MATLAB中的符號(hào)運(yùn)算

1、12021/3/27MATLAB所具有的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱與其它所有工具不同,它適用于廣泛的用途,而不是針對(duì)一些特殊專(zhuān)業(yè)或?qū)I(yè)分支。另外,MATLAB符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱與其它的工具箱區(qū)別還因?yàn)樗褂米址畞?lái)進(jìn)行符號(hào)分析,而不是基于數(shù)組的數(shù)值分析。符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱是操作和解決符號(hào)表達(dá)式的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱(函數(shù))集合,有復(fù)合、簡(jiǎn)化、微分、積分以及求解代數(shù)方程和微分方程的工具。另外還有一些用于線(xiàn)性代數(shù)的工具,求解逆、行列式、正則型式的精確結(jié)果,找出符號(hào)矩陣的特征值而無(wú)由數(shù)值計(jì)算引入的誤差。工具箱還支持可變精度運(yùn)算,即支持符號(hào)計(jì)算并能以指定的精度返回結(jié)果。 符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱中的工具是建立在功能強(qiáng)大的Maple之上。

2、它最初是由加拿大的滑鐵盧（Waterloo）大學(xué)開(kāi)發(fā)的。當(dāng)要求MATLAB進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí),它就請(qǐng)求Maple去計(jì)算并將結(jié)果返回到MATLAB命令窗口。因此,在MATLAB中的符號(hào)運(yùn)算是MATLAB處理數(shù)字的自然擴(kuò)展。 符號(hào)表達(dá)式是代表數(shù)字、函數(shù)、算子和變量的MATLAB字符串,或字符串?dāng)?shù)組。不要求變量有預(yù)先確定的值,符號(hào)方程式是含有等號(hào)的符號(hào)表達(dá)式。符號(hào)算術(shù)是使用已知的規(guī)則和給定符號(hào)恒等式求解這些符號(hào)方程的實(shí)踐,它與代數(shù)和微積分所學(xué)到的求解方法完全一樣。符號(hào)矩陣是數(shù)組,其元素是符號(hào)表達(dá)式。 符號(hào)表達(dá)式12xn 1/(2*xn) 12yxy= 1/sqrt(2*x) cos()sin()xx22

3、 cos(x2)-sin(2*x) MabcdM=sym( a，b；c，d )符號(hào)表達(dá)式MATLAB表達(dá)式xxdxab31f=int( x3/sqrt(1-x) ， a ， b )MATLAB符號(hào)函數(shù)可用多種方法來(lái)操作這些表達(dá)式diff( cos(x) )ans= -sin(x) % differentiate cos(x) with respect to xM=sym( a,b;c,d )M= a,b c,d % create a symbolic matrix Mdeterm(M)ans= a*d-b*c% find the determinant of the symbolic matr

4、ix上面的第一個(gè)例子的符號(hào)表達(dá)式是用單引號(hào)以隱含方式定義的。它告訴MATLAB cos(x) 是一個(gè)字符串并說(shuō)明diff( cosx )是一個(gè)符號(hào)表達(dá)式而不是數(shù)字表達(dá)式;而在第二個(gè)例子中,用函數(shù)sym顯式地告訴MATLAB M=sym( a,b;c,d )是一符號(hào)表達(dá)式。在MATLAB可以自己確定變量類(lèi)型的場(chǎng)合下,通常不要求顯式函數(shù)sym。 符號(hào)變量 當(dāng)字符表達(dá)式中含有多于一個(gè)的變量時(shí),只有一個(gè)變量是獨(dú)立變量。如果不告訴MATLAB哪一個(gè)變量是獨(dú)立變量,MATLAB將基于以下規(guī)則選擇一個(gè): 在符號(hào)表達(dá)式中缺省的獨(dú)立變量是唯一的,除去i和j的小寫(xiě)字母,不是單詞的一部分。如果沒(méi)有這種字母,就選擇x

