偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)胡ppt課件

1、偏導(dǎo)數(shù)與高偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù)),(),(,),(),(),(),(limlim),(),(,) 1 (0000),(),(0000000000000000000yxfyxzxzxfxyxyxfxyxfyxxfxfyxfyxxffxxxyyxxyxyxxxxx常記為：的偏導(dǎo)數(shù)，處對在點(diǎn)則稱此極限為若極限的偏增量為：則對取而令1. 概念概念定義定義4ffDPNDyxyxfz),(,),(),(0且設(shè)的偏增量為：則對取而令000,)2(yyyxx的偏導(dǎo)數(shù)，處對在點(diǎn)則稱此極限為若極限yyxyxfyyxfyyxfyfyyy),(),(),(),(limlim00000000),(),(,0000

2、),(),(0000yxfyxzyzyfyyyxyx常記為：的偏導(dǎo)函數(shù)存在對偏導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)的處對內(nèi)每一點(diǎn)在如果xxyxPDyxfzf),(),()3(),(),(yxzyxfxfxzxx且記為：),(),(yxzyxfyfyzyyy的偏導(dǎo)函數(shù)記為：同理，函數(shù)對:) 1 ( 定義中注：的導(dǎo)數(shù)；求為常數(shù)時，就是視求對xyyxfyxfx,),(),(的導(dǎo)數(shù)；求為常數(shù)時，就是視求對yxyxfyxfy,),(),(數(shù)；算法則也適合于多元函一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn))2(以拆開單獨(dú)運(yùn)算。一樣可、不能象、是一個整體，即dxdyxzxz)3(xz y0 ),( yxfz Mxz xyxfyxxfx ),(),

3、(lim00000 Mxz 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：z= f (x,y) 0),(yyyxfzL：L得得曲曲線線= tan3. 3. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義.y =y0)( y,x? Myz同理，同理，.MTx固定固定 y =y0復(fù)習(xí)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)M ),( yxfz Myz yy,xfyy,xfy )()(lim z= f (x,y)L)( y,xx =x0固定固定 x =x0Tx3. 3. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義.xz y0M ),( yxfz Myz yy,xfyy,xfy )()(lim Myz 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾

4、何意義：z= f (x,y) xxy,xfz)(L得得曲曲線線= tan.)( y,xx =x0固定固定 x =x0Tx Ty3. 3. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義.xz y0)(),(),(:),(000見圖相交而成的曲線與曲面表示空間中平面表示一個平面，故一張曲面，而的圖形在空間里表示為因?yàn)閥xfzyyyyyxfzyyyxfzxxzy),(000yxM0y0 xtan),(),(),(),(),(),(),(),(),(00000000000000000yxfxTMzyxyyyxfzyxfyxfxyxfzyxfzxyxyxfzxxxxxxx軸的斜率，即：關(guān)于處切線上在點(diǎn)：曲線何意義，

5、由一元函數(shù)的幾的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)一元函數(shù)就是的偏導(dǎo)數(shù)處對在點(diǎn)而函數(shù)tan),(),(,(),(),(0000000000yxfyTMyxfyxxxyxfzyxfyyyy軸的斜率，即：關(guān)于切線處上在點(diǎn)：曲線同理：切xT),(tan00yxfxxy切yT),(tan00yxfy?),(),(),(),(),(),(00000000點(diǎn)連續(xù)在都存在和點(diǎn)在是否yxyxfzyxfyxfyxyxfzyx一元函數(shù)有：一元函數(shù)有：點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)可導(dǎo)在00)()(xxfyxxfy那么二元函數(shù)：那么二元函數(shù)：例例1連續(xù)性與可偏導(dǎo)性。點(diǎn)的在討論設(shè))0 , 0(),(,)0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22yxfyx

6、yxyxxyyxfz點(diǎn)不連續(xù)在，即)0,0(),(lim),(lim220000yxfyxxyyxfyxyx 00lim)0,0()0,0(lim)0,0(00 xxfxffxxx但00lim)0,0()0,0(lim)0,0(00yyfyffyyy而的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在。在故)0,0(),(yxf215/22/11)1 (limlim22220220kkkkxkkxyxxyxkxyx解：例例2。點(diǎn)的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性在討論)0 , 0(|),(yxyxf)0 ,0(0|lim0)0 ,0()1 (00fyxfyx且解：?),(),(),(),(),(),(00000000都存在和點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)在是否

7、yxfyxfyxyxfzyxyxfzyx點(diǎn)連續(xù)；在)0 , 0(|),(yxyxf xxxfxffxxx|lim)0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0()2(00 yyyfyffyyy|lim)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(00都不存在。、)0,0()0,0(yxff可偏導(dǎo)在連續(xù)在論：由以上兩例可得如下結(jié)),(),(),(),(0000yxyxfyxyxf 例例3)1 ,0()1 ,0()1ln(1arctan),(22222yxffxxyyxyyxfz和求：設(shè)更難、更繁！類似可求得：法),(110) 1 , 0(111)(2) 1(),(12222222222yxffx

8、yyxyyxxyyxfyxx例例3)1 ,0()1 ,0()1ln(1arctan),(22222yxffxxyyxyyxfz和求：設(shè)212) 1 , 0(11/2), 0()11arctan(), 0(1) 1 , 0(11) 1 ,()1ln() 1 ,(22223222yyxxfyyyyfyyffxxfxxxf同理：法 例例4) 1 , 2() 1 , 2(2),(3223yxffyyxxyxf和求：設(shè)1914413)1 ,2(43),(2012443)1 ,2(43),(12222yyxxfyxyyxffxyxyxf：解：法19| )316()1 ,2(316),2(88),2(20|

9、 )43()1 ,2(43)1 ,(12)1 ,(21223222223yyyxxxyyfyyyfyyyfxxfxxxfxxxf而：法例例5yzxzyxyxfz,2sin),(求：設(shè)yxyxyxyzyyxxzyyx2cos2)2(sin)2sin(2sin)2sin(解：例例6yzxzxxzy,) 1, 0(求：設(shè))ln()(?xxxxzyxy解：1yyx)()(1?yyyyxxyzxxyln由二元偏導(dǎo)類似可以推廣定義三元以上的多元偏導(dǎo)：如由二元偏導(dǎo)類似可以推廣定義三元以上的多元偏導(dǎo)：如zuyuxuuuuzyxfuzyx、或、的),(例例61,222222zryrxrzyxr證明：設(shè)右邊左邊由

10、對稱性解：1,)(2222222222222rzyxrzryrxrzzrryyrrxzyxxzyxxrx的二階偏導(dǎo)數(shù)。，則稱它們是個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在的二元函數(shù)。如果這兩、一般都是的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)),(),(),(),(yxfzyxyxfzyxfzyxfzyyxