2016初中聯(lián)賽試題及答案

1、2016初中聯(lián)賽試題及答案2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題第一試（3 月 20 日上午 8:30 - 9:30）一.選擇題（本題滿分42分，每小題7分）（本題共有6個(gè)小題，每題均給出了代號(hào)為4 B, G 的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是正確 的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).每小題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字 母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0 分.）1.用但表示不超過的最大整數(shù)，把TH稱為的小數(shù)部分.已知，=丁=, 是,的小數(shù)部分，是T2 的小數(shù)部分，則；L2b a（ ）A. -B. C. 1D.22V32.三種圖書的單價(jià)分別為10元、15元和20 元，某學(xué)校計(jì)劃恰

2、好用500元購買上述圖書30 本，那么不同的購書方案有2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題第#頁B. 10 種C 11種O. 12 種3(A).如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)” .如： 2 = 13-(-1)26 = 35-1 2和26均為“和諧數(shù)”.那么,不超過刈6的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和( )A 6858B. 6860C. 9260D, 92623(B) .已知二次函數(shù)y = cix2 +bx+1( W 0) 的圖象的頂 點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn)(L0).當(dāng)7為整數(shù)時(shí)，"二 ( )13A 0B.-C.-44D. -24 .已知0O的半

3、徑0O垂直于弦A3,交A8于點(diǎn)C, 連接A0并延長(zhǎng)交©O于點(diǎn)%若A8 = &CD = 2,則A8CE的 面積為( )A 12B. 15C. 16D. 185 .如圖，在四邊形ABCD 中, ZBAC = ZBDC = 90° ,AB = AC = 45 9M9CD=1,對(duì)角線則 DM =的交點(diǎn)為A.C.正V22。；,貝lj M =孫 + 2yz + 3xz 的最6 .設(shè)實(shí)數(shù) %, y,z 滿足x+y+z=l大值為 （）A. B.2D. 1二、填空題(本題滿分28分，每小題7分)(本題共有4個(gè)小題，要求直接將答案寫在 橫線上.)L11(A)、2 (B)l 已知ABC的

4、頂點(diǎn)A、C在 反比例函數(shù))7 (-0 )的圖象上，XZACB = 90°, ZABC = 30° , AB 1 a軸，點(diǎn)8在點(diǎn)A的上方，且AB = 6,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.1(B).已知必死的最大邊8c上的高線AO和中線 AM恰好把三等分， ad = 6, 貝！Jam =2(A) .在四邊形A4CO 中，BC / AO, CA平分 4BCD, O為對(duì)角線的交點(diǎn)，CD = AO, BC = OD,則ZABC =3.13(A)、4(B)】有位學(xué)生忘記寫兩個(gè)三位數(shù) 間的乘號(hào)，得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰好為2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(決賽)試題第5頁原來兩個(gè)三位數(shù)的乘積的3倍，這個(gè)六

5、位數(shù)是.3（B）,若質(zhì)數(shù)八q滿足:3q_ - 4 = 0, + 4 V 111, 則Pq的2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題第9頁最大值為4（A）將 5 個(gè) 1、5 個(gè) 2、5 個(gè) 3、5 個(gè) 4、5 個(gè) 5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)（每格填 入一個(gè)數(shù)），使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì) 值不超過2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個(gè)和的 最小值為時(shí)，貝!U的最大值為第二試（3月20日上午9:5011:20）一、（本題滿分20分）已知“功為正整數(shù)，求M =3a2-ab2-2b-4能取到的最小 正整數(shù)值.二、（本題滿分25分）（A）.如圖,點(diǎn)。在以相為直徑的上，CD1AB 于點(diǎn)%點(diǎn)上在80上

6、,AE = AC,四邊形DEFM是正方形,AM的延長(zhǎng)線與。交于點(diǎn)N.證明：FN = 3£.(B).已知:a + b + c = 5, a2 +b2 +c2 =15, a3 +/> +c3 =47.(a2 + ab+b2 )(b2 + be + c2 )(c2 + ca + a2 )的值.三、（本題滿分25分）（A）.已知正實(shí)數(shù)X, 乂 z 滿足： xy + yz + zx 工 1 ，且1-1）（戶）+。打7）+（-1）=4 .沖yz3V求的值，(2)證明 :9(x + y)(y + z)(z + x)N8-N(Ay + yz +。).(B).如圖，在等據(jù)?以8。中，A8 = A

