2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算3

1、第3課時指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算（3）導(dǎo)入新課思路1.同學(xué)們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù),這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理數(shù)指數(shù)幕呢？回顧數(shù)的擴(kuò)充過程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）,有理數(shù)到實(shí)數(shù)并且知道,在有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過程 中，增添的數(shù)是一一實(shí)數(shù)對無理數(shù)指數(shù)幕，也是這樣擴(kuò)充而來既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi) 容是:教師板書本堂課的課題（指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算（3）之無理數(shù)指數(shù)幕思路2.同學(xué)們，在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識，對函數(shù)有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數(shù) 的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾

2、種簡單的函數(shù)，如一次函數(shù)、二 次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足我們的需要，隨著科學(xué)的發(fā)展，社會的進(jìn)步，我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的知識，我們 必須學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，為此，我們必須把指數(shù)幕從有理數(shù)指數(shù)幕擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)幕 因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí)：指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算（3）之無理數(shù)指數(shù)幕，教師板書本堂課的課題 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 我們知道'2 =1.414 213 56，那么1.41,1.414,1.4142,1.414 21,，是：2的什么近似值？而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,，是. 2 的

3、什么近似值？ 多媒體顯示以下圖表：同學(xué)們從上面的兩個表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律?J2的過剩近似值55八的近似值1.511.180339891.429.829353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.7381775225 4的近似值J2的不足近似值9.518 269 6941.49.672 669 9731.419.735 171 0391.4149.738 305 1741.414 2

4、9.738 461 9071.414 2139.738 508 9281.414 2139.738 516 7651.414 213 59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562 你能給上述思想起個名字嗎 ？ 一個正數(shù)的無理數(shù)次幕到底是一個什么性質(zhì)的數(shù)呢？如5“,根據(jù)你學(xué)過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？ 借助上面的結(jié)論你能說出一般性的結(jié)論嗎 ？活動：教師引導(dǎo),學(xué)生回憶,教師提問，學(xué)生回答，積極交流，及時評價學(xué)生，學(xué)生有困惑時加以解 釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容：問題從近似值的分類來考慮，一方面從大于. 2的方向，另一方面從小于 2的

5、方向問題對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián)問題上述方法實(shí)際上是無限接近，最后是逼近問題對問題給予大膽猜測，從數(shù)軸的觀點(diǎn)加以解釋問題在的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般討論結(jié)果： 1.41,1.414,1.4142,1.414 21,這些數(shù)都小于-2，稱】2的不足近似值，而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,這些數(shù)都大于-2 ,稱 2的過剩近似值 第一個表：從大于 2的方向逼近 2時,5 '就從51,5,51,42 ,51,415,5九4143 ,5141422，,即大于52的方向逼近5 2 第二個表：從小于2的方向逼近.2時,5 2

6、就從214 2,5 =414 21,即小于5 2的方向逼近5 2 從另一角度來看這個問題，在數(shù)軸上近似地表示這些點(diǎn)，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面 5 2從2,5=414 21,即小于 5 2的方向接近 5 2 ,而另一方面 5 2從515,5142,51415,514143 Q1"1422，,即大于5 2的方向接近5 2,可以說從兩個方向無限地接近 5 2,即逼近5 2,所以5 2是一串有理數(shù)指數(shù)幕 51.4,51.41,51.414,5 1.414 2,51.414 21,，和另 一串有理數(shù)指數(shù)幕 51.5,5142,51415 ,51.4143 ,51.41422 ,按上述變化規(guī)律變化

7、的結(jié)果，事實(shí)上表示 這些數(shù)的點(diǎn)從兩個方向向表示 5 的點(diǎn)靠近，但這個點(diǎn)一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是 5 2 一定是一個實(shí)數(shù)，即 51.4<5 1.41<5 1.414<5 1.414 2<5 =414 21< <52 < <5 1422 <5 1.4143 <51.415<5 叫5 込2充分表明5 是一個實(shí)數(shù). 逼近思想，事實(shí)上里面含有極限的思想，這是以后要學(xué)的知識 根據(jù)我們可以推斷5 2是一個實(shí)數(shù)，猜測一個正數(shù)的無理數(shù)次幕是一個實(shí)數(shù) 無理數(shù)指數(shù)幕的意義：一般地，無理數(shù)指數(shù)幕aa （a>0, a是無理數(shù)）是一個確定

