. ()a0 b1 c2 d3解析a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任兩向量a，b都共面，故錯(cuò)誤；三個(gè)向量a，b，c中任兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面，故不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)

2、，空間任意一向量p才能表示為pxaybzc，故答案a2假設(shè)向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，滿足條件(ca)·(2b)2，那么x()a4 b2 c4 d2解析a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)·(2b)2(1x)2，x2.答案d3假設(shè)a，b，c為空間的一組基底，那么以下各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是()aa，ab，ab bb，ab，abcc，ab，ab dab，ab，a2b解析假設(shè)c、ab、ab共面，那么c(ab)m(ab)(m)a(m)b，那么a、b、c為共面向量，此與a，b，c為

3、空間向量的一組基底矛盾，故c，ab，ab可構(gòu)成空間向量的一組基底答案c4.如下圖，空間四邊形oabc，oboc，且aobaoc，那么cos，的值為 ()a0 b. c. d.解析設(shè)a，b，c，由條件a，ba，c，且|b|c|，·a·(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos，0.答案a二、填空題(每題5分，共10分)5在以下條件中，使m與a、b、c一定共面的是_(填序號(hào))2；0；0；解析0，那么、為共面向量，即m、a、b、c四點(diǎn)共面答案abcd中，···_.解析如圖，設(shè)a，b，c，···a

4、·(cb)b·(ac)c·(ba)0.答案0三、解答題(共25分)7(12分)非零向量e1，e2不共線，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求證：a、b、c、d共面證明令(e1e2)(2e18e2)v(3e13e2)0.那么(23v)e1(83v)e20.e1，e2不共線，.易知是其中一組解，那么50.a、b、c、d共面8(13分)如右圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體abcd­a1b1c1d1中，g為bc1d的重心，(1)試證：a1、g、c三點(diǎn)共線；(2)試證：a1c平面bc1d；(3)求點(diǎn)c到平面bc1d的距離(1)證明，可以證明：()，即a1、g、c三點(diǎn)

5、共線(2)證明設(shè)a，b，c，那么|a|b|c|a，且a·bb·cc·a0，abc，ca，·(abc)·(ca)c2a20，即ca1bc1，同理可證：ca1bd，因此a1c平面bc1d.(3)解abc，2a2b2c23a2，即|a，因此|a.即c到平面bc1d的距離為a.分層b級(jí)創(chuàng)新能力提升 ()a空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示b假設(shè)a，b，c為空間向量的一組基底，那么ab，bc，ca構(gòu)成空間向量的另一組基底cabc為直角三角形的充要條件是·0d任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底解析假設(shè)ab、bc、ca為共面向量，

6、那么ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同時(shí)為1，設(shè)1，那么abc，那么a、b、c為共面向量，此與a，b，c為空間向量基底矛盾答案b2如下圖，在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，m為a1c1與b1d1的交點(diǎn)假設(shè)a，b，c，那么以下向量中與相等的向量是 ()aabc b.abccabc d.abc解析()c(ba)abc.答案a3在一個(gè)60°的二面角的棱上，如圖有兩個(gè)點(diǎn)a，b，ac，bd分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于ab的線段，且ab4 cm，ac6 cm，bd8 cm，那么cd的長(zhǎng)為_(kāi)解析設(shè)a，b，c，由條件|a|8，|b|4，|c|6，a，b90°

7、，b，c90°，a，c60°|2|2|cba|2a2b2c22a·b2a·c2b·c68，那么|2.答案2 cm4如圖，空間四邊形oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45°，oab60°，那么oa與bc所成角的余弦值等于_解析設(shè)a，b，c.oa與bc所成的角為，·a(cb)a·ca·ba·(a)a·(a)a2a·a2a·2416.cos .答案5如下圖，平行六面體abcda1b1c1d1中，以頂點(diǎn)a為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60&#

8、176;.(1)求ac1的長(zhǎng)；(2)求bd1與ac夾角的余弦值解(1)記a，b，c，那么|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，a·bb·cc·a.|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×6，|，即ac1的長(zhǎng)為.(2)bca，ab，|，|，·(bca)·(ab)b2a2a·cb·c1.cos，.ac與bd1夾角的余弦值為.6如下圖，空間四邊形abcd的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)e，f，g分別是ab、ad、cd的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)·；(2)·；(3)eg的長(zhǎng)；(4)異面直線ag與ce所成角的余弦值解設(shè)a，b，c.那么|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，(1)ca，a，bc，··(a)a2a·c，(2)·(ca)·(bc) (b·ca