7、C =技。為 BC 邊上異 于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)c關(guān)于直線A。的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E, EB 的延長(zhǎng)線與A。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E求AO AP的值.2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合竟賽試題及詳解第一試(3 月 20 日上午 8:30 - 9:30)一,選擇題（本題滿分42分，每小題7分）（本題共有6個(gè)小題，每題均給出了代號(hào)為4 B,以的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是正確 的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).每小題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字 母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0 分.）1.用國(guó)表示不超過X的最大整數(shù),把TH稱為出小數(shù)部分已知，是,的小數(shù)部分，”是T 的小數(shù)部分，則 A-L 2b a(

8、 )A. B. C. 1D.22小【答案】A.【解析】r = 2 + >/3,l<>/3<2, .,3<2+>/3<4, 即 2-V3.。=，-3 =6一1. 又 -?=-2->/39-2<->/3<-l.。= 一/-1)= 2一向三一1 =2(2-6)73-1222+有6+1,故選2A.2.三種圖書的單價(jià)分別為10元、15元和20 元，某學(xué)校計(jì)劃恰好用500元購買上述圖書30那么不同的購書方案有 )A.B. 10D 12種【答案】C.【解析】設(shè)購買三種圖書的數(shù)量分別為”z,則卜+)，+ z = 3。10x + 15y + 20

9、z = 500y + Z = 30-x3y+ 4z = 100-2x，解得廣依題意得，”Z為Z = 10 + x2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(決賽)試題第15頁自然數(shù)(非負(fù)整數(shù)),故 04xW10,x有”種可能的取值(分別為對(duì)于每一個(gè)X值，y和z都有唯一的值(自然數(shù)) 相對(duì)應(yīng).即不同的購書方案共有11種，故選C.3(A).如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如： 2 = 13-(-1)26 = 33-13, 2和26均為“和諧數(shù)”.那么, 不超過刈6的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為( )A. 6858B. 6860C. 9260D, 9262【答案】B.【

10、解析】(2k + Ip - (2k - Ip = (2k +1) - (2 女-1) (2k +1)2 + Qk + l)(2k-l) + (2/:-l)2=2(12內(nèi)+1) (其中k為非負(fù)整數(shù))，由2( 2+ 1)4 2016 得，k<9.4 =0,1,2,8,9 , 即得所有不超過2016的“和諧數(shù)”, 它們的和為13-(-1)3 + (33-13) + (5-33) + . + (173-153) + (193-173) = 193+1 = 6860.故選艮3(B) .已知二次函數(shù)y = ax2 +Z?x+l(c/工0) 的圖象的 頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn)(1.0).當(dāng)”。為整數(shù)時(shí)，

11、岫= ( )13A. 0B.-C.-44D. -2【答案】B.【解析】依題意知<。,-=<0,4 + 1=。，故小,且 0 = 一(一- 1) = 2。+1 , 于是-IvavO,二-1<2。+ 1<1又為整數(shù)，.2“ + 1 = 0,故“ = -1 = /?,帥=；,故選民4.已知。的半徑。垂直于弦連接AO并延長(zhǎng)交0O于點(diǎn)若A8 = 8, CD = 2,貝!| A8" 的面積為()A. 12B. 15C. 16【解析】設(shè)OC = x,則QA = OO = x+2,/ OD _L AB C、：. AC = CB = - 48 = 4, 2在 MMMC 中 &g

12、t; OC2 + AC2 =OA即 x2+42=(x+2)2,解得 x = 3,D. 18即 OC = 3（第4題答案圖） OC 為 ABE 的中位線, . BE = 2OC = 6. . AE 是。的直徑,. Sshce=-CB BE = -x4x()= 2. 故選A. 225.如圖,在四邊形 ABCD 中,ABAC = ZBDC = 90° , AB = AC = 下 , CD = ，對(duì)角線的交點(diǎn)為M,貝！|oM = ( )（第5題2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題第#頁答案圖）【答案】D.【解析】過點(diǎn)A作AH 1BD 于點(diǎn) ，,則CMD, = ,CD = 1,/. AH=