5、作為獨(dú)立變量。如字符不是唯一的,就選擇在字母順序中最接近x的字母。如果有相連的字母,就選擇在字母表中較后的那一個(gè)。缺省的獨(dú)立變量,有時(shí)稱(chēng)作自由變量,在表達(dá)式 1/(5+cos(x) 中是 x x ;在 3*y+z 中是 y y ;在 a+sin(t) 是 t t 。在表式 sin(pi/4)-cos(3/5) 中自由符號(hào)變量是 x x ,因?yàn)榇耸绞且粋€(gè)符號(hào)常數(shù)無(wú)符號(hào)變量?？衫煤瘮?shù)symvar詢(xún)問(wèn)MATLAB在符號(hào)表達(dá)式中哪一個(gè)變量它認(rèn)為是獨(dú)立變量。symvar( a*x+y*) % find the default symbolic variableans= xsymvar( a*t+s/(

6、u+3) ) % u is the closest to x ans= usymvar( sin(omega) ) % omega is not a singlee character。ans= xsymvar( 3*i+4*j ) % i and j are equel to sqrt(-1)ans= xsymvar( y+3*s , t ) ans= s% find the variable closest to t rather than x如果利用規(guī)則symvarsymvar不能找到一個(gè)缺省獨(dú)立變量,它便假定無(wú)獨(dú)立變量并返回x。這一結(jié)論對(duì)含有由多個(gè)字母組成的變量,如:alpha或s2的

7、表達(dá)式,或不含變量的符號(hào)常數(shù)均成立。如果需要,絕大多數(shù)命令都使用用戶(hù)選項(xiàng)以指定獨(dú)立變量。 diff( xn ) % differentiate with respect to the default variable x ans=xn*n/x diff( xn , n ) % differentiate xn with respect to n ans=xn*log(x) diff( sin(omega) ) % differentiate using the default variables (x) ans=0 diff( sin(omega) , omega ) % specify th

8、e independent variable ans= cos(omega) 符號(hào)表達(dá)式運(yùn)算 一旦創(chuàng)建了一個(gè)符號(hào)表達(dá)式,或許想以某些方式改變它;也許希望提取表達(dá)式的一部分,合并兩個(gè)表達(dá)式或求得表達(dá)的數(shù)值。有許多符號(hào)工具可以幫助完成這些任務(wù)。所有符號(hào)函數(shù)(很少特殊例外的情況)作用到符號(hào)表達(dá)式和符號(hào)數(shù)組,并返回符號(hào)表達(dá)式或數(shù)組。其結(jié)果有時(shí)可能看起來(lái)象一個(gè)數(shù)字,但事實(shí)上它是一個(gè)內(nèi)部用字符串表示的一個(gè)符號(hào)表達(dá)式?？梢赃\(yùn)用MATLAB函數(shù)isstrisstr來(lái)找出像似數(shù)字的表達(dá)式是否真是一個(gè)整數(shù)或是一個(gè)字符串。 如果表達(dá)式是一個(gè)有理分式(兩個(gè)多項(xiàng)式之比),或是可以展開(kāi)為有理分式(包括哪些分母為1的分式)

9、,可利用numdennumden來(lái)提取分子或分母。例如,給定如下的表達(dá)式:提取分子和分母mxfaxbxgxxhxxxxkxxx222223223353213132213434在必要時(shí),numdennumden將表達(dá)式合并、有理化并返回所得的分子和分母。進(jìn)行這項(xiàng)運(yùn)算的MATLAB語(yǔ)句是: m= x2 m= x2 % create a simple expression m=m=x2x2nn, ,d=numden(m) d=numden(m) % extract the numerator and denominatorn= x2n= x2d= 1d= 1f= af= a* *x2/(b-x) x

10、2/(b-x) % create a rational expressionf= af= a* *x2/(b-x)x2/(b-x) n n, ,d=numden(f) d=numden(f) % extract the numerator and denominatorn=n=a a* *x2x2d=d=b-xb-xg= 3/2*x2+2/3*x-3/5 % rationalize and extract the partsg=3/2*x2+2/3*x-3/5 n,d=numden(g)n=45*x2+20*x-18d=30h= (x2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1) % the s