8、的實(shí)數(shù).也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個實(shí)數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在 數(shù)的擴(kuò)充過程中，我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)幕的意義，知道它是一個確定的實(shí)數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)幕，那么，指數(shù)幕就從有理數(shù)指數(shù)幕擴(kuò)充到實(shí) 數(shù)指數(shù)幕 提出問題（1 ）為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)幕的意義時，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？（2） 無理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則是怎樣的？是否與有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則相通呢？（3）你能給出實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則嗎 ？活動：教師組織學(xué)生互助合作，交流探討，引導(dǎo)他們用反例說明問題，注意類比，歸納對問題（1）回顧我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義時對底數(shù)的規(guī)定，舉例說明對問題（

9、2 ）結(jié)合有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則 ，既然無理數(shù)指數(shù)幕 a a （a>0, a是無理數(shù)）是一個 確定的實(shí)數(shù)，那么無理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則類似，并且相通對問題(3)有了有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則和無理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則自然就得到了 討論結(jié)果：(1)底數(shù)大于零的必要性，若a=-1,那么a “是+1還是-1就無法確定了，這樣就造 成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無理數(shù)指數(shù)幕aa是一個確定的實(shí)數(shù)，就不會再造成混亂.(2 )因?yàn)闊o理數(shù)指數(shù)幕是一個確定的實(shí)數(shù)，所以能進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算，也能進(jìn)行幕的運(yùn)算，有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)幕類比有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算

10、性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則： ar as=a r+s (a>O，r，s 都是無理數(shù)). (ar)s=a rs(a>0，r，s 都是無理數(shù)). (a b) r=a rbr(a>O，b>O，r 是無理數(shù)).(3)指數(shù)幕擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數(shù)指數(shù)幕實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：對任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)： ar as=a r+s (a>0，r，s R). (ar)s=a rs(a>0，r，s R). (a b) r=a rbr(a>0，b>0，r R).應(yīng)用示例思路1例1利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算.(精確到0.001 )3_

11、(1 ) 0.3 2七(2) 3.14 -3; ( 3) 3.1 4 ; ( 4) 3：活動：教師教會學(xué)生利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算，熟悉計(jì)算器的各鍵的功能，正確輸入各類數(shù)，算出數(shù) 值，對于(1 )，可先按底數(shù)0.3,再按鍵，再按幕指數(shù)2.1,最后按，即可求得它的值；對于(2)，先按底數(shù)3.14,再按LJ鍵，再按負(fù)號丨一鍵,再按3,最后按|一即可；對于(3),先按底數(shù)3.1,再按鍵再按3一4,最后按 即可；對于(4)，這種無理指數(shù)幕，可先按底數(shù)3,其次按IF鍵，再按鍵，再按3,最后按冋|鍵.有時也可按空生或土厠鍵,使用鍵上面的功能去運(yùn)算.學(xué)生可以相互交流，挖掘計(jì)算器的用途.答案：(1) 0.3 2.1

12、 0.080; (2) 3.14-3 0.032;3(3 ) 3.1 4 2.336; (4) 3 3 P.705.點(diǎn)評：熟練掌握用計(jì)算器計(jì)算幕的值的方法與步驟，感受現(xiàn)代技術(shù)的威力，逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會；用四舍五入法求近似值 ，若保留小數(shù)點(diǎn)后n位,只需看第(n+1 )位能否進(jìn)位即 可.例2求值或化簡.(1) .a 4b23 ab2 (a>0,b>0)；12(*"4ab 1)(2) ( -) 2? (a>0,b>0);(0.1) 2(a3b 3)2.5 2、67 4/3； 6 4 2.活動：學(xué)生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，若不能化為常數(shù)

13、則應(yīng)使所化式子 達(dá)到最簡，對既有分?jǐn)?shù)指數(shù)幕又有根式的式子，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，便于運(yùn)算，教師有針對性地提示引導(dǎo)，對(1)由里向外把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，要緊扣分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義和運(yùn)算性質(zhì)，對(2)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)幕又有根式，應(yīng)當(dāng)統(tǒng)一起來，化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，對(3)有多重 根號的式子，應(yīng)先去根號，這里是二次根式，被開方數(shù)應(yīng)湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成 421211111424Va4b2V0=a2b2(a3b3)=a-2bab3=a 珂匯其.6 11. a( 3 )2+(2 )2,22+( 3 )2,22+( . 2 )2,并對學(xué)生作及時的評價，注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律.解: (1)點(diǎn)