13、,設(shè) AM =x,貝!JCD CMCMCM =乒x,：. AH =x/5 - x在 R/A48M 中,BM =yjAB、AM2 =心+5, U!| AH =,AM ="=4,顯然，化簡(jiǎn)整理得Jr+5 v5-xBM Jx?+52x2-5>/5x+10 = 0解得“g, Q = 2/不符合題意，舍去）, 乙CM =已在 RtACDM 中，DM = 4CM1-CD2 ="故選D 226.設(shè)實(shí)數(shù) x, y, z 滿足 x + y + Z = 1,貝! M =xy + 2yz + 3xz 的最大值為（）123A. B. C. 一234D. 1【答案】c【解析】M =xy + （

14、2y + 3x）z = xy + （2y + 3x）（1 一 xy） = -3x2 - 4xy 2y2 +3x+2y=-2 產(chǎn)+2卜_g、y+卜；、-3x2+3x + 2if .2 . 1 _ / . 1 Y （ 1丫 3-32）2 c 2； I 2j 4 4當(dāng)且僅當(dāng)戶“=。時(shí)，M取等號(hào)，故故二、填空題(本題滿分28分，每小題7分)(本題共有4個(gè)小題，要求直接將答案寫在橫線上.)L11(A)、2 (B)l 已知ABC 的頂點(diǎn)小。在反比例函數(shù)看走(-0 )的圖象上， XZACB = 90°, ZABC = 30° , AB 1 x軸，點(diǎn)3在點(diǎn)A的上方，且A8 = 6,則點(diǎn)C的

15、坐標(biāo)為.【答案】隹,【解析】如圖，過點(diǎn)。作CD LAB點(diǎn)在 中, BC = AB-cosZABC = 35/3在 RtMiCD 中CD = 8c sin B =373(第1題答案圖)B£）= BCcosB = |,. AD = AB-BD = ,設(shè) cjin. m依題意知心心。，故CO = n-m、AO =三一三，于是 m n3x/3 n - m =2正正=3,m ii 24解得'"了n = 2/故點(diǎn)C的坐標(biāo)為咨2；1（B）.已知必"的最大邊叱上的高線AO和中線AD = 5恰好把 則【答 【解析】（第1題答案圖1）依題意得（第1題答案圖2）/BAD = A

16、DAM = NM4c , ZADB = ZADC = 90",AABCZACB.(1)若 ZA8OZAC8 時(shí)，如答案圖 1 所AAD/W =AADB. ：. BD = DM = -CM,2又AM平分NDAC, .業(yè)="="在 Ri ADAC中，即 AC CM 2cos NDAC =, 2/. ADAC = 60。，從而 ZBAC = 90°, ZAC。= 30° 在 火/AA。中, CD = ADkmZmC = >/3-tan60 =3, DM =.在/dAAZW 中，AM =>IaD2+DM2 =2.2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(

17、決賽)試題第16頁若AABC < AACB時(shí)，如答案圖2所示.同理可得A" =2 .綜上所述，AM =2.2(A).在四邊形ABCD 中，BC / AO , CA平分ZBCD, 0 為對(duì)角線的交點(diǎn)，CD = AO, BC = OD,則NABC =【答案】.CA 平分ZBCD, ZOCD = ZOCB = a ,v BC / AD ,/. ZADO = ZOBC = p. ADAO = ZOCB = a ,(第2題答案圖)/. ZOCD = ADAO = a , /. AD = CD,/CD = AO,0 A£> = AO ,ZADO = ZAOD = ZBOC