11、um of rational polynomialsh=(x2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1)n,d=numden(h) % rationalize and extractn=x3+5*x2-3d=(2*x-1)*(x-1)很多標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)運(yùn)算可以在符號(hào)表達(dá)式上執(zhí)行,函數(shù)symadd、symsub、symlnul和symdiv為加、減、乘、除兩個(gè)表達(dá)式,sympow將一個(gè)表達(dá)式上升為另一個(gè)表達(dá)式的冪次。 標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)運(yùn)算例如: 給定兩個(gè)函數(shù)fxxgxx235722f= 2*x2+3*x-5 % define the symbolic expressionf=2*x2+3*x-5 g= x2

12、-x+7 g=x2-x+7 symadd(f,g) % find an expression for f+g ans=3*x2+2*x+2 symsub(f,g) % find an expression for f-gans=x2+4*x-12 symmul(f,g) % find an expression for f*gans=(2*x2+3*x-5)*(x2-x+7) symdiv(f,g) % find an expression for f/gans=(2*x2+3*x-5)/(x2-x+7) sympow(f, 3*x ) % find an expression for ans

13、=(2*x2+3*x-5)3* 變換函數(shù)函數(shù)symsym可獲取一個(gè)數(shù)字參量并將其轉(zhuǎn)換為符號(hào)表達(dá)式。函數(shù)numnericnumneric的功能正好相反,它把一個(gè)符號(hào)常數(shù)（無(wú)變量符號(hào)表達(dá)式）變換為一個(gè)數(shù)值。 phi= (1+sqrt(5)/2 % the golden ratiophi= (1+sqrt(5)/2 % convert to a numeric value numeric(phi)ans= 1.6180符號(hào)函數(shù)sym2polysym2poly將符號(hào)多項(xiàng)式變換成它的MATLAB等價(jià)系數(shù)向量。函數(shù)poly2syrnpoly2syrn功能正好相反,并讓用戶(hù)指定用于所得結(jié)果表達(dá)式中的變量。

14、f= 2*x2+x3-3*x+5 % f is the symbolic polynomialsf=2*x2+x3-3*x+5n=sym2poly(f) % extract eht numeric coefficient vectorn=1 2 -3 5poly2sym(n) % recreate the polynomials in x (the default)ans= 2*x2+x3-3*x+5poly2sym(n, s ) % recreate the polynomials in sans= s3+2*s2-3*s+5變量替換 假設(shè)有一個(gè)以x為變量的符號(hào)表達(dá)式,并希望將變量轉(zhuǎn)換為y。

15、MATLAB提供一個(gè)工具稱(chēng)作subssubs,以便在符號(hào)表達(dá)式中進(jìn)行變量替換。其格式為subssubs（f f, ,newnew, ,old)old),其中f是符號(hào)表達(dá)式,newnew和oldold是字符、字符串或其它符號(hào)表達(dá)式。新字符串將代替表達(dá)式f中各個(gè)舊字符串。 f= a*x2+b*x+c % create a function f(x)f=a*x2+b*x+csubs(f, s , x ) % substitute s for x in the expression f ans= a*s2+b*s+c subs(f, alpha , a ) % substitute alpha for

16、 a in f ans= alpha*x2+b*x+cg= 3*x2+5*x-4 % create another functiong= 3*x2+5*x-4h=subs(g, 2 , x ) % substitute 2 for x in g h=18isstr(h) % show that the result is a symbolic expression ans= 1微分和積分 微分和積分是微積分學(xué)研究和應(yīng)用的核心,并廣泛地用在許多工程學(xué)科。MATLAB符號(hào)工具能幫助解決許多這類(lèi)問(wèn)題。 微分導(dǎo)數(shù)（包括偏導(dǎo)數(shù)）函數(shù) diffdiff格式 diff(S,v)、diff(S,sym(v)