14、評：根式的運(yùn)算常?；赡坏倪\(yùn)算進(jìn)行，計(jì)算結(jié)果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示1(4)1( 4ab 1 )3(0.1) 2(a3b3)242 ?42102a 2 a 2b44=a°b°=2525點(diǎn)評：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負(fù)指數(shù)幕的定義把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù)，另個方法是采用分式的基本性質(zhì)把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù)2.67 <3.6 4、2=.(.32)2(2,3)2(2、2)2=-、2 +2- -：.；3 -2+ - 2=0.點(diǎn)評：考慮根號里面的數(shù)是一個完全平方數(shù)，千萬注意方根的性質(zhì)的運(yùn)用1 1 例 3 已知 x= 1 (5 n -5 n),n N *,求(x+

15、1 x2 )n 的值.21 1活動：學(xué)生思考，觀察題目的特點(diǎn)，從整體上看，應(yīng)先化簡，然后再求值，要有預(yù)見性，5下與5 °具有對稱性，它們的積是常數(shù)1,為我們解題提供了思路，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路，必要時給予提示.x2=!(5-54n)2=l(5；-2450+51 £=(5 n +2+542n 八-4)11 -n _=(5+541h2-1.這時應(yīng)看到1+x 2=1+ (n -5 n)2= 1 (5 n +5441)2,這樣先算出1+x 2,再算出1 x2，帶入即可.11 -解：將 x= (5n-52iiii- 1 - - 1 -n)代入 1+x 2，得 1+x 2=1+

16、-1 (5 n -5 n)2=丄(5 n +5441n n12 1所以(x+ .1 x )n= (5 n -521 1 1 1»4(5n 5n)2 : n1=-(5 n -52n)+1(5+521 1n) n=(5 n )n=5.點(diǎn)評：運(yùn)用整體思想和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵，要深刻理解這種做法思路2(2)1253+(1)-2+3432例1計(jì)算:.61V 414 0.06253-()27(5 )01 1 1 2(-2x 4y 3)(3x 2y3)；1 1 1 1(x 2 -y 2 )+(x 4 -y 4).活動：學(xué)生觀察、思考，根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)，利用幕的運(yùn)算性質(zhì)解題,另外要注意整體

17、的意識教師有針對性的提示引導(dǎo)，對(1)根式的運(yùn)算常?；赡坏倪\(yùn)算進(jìn)行，對(2)充分利用指數(shù)幕的運(yùn)算法則來進(jìn)行，對(3)則要根據(jù)單項(xiàng)式乘法和幕的運(yùn)算法則進(jìn)行，對(4)要利用平方差公式先因式分解，并對學(xué)生作及時的評價解：4 0.0625(5 )014 +1-1 125 227 3=()2 +() 3+(0.062 5)485 2 13 3 34 41=()2 X- +() 3+(0.5)4+ -2 2 2 2531=+0.5+ 222=5；2 1 111-(2) 125 3 +()-2+343 3-() 32272 1 1=(5 3) 3 +(2 -1 )-2+(7 3) 3 -(3 -3) 33

18、 -3 -3 ( 1)=53 +2 -2 x(-1) +73 -33=25+4+7-3=33;1 11 2 11 12(3) (-2x 4y 3)(3x 2y3)=(-2 X3)(x4x° y1 11 23 1=6x4 2 ? y 3 3=-6x 4y3=6vx3 Vy;1 1 1 1 1 1 1 1(4) (x 2-y 2)(x7-y 4 )=(x 4 )2-(y 4 )2)(x-y 4 )1111 1 1=(x 4+y 4)(x4-y 4)(x4-y 4)1 1=x 4 +y 4 .點(diǎn)評：在指數(shù)運(yùn)算中，一定要注意運(yùn)算順序和靈活運(yùn)用乘法公式x2例2化簡下列各式2 x (1)(2)(