18、= ZOBC = p , . OC = BC y/ BC = ODy ：. OC = OD、：. /ODC = ZOCD = a ZBOC = NODC + NOCD, ZBOC + ZOBC + ZOCB = 180:.p = 2a,a + 2p = 80 ,解得。=36；p = 72。, /. /DBC =乙BCD = 72 ,. BD = CD = AD. AABD = /BAD =效二£ = 54 2:ZABC = ZABD + ZDBC = 126 3.13(A)、4(B)有位學(xué)生忘記寫兩個(gè)三位數(shù) 間的乘號(hào)，得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰好為原來兩個(gè)三位數(shù)的乘積的3倍，這個(gè)六

19、位數(shù) 是.【答案】 167334.【解析】設(shè)兩個(gè)三位數(shù)分別為，則lOOOx + y = 3孫,y = 3xy- OOOx = (3y -1000)x,故y是1的正整數(shù)倍，不妨 設(shè))"3為正整數(shù))，代入得1000+1 = 3比，.r= 1Q00 + 是三位數(shù)，.一=舞£卻。，解得三黑,為正整數(shù)，尚可能取值為123.驗(yàn)證可知,只有，=2符合，此時(shí)x = 167,y = 334.故所求的六位數(shù)為167334.3(B) .若質(zhì)數(shù)八g滿足：3夕一一4 = 0,/7 + <111, 則的最大值為【答案】1007 .2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(決賽)試題第25頁【解析】 由3g p

20、 4 = 04當(dāng)且僅當(dāng)q取得最大值時(shí)，/%取得最大值. =3,4,1. pq = qGq-G = 3q1-4t/ = 3f t7-|因?yàn)橘|(zhì)數(shù)，故,”的值隨著質(zhì)數(shù)9的增大而增大,又 p +因夕為質(zhì)數(shù),故q的可能取值為23,19,17,13,11,7,5,3,2 » 但q = 23 時(shí)，p = 3q-4 = 65 = 5xl3不是質(zhì)數(shù)， 舍去.當(dāng)（7 = 19時(shí), p = 3c/-4 = 53恰為質(zhì)數(shù).故夕皿=以（/Ma =53x19 = 1007.4(A)將 5 個(gè) 1、5 個(gè) 2、5 個(gè) 3、5 個(gè) 4、5 個(gè) 5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)(每格填 入一個(gè)數(shù))，使得同一列中任

21、何兩數(shù)之差的絕對(duì) 值不超過2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個(gè)和的 最小值為m ,貝!U的最大值為【答案】【解析】(依據(jù)5個(gè)1分布的列數(shù)的不同情形 進(jìn)行討論，確定M的最大值.(1)若5個(gè)1分布在同一列，則*5；(2)若5個(gè)1分布在兩列中，則由題意知 這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3,故2M<5xl + 5x3 = 209故人明(3)若5個(gè)1分布在三列中，則由題意知 這三列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3,故3M <5x1+5x2 + 5x3 = 30,故 MW10；(4)若5個(gè)1分布在至少四列中，則其中某一列至少有一個(gè)數(shù)大于3,這與已知矛盾.綜上所述,m <10.另一方面，如下表的例子說明M可

22、以取到 10.故M的最大值為10.1114511245222453324533345第一試（3月20日上午9:5011:20）一、（本題滿分20分） 正整數(shù)值.已知山為正整數(shù)，求M =3/一加一2/?一4能取到的最小【解析】解：因獷為正整數(shù)，要使得M =3a2-ab2-2b-4的值為正整數(shù)，則有壯2.當(dāng) =2時(shí)，只能為1,此時(shí)M =4.故M能取到的最小正整數(shù)值不超過4.當(dāng)a = 3時(shí)，只能為1或2.若 = 1,M=18；若0 = 2, 則M=7.當(dāng)。=4時(shí)，只能為1或2或3.若 =1"=38；若0 = 2," =24；若 =3,貝!|用=2(下面考慮:用=32加一%一4的值

23、能否為1?)2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(決賽)試題第31頁(反證法)假設(shè)M = 9 貝!| 3。24一2/2-4 = 1 , 即3a2-ab2 =21 + 5，a(3a-b2) = 217 + 5因，為正整數(shù),故2"5為奇數(shù),從而“為奇數(shù),方為偶數(shù)，不妨設(shè) a = 2m + l,b = 2n , 其中i均為正整數(shù),則a(3a-b2) = (2m +1) |3(2m +1) (2n)2 J = 4(3 +3m - 2mn2 -n2) + 3BP a(3ab2) 被4除所得余數(shù)為3 ,而 2 + 5 = 2(2) + 5 = 45 + 1) + 1被4除所得余數(shù)為1,故式不 可能成立，故

24、人1.因此，能取到的最小正整數(shù) 值為2二、(本題滿分25分)(A).如圖，點(diǎn)c在以"為直徑的oo上，CD LAB于點(diǎn)。，點(diǎn)后在3Q 上，AE = AC, 四邊“ 形 DEFM 是正方形，AM的延長(zhǎng)線與OO交于點(diǎn) N 證明：產(chǎn)N = O乙【證明】：連接8八BN.；AB為QO的直徑，8 48于：.ZACB = ZANB = ZADC = 90/ NCAB = "AC, ZACB = ZADC, /. AACB s SADC,：.：. AC2 = AD- ABAD AC由四邊形DE6W是正方形及于點(diǎn)?？芍?點(diǎn) M 在 CO 上, DE = DM =EF = MF/ ZNAB =

25、ADAM, ZANB = ZADM -AANB s SADM,AN AR：.=-. ADAB = AM AN、：. AC2 = AM ， AN,AD AM/ AE = AC, .二 AE2 = AM - AN以點(diǎn)尸為圓心、FE為半徑作OR與直線AM交于另一點(diǎn)P,則0歹與相切于點(diǎn)E,即AE是OF的切 線，直線是”的割線，故由切割線定理得 AE2 = AM - APAN = AP ,即點(diǎn)N與點(diǎn)P重合9點(diǎn)N在OF上9二 FN = FE = DE.（注：上述最后一段得證明用了 “同一法”）(B),已知： a+b + c = 5, a2 +h2 +c2 =15, a3 +/> +cy =47.(a

26、2 + ab+b1 )(b2 + bc+c2 )(c2 +ca + a2)的值.-(d2 +b2 +c2) = 5【解析】 由已知ab + be + ca =+h + c)得,由 恒 等a" + b' +c3 -3abc = (a+b + c)(a2 +h2 + c2 -ab-be-ca)47 一 3aZ;c = 5 x (15 5),二 abc = -1a1 +ab+b2 = (a+b + c)(a+b)- (ab + be + ca) = 5(5 - c) -5 = 5(4c)同理可得/ +bc+c2 =5(4a),c2 +ca + cC =5(4/7)原二 5 (4a)

27、(4Z?)(4c) = 125 64-16(a+b + c)+4(，心+bc + cci)abc= 125x64-16x5 + 4x5-(-l) = 625.(t - a)(t - b)(t c) = ts (a + h + c)r + (ab + be + cat - abc三、（本題滿分25分）（A） .已知正實(shí)數(shù)X, 乂 z滿足： xy + yz + zx 工 1 ，且那一心-1）尸-）（）+（1）（.1）=4 .）2*(1)求的值.a>' yz *(2)證明 :9(x + y)(y + z)(z + x)之 Sxyz(xy + yz + v) ,【解析】(1)解：由等式(

28、a-2 - l)(y2 -1) (y2 - l)(r -1) (z2 - DU2 -1) 11= 4 ,NX去分母得小2-1)(),2-1)4-X(y2 -l)(zn-1)4-y(z2 -l)u2-1) = 4xyz， x2y2z+xy2z1+x1yz1 -x(y2+z2) + y(z2+x2)+z(x2 + y2)+3xyz+(x+y + z)-xyz = 0,xyz.(xy + yz + zfx)-(x + y + z(xy + yz +。) + (x + y + z)-xy =。,/. xyz-(x + y + z)(xy + yz + -1) = 0 9 ; xy + yz + zV：.xy + yz + z- 9:.xyz-(x + y + z) = O. .xy7z = x + y + z 9，原式二(2)證明：由(1)得計(jì)算過程知xyz = x+y