17、%對(duì)表達(dá)式S中指定符號(hào)變量v計(jì)算S的1階導(dǎo)數(shù)。 diff(S) %對(duì)表達(dá)式S中的符號(hào)變量v計(jì)算S的1階導(dǎo)數(shù),其中v=findsym(S)。 diff(S,n) %對(duì)表達(dá)式S中的符號(hào)變量v計(jì)算S的n階導(dǎo)數(shù),其中v=findsym(S)。 diff(S,v,n) %對(duì)表達(dá)式S中指定的符號(hào)變量v計(jì)算S的n階導(dǎo)數(shù)。 syms x y tD1 = diff(sin(x2)*y2,2) %計(jì)算D2 = diff(D1,y) %計(jì)算D3 = diff(t6,6)計(jì)算結(jié)果為:D1 = -4*sin(x2)*x2*y2+2*cos(x2)*y2D2 = -8*sin(x2)*x2*y+4*cos(x2)*yD3

18、 = 7202222xsinyx2222xsinyxy符號(hào)表達(dá)式的微分以四種形式利用函數(shù)diffdiff: f= a*x3+x2-b*x-c % define a symbolic expressionf=a*x3+x2-b*x-cdiff(f) % differentiate with respect to the default variable xans= 3*a*x2+2*x-bdiff(f,a ) % differentiate with respect to aans= x3diff(f,2) % differentiate twice with respect to xans=

19、6*a*x+2diff(f, a ,2) % differentiate twice with respect to aans= 0函數(shù)diffdiff也可對(duì)數(shù)組進(jìn)行運(yùn)算。如果F是符號(hào)向量或數(shù)組,diff(F)diff(F)對(duì)數(shù)組內(nèi)的各個(gè)元素進(jìn)行微分。 F=sym( a*x, b*x2; c*x3, d*s ) % create a symbolic arrayF= a*x, b*x2c*x3, d*sdiff(F) % differentiate the element with respect to x ans= a,2*b*x 3*c*x2, 0積分 積分函數(shù)int(f)int(f),其

20、中f是一符號(hào)表達(dá)式,它力圖求出另一符號(hào)表達(dá)式F使diff(F)=fdiff(F)=f。正如從研究微分學(xué)所了解的,積分比微分復(fù)雜得多。積分或逆求導(dǎo)不一定是以封閉形式存在,或許存在但軟件也許找不到,或者軟件可明顯地求解,但超過(guò)內(nèi)存或時(shí)間限制。當(dāng)MATLAB不能找到逆導(dǎo)數(shù)時(shí),它將返回未經(jīng)計(jì)算的命令。 函數(shù) intint 格式 R = int(S,v) %對(duì)符號(hào)表達(dá)式S中指定的符號(hào)變量v計(jì)算不定積分。注意的是,表達(dá)式R只是函數(shù)S的一個(gè)原函數(shù),后面沒(méi)有帶任意常數(shù)C。R = int(S) %對(duì)符號(hào)表達(dá)式S中的符號(hào)變量v計(jì)算不定積分,其中v=findsym(S)。R = int(S,v,a,b) %對(duì)表達(dá)式

21、s中指定的符號(hào)變量v計(jì)算從a到b的定積分 R = int(S,a,b) %對(duì)符號(hào)表達(dá)式s中的符號(hào)變量v計(jì)算從a到b的定積分,其中v=findsym(S)。int( log(x)/exp(x2) ) % attempt to integrateans= log(x)/exp(x2)同微分一樣,積分函數(shù)有多種形式。形式int(f)int(f)相對(duì)于缺省的獨(dú)立變量求逆導(dǎo)數(shù);形式(f (f, , s ) s )相對(duì)于符號(hào)變量s積分;形式int(fint(f, ,a a, ,b)b)和int(fint(f, , s s , ,a a, ,b)b), ,a a, ,b b是數(shù)值,求解符號(hào)表達(dá)式從a a到b