19、a 3+a -3)(a3-a-3) -：(a4+a-4+1)(a-a -1):活動：學(xué)生觀察式子的特點(diǎn)，特別是指數(shù)的特點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮題目的思路，這兩題要注意2分解因式，特別是立方和和立方差公式的應(yīng)用，對有困難的學(xué)生及時提示：對(1)考查x2與x3的關(guān)系可知(x=2，立方關(guān)系就出來了，公式便可運(yùn)用，對(2)先利用平方差，再利用幕的乘方轉(zhuǎn)化為立方差，再分解因式，組織學(xué)生討論交流解：(1)原式=2X232y23X- -2 一3y2 一 3X2424=x 3 (xy) 3 y 3424x 3 (xy) 3y 32(xy)23 xyxy(2)原式=:(a3)2-(a-3)2十(a4+a-4+1)(

20、a-a -1):4(a點(diǎn)評:2、22、2(a ) (a )=(a2 a2)(a4a4 1)_a 4 1)(a a 1) =注意立方和立方差公式在分?jǐn)?shù)指數(shù)幕當(dāng)中的應(yīng)用a2/ 1 2(a )1T =a+a -1a a，因?yàn)槎?xiàng)和、差公式，平方差公式一3 1般在使用中一目了然，而對立方和立方差公式卻一般不易觀察到,a"=(a ")3還容易看出，對其1中夾雜的數(shù)字m可以化為'=m,需認(rèn)真對待，要在做題中不斷地提高靈活運(yùn)用這些公式的能力 知能訓(xùn)練 課本P59習(xí)題2.1A組 3.利用投影儀投射下列補(bǔ)充練習(xí)11.化簡:(1+232 )(1+2116 )(1+218 )(1+21

21、14 )(1+22 )的結(jié)果是代丄(1-2 32 )-12B.(1-2132 )-11C.1-2 32132D(1-232 )2分析:根據(jù)本題的特點(diǎn)，注意到它的整體性,特別是指數(shù)的規(guī)律性，我們可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?因?yàn)?1+232 )(1-2132 )=1-21兀，所以原式的分子分母同乘以(1-2依次類推，所以-12 2 )(112 3212 巧 1 2 1132 1=廠=；(1-2)-1.12五答案：A2.計(jì)算(2 -)°.5+0.19-2+(21027 )23-3n0+9-0.5+49 5 X2-4.125 -解：原式=()2+100+(27 )3 -3+4964121392 X

22、= +100+-3+16 51617+ =100.3163.計(jì)算 a 2 a 1 a 2 a 1 (a >1).解:原式=.(a 11)2( a 11)2a 1 1 |.a 11|(a >1).本題可以繼續(xù)向下做，去掉絕對值，作為思考留作課下練習(xí)1 1 1 4.設(shè) a>0，x= - (a n -a n)，則(x+ . 1 x2 )n 的值為21n)2.分析:從整體上看，應(yīng)先化簡，然后再求值,這時應(yīng)看到 解:1+x2=1+ l(an-a n)2=l(aa44這樣先算出1+x 2,再算出,1 x2將 x= !(an-a 芻代入 1+x 2，得 1+x 2=1 +21 (a41n-

23、an)2=l(an+a41n)2.所以（X+ - 1X2 )n =n)+i(an+a411 -丄(a n -a211n)+ 丄(a n +a217)n=a.答案：a拓展提升參照我們說明無理數(shù)指數(shù)幕的意義的過程，請你說明無理數(shù)指數(shù)幕 2 3的意義.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧無理數(shù)指數(shù)幕5 2的意義的過程，利用計(jì)算器計(jì)算出 3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據(jù)這些近似值計(jì)算 2 3的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出” 2 3的意義，學(xué)生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結(jié)果解：3=1.73205080,取它的過剩近似值和不足近似值如下表J3的過剩近似值2 "的過剩近似值

24、J3的不足近似值2的不足近似值1.83.4822022531.73.2490095851.743.3403516781.733.3172781831.7333.3241834461.7313.3195783421.73213.322110361.73193.3216498491.732063.3220182521.732043.32197221.7320153.3219975291.7320493.3219929231.73205093.3219972981.73205073.3219968381.732050813.3219970191.732050793.321997045我們把用2作底數(shù)八3的不足近似值作指數(shù)的各個幕排成從小到大的一列數(shù)2=7 2=72 2=731 2=7319.同樣把用2作底數(shù)，73的過剩近似值作指數(shù)的各個幕排成從大到小的一列數(shù)：21.8