A5-3定積分的換元法和分部積分法ppt課件

1、5.3 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法0 定積分的換元法定積分的換元法0 定積分分部積分法定積分分部積分法第五章第五章 定積分定積分定理定理 假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（2 2）函函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)；（3 3）當）當t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時，上變化時，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .一、換元公式證證設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dt

2、dxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù).a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 當當 時時，換換元元公公式式仍仍成成立立.應用換元公式時應注意應用換元公式時應注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù))(t 后后，不不必必象象計計算算不不定定積積分分那那樣樣再再要要把把)(t 變變換換成成原原變變量量x的的函函數(shù)數(shù)，而而只只要要把把新新變變量量t的的上上、下下限限分分別別代代

3、入入)(t 然然后后相相減減就就行行了了.（2）用用)(tx 把把變變量量x換換成成新新變變量量t時時，積積分分限限也也相相應應的的改改變變.例例1 1 計算計算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 例例2 2 計算計算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxd

4、x 2025sin52 x 225sin52x.54 例例3 3 計算計算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 例例4 4 計算計算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 例例 5

5、5 當當)(xf在在,aa 上上連連續(xù)續(xù)，且且有有 )(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則 aadxxf0)(.證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計算計算解解.11cos

6、21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積例例 7 7 若若)(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，證證明明（1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由由此此計計算算 02cos1sindxxxx.證證（1設(shè)設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos2

7、0 dxxf（2設(shè)設(shè)tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf幾個特殊積分、定積分的幾個等式幾個特殊積分、定積分的幾個等式定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(二、小結(jié)思考題思考題

8、指出求指出求 2221xxdx的解法中的錯誤，并寫出正確的解法中的錯誤，并寫出正確的解法的解法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考題解答思考題解答計算中第二步是錯誤的計算中第二步是錯誤的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正確解法是正確解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 一、一、 填空題：填空題：1 1、 3)3sin(dxx_；2 2、 03)sin1(d_；3 3

9、、 2022dxx_ _；4 4、 2121221)(arcsindxxx_；5、 55242312sindxxxxx_ .練練 習習 題題二、二、 計算下列定積分：計算下列定積分：1 1、 203cossin d； 2 2、 31221xxdx；3 3、 14311xdx； 4 4、 223coscosdxxx；5 5、 02cos1dxx； 6 6、 224cos4 dx；7 7、 112322)11(dxxxxx；8 8、 203,maxdxxx；9 9、 20dxxx （為參數(shù)為參數(shù) ）. .三、三、 設(shè)設(shè) 時時，當當時時，當當0,110,11)(xexxxfx求求 20)1(dxxf

10、. .四、設(shè)四、設(shè) baxf,)(在在上連續(xù)，上連續(xù)， 證明證明 babadxxbafdxxf)()(. .五、五、 證明：證明： 1010)1()1(dxxxdxxxmnnm. .六、證明：六、證明： aaadxxfxfdxxf0)()()(, , 并求并求 44sin1xdx. .七、設(shè)七、設(shè) 1,0)(在在xf上連續(xù)，上連續(xù)， 證明證明 2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.練習題答案練習題答案一、一、1 1、0 0； 2 2、34 ； 3 3、2 ； 4 4、323 ； 5 5、0 0. .二、二、1 1、41； 2 2、3322 ； 3 3、2ln21 ； 4 4、34；

11、 5 5、22； 6 6、 23； 7 7、4 ； 8 8、8 ； 9 9、417； 10 10、時時當當0 , , 238 ； 當當20 時時, , 32383 ； 當當2 時時, , 238 . .三、三、 )1ln(11 e. .六、六、 2 2. . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu、)(xv在區(qū)間在區(qū)間 ba,上具有連續(xù)上具有連續(xù)導數(shù)，則有導數(shù)，則有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導推導 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv二、分部積分公式例例1 1 計算計算.arcsin

12、210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 那么那么例例2 2 計算計算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例3 3 計算計算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( x

13、x 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例例4 4 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因因為為ttsin沒沒有有初初等等形形式式的的原原函函數(shù)數(shù)，無無法法直直接接求求出出)(xf，所所以以采采用用分分部部積積分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21

14、dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf例例5 5 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設(shè)設(shè),sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cosxv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1

15、(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標的遞推公式關(guān)于下標的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標減到直到下標減到0或或1為止為止,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是思考與練習思考與練習1.提示提示: 令令, txu_d)(sindd0100ttxxx那么ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin2. 設(shè)設(shè),0) 1 (,)(1fCtf

16、,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 對已知等式兩邊求導,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)()(1fuufefeeuu1131d31考慮考慮: 若改題為xttfxlnd)(313?)(ef提示提示: 兩邊求導兩邊求導, 得得331)(xxfexxfef1d)()(得3. 設(shè)設(shè), 1 ,0)(連續(xù)在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(2

17、1xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部積分分部積分)4. 證明證明 證：2dsin)(xxxxxf是以 為周期的函數(shù).2dsin)(xxuuxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以 為周期的周期函數(shù).解：解：5.右端,)(上有連續(xù)的二階導數(shù)在設(shè)baxf)(af且試證 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)(baxfbxax)(d)(21abxfbxax)()(21xbaxxfbad)2)(21分部積分積分)(d)2(21xfbaxba再次分部積分xxfbad)(abxfbax)()2(21= 左端,0)(bf一、一、

18、 填空題：填空題：1 1、設(shè)、設(shè) n n 為正奇數(shù)，則為正奇數(shù)，則 20sin xdxn_；2 2、設(shè)、設(shè) n n 為正偶數(shù)，則為正偶數(shù)，則 20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arctan xdxx_ .二、二、 計算下列定積分：計算下列定積分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；練練 習習 題題3 3、 0sin)(xdxxmJm， （m為為自自然然數(shù)數(shù)）4 4、 01)1cos(sinxdxnxn. .三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在x