22、 b的定積分;形式int(fint(f, , m m , , n ) n )和形式int(fint(f, , s s , , m m , , n ) n ),其中mm, ,n n是符號(hào)變量,求解符號(hào)表達(dá)式從mm到n n的定積分。f= sin(s+2*x) ) % crate a symbolic functionf=sin(s+2*x)int(f) % integrate with respect to xans= -1/2*cos(s+2*x)int(f, s ) % integrate with respect to sans= -cos(s+2*x)int(f,pi/2,pi) % in

23、tegrate with respect to x from pi/2 to pi ans= -cos(x) int(f, s ,pi/2,pi) % integrate with respect to s from /2 to ans= cos(2*x)-sin(2*x)int(f, m , n ) % integrate with respect to x from m to nans= -1/2*cos(s+2*n)+1/2*cos(s+2*m)正如函數(shù)diffdiff一樣,積分函數(shù)intint對(duì)符號(hào)數(shù)組的每一個(gè)元素進(jìn)行運(yùn)算。 F=sym( a*x,b*x2;c*x3,d*s ) % c

24、reate a symbolic arrayF= a*x,b*x2c*x3, d*sdiff(F) % ubtegrate the array elements with respect to x ans= 1/2*a*x2,1/3*b*x3 1/4*c*x4, d*s*xsyms x z t alphaINT1 = int(-2*x/(1+x3)2)INT2 = int(x/(1+z2),z)INT3 = int(INT2,x)INT4 = int(x*log(1+x),0,1) INT5 = int(2*x, sin(t), 1) INT6 = int(exp(t),exp(alpha*t

25、)當(dāng)xa時(shí): limit(F,a) %用命令findsym(F)確定F中的自變量,設(shè)為變量x,再計(jì)算F的極限值;當(dāng)xa時(shí): limit(F) %用命令findsym(F)確定F中的自變量,設(shè)為變量x,再計(jì)算F的極限值;當(dāng)x0時(shí): limit(F,x,a,right)或limit(F,x,a,left) %計(jì)算符號(hào)函數(shù)F的單側(cè)極限:左極限xa- 或右極限xa+。極限函數(shù) limitlimit格式 limit(F,x,a) :%計(jì)算符號(hào)表達(dá)式F=F(x)的極限值,syms x a t h n; L1 = limit(cos(x)-1)/x)L2 = limit(1/x2,x,0,right)L3

26、= limit(1/x,x,0,left)L4 = limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0)v = (1+a/x)x, exp(-x);L5 = limit(v,x,inf,left)L6 = limit(1+2/n)(3*n),n,inf)計(jì)算結(jié)果為:L1 = 0、L2 = inf、L3 = -inf、L4 = 1/xL5 = exp(a), 0、L6 = exp(6)符號(hào)表達(dá)式畫(huà)圖 在許多的場(chǎng)合,將表達(dá)式可視化是有利的。MATLAB提供了函數(shù)ezplotezplot來(lái)完成該任務(wù)。 y= 16*x2+64*x+96 % expression to ploty=16*x2+64

27、*x+96ezplot(y)。-6-4-20246-1000-800-600-400-2000200 x-16*x2+64*x+96 ezplot ezplot繪制了定義域?yàn)?2x2的給定符號(hào)函數(shù),并相應(yīng)地調(diào)整了y軸比例,還加了網(wǎng)格柵和標(biāo)志。在這個(gè)例子中,我們感興趣的時(shí)間是從0到6。讓我們?cè)僭囈幌?并指定時(shí)間范圍.ezplot(y,0 6) % plot y for 0 x60123456-100-50050100150 x-16*x2+64*x+96 符號(hào)表達(dá)式簡(jiǎn)化 有時(shí)MATLAB返回的符號(hào)表達(dá)式難以理解,有許多工具可以使表達(dá)式變得更易讀懂。第一個(gè)就是函數(shù)prettypretty,該命令以

28、類(lèi)似于數(shù)學(xué)課本上的形式來(lái)顯示符號(hào)表達(dá)式。 f=taylor( log(x+1)/(x-5) ) % 6 terms is the defaultf =-1/5*x+3/50*x2-41/750*x3+293/7500*x4-1207/37500*x5+O(x6)pretty(f) 2 41 3 293 4 1207 5 6 - 1/5 x + 3/50 x - -x + -x - -x + O(x ) 750 7500 37500符號(hào)表達(dá)式可用許多等價(jià)形式來(lái)提供。在不同的場(chǎng)合,某種形式可能勝于另一種。MATLAB用許多命令來(lái)簡(jiǎn)化或改變符號(hào)表達(dá)式。 f=sym( (x2-1)*(x-2)*(x-

29、3) ) % create a functionf=(x2-1)*(x-2)*(x-3)collect(f) % collect all like termsans= x4-5*x3+5*x2+5*x-6hornor(ans) % change to Horner or nested representationans= -6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x factor(ans) % express as a product of polynomialsans= (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1) expand(f) % distribute products over

30、 sumsans= x4-5*x3+5*x2+5*x-6 SimplifySimplify是功能強(qiáng)大、通用的工具。它利用各種類(lèi)型代數(shù)恒等式,包括求和、積分和分?jǐn)?shù)冪、三角、指數(shù)和log函數(shù)、Bessel函數(shù)、超幾何函數(shù)和函數(shù),來(lái)簡(jiǎn)化表達(dá)式。下面例子說(shuō)明函數(shù)的乘冪。 simplify( log(2*x/y) ) ans=log(2)+log(x)-log(y) simplify( sin(x)2+3*x+cos(x)2-5 ) ans=3*x-4 simplify( (-a2+1)/(1-a) ) ans=a+1方程求解 用MATLAB所具有的符號(hào)工具可以求解符號(hào)方程。有一些工具已經(jīng)在前面介紹過(guò),

31、更多將在本節(jié)予以檢驗(yàn)。 求解單個(gè)代數(shù)方程 :MATLAB具有求解符號(hào)表達(dá)式的工具。若表達(dá)式不是一個(gè)方程式(不含等號(hào)),則在求解之前函數(shù)solvesolve將表達(dá)式置成等于0。 solve( a*x2+b*x+c ) % solve for the roots of the quadratic equtionans= 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)1/2)結(jié)果是符號(hào)向量,其元素是方程的2個(gè)解。如果想對(duì)非缺省x變量求解,solvesolve必須指定變量。solve( a*x2+b*x+c , b ) % solve for bans= -(

32、a*x2+c)/x 帶有等號(hào)的符號(hào)方程也可以求解。 f=solve( cos(x)=sin(x) ) % solve for xf=1/4*pit=solve( tan(2*x)=sin(x) )t= 0acos(1/2+1/2*3(1/2)acos(1/2=1/2*3(1/2)并得到數(shù)值解。 numeric(f)ans=0.7854numeric(t)ans= 0 0 + 0.8314i1.9455注意在求解周期函數(shù)方程時(shí),有無(wú)窮多的解。在這種情況下,solvesolve對(duì)解的搜索范圍限制在接近于零的有限范圍,并返回非唯一的解的子集。 代數(shù)方程組求解可以同時(shí)求解若干代數(shù)方程,語(yǔ)句solve(

33、s1solve(s1, ,s2s2, ,., ,sn)sn)對(duì)缺省變量求解n n個(gè)方程,語(yǔ)句solve(s1solve(s1, ,s2s2, ,., ,snsn, , v1v1, ,v2v2, ,., ,vn )vn )對(duì)n n個(gè)個(gè) v1 v1, ,v2v2, ,.vn .vn 的未知數(shù)求解n n個(gè)方程。如果電影票價(jià)為3.00美元,爆米花為1.00美元,糖棒為50美分,她有足夠的錢(qián)去買(mǎi)這三樣?xùn)|西?如何處理中小學(xué)典型的代數(shù)問(wèn)題?黛安娜(Diane)想去看電影,她從小豬存錢(qián)罐倒出硬幣并清點(diǎn),她發(fā)現(xiàn): 10美分的硬幣數(shù)加上5美分的硬幣總數(shù)的一半等于25美分的硬幣數(shù)。1美分的硬幣數(shù)比5美分、10美分以

34、及25美分的硬幣總數(shù)多10。25美分和10美分的硬幣總數(shù)等于1美分的硬幣數(shù)加上1/4的5美分的硬幣數(shù)25美分的硬幣數(shù)和1美分的硬幣數(shù)比5美分的硬幣數(shù)加上8倍的10美分的硬幣數(shù)多1。首先,根據(jù)以上給出的信息列出一組線(xiàn)性方程,假如p,n,d和q分別表示1美分,5美分,10美分,和25美分的硬幣數(shù)dnpqpndqqdpnqpnd210481然后,建立MATLAB符號(hào)方程并對(duì)變量求解。eq1= d+(n+p)/2=q ; eq2= p=n+d+q-10 ; eq3= q+d=p+n/4 ; eq4= q+p=n+8*d-1 ; pennies,nickles,dimes,quarters= solve

35、(equ1,equ2,equ3,equ4, p,n,d,q )pennies=16 nickles=8 dimes= 3 quarters=15所以,黛安娜有16枚1美分的硬幣,8枚5美分的硬幣,3枚10美分的硬幣,15枚25美分的硬幣,這就意味著 money=.01*16+.05*8+.10*3+.25*15money=4.6100她就有足夠的錢(qián)去買(mǎi)電影票,爆米花和糖棒并剩余11美分。 單個(gè)微分方程 常微分方程有時(shí)很難求解,MATLAB提供了功能強(qiáng)大的工具,可以幫助求解微分方程。函數(shù)dsovledsovle計(jì)算常微分方程的符號(hào)解。因?yàn)槲覀円蠼馕⒎址匠?就需要用一種方法將微分包含在表達(dá)式中。

36、所以,dsovledsovle句法與大多數(shù)其它函數(shù)有一些不同,用字母D D來(lái)表示求微分,D2D2, ,D3D3等等表示重復(fù)求微分,并以此來(lái)設(shè)定方程。任何D D后所跟的字母為因變量。方程=0用符號(hào)表達(dá)式D2y=0來(lái)表示。獨(dú)立變量可以指定或由symvarsymvar規(guī)則選定為缺省。 函數(shù) dsolvedsolve格式 r = dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)說(shuō)明: 對(duì)給定的常微分方程（組）eq1,eq2,中指定的符號(hào)自變量v,與給定的邊界條件和初始條件cond1,cond2,.求符號(hào)解（即解析解）r;若沒(méi)有指定變量v,則缺省變量為t;在微分方程（組）的表達(dá)式eq中,大寫(xiě)字

37、母D表示對(duì)自變量(設(shè)為x)的微分算子:D=d/dx,D2=d2/dx2,。微分算子D后面的字母則表示為因變量,即待求解的未知函數(shù)。, 初始和邊界條件由字符串表示:y(a)=b,Dy(c)=d,D2y(e)=f,等等,分別表示 , , ;若邊界條件少于方程（組）的階數(shù),則返回的結(jié)果r中會(huì)出現(xiàn)任意常數(shù)C1,C2,;dsolve命令最多可以接受12個(gè)輸入?yún)⒘浚òǚ匠探M與定解條件個(gè)數(shù),當(dāng)然我們可以做到輸入的方程個(gè)數(shù)多于12個(gè),只要將多個(gè)方程置于一字符串內(nèi)即可）。若沒(méi)有給定輸出參量,則在命令窗口顯示解列表。若該命令找不到解析解,則返回一警告信息,同時(shí)返回一空的sym對(duì)象。這時(shí),用戶(hù)可以用命令ode23或ode45求解方程組的數(shù)值解。b)x(yaxd)x(ycxf)x(yex 例如,一階方程dy/dx=1+y2的通解為: dsolve( Dy=1+y2 ) % find the general solutionans= -tan(-x+C1)其中,C1C1是積分常數(shù)。求解初值y(0)=1的同一個(gè)方程就可產(chǎn)生: dsolve( Dy=1+y2 , y(0)=1 ) % add an initial conditiony=tan(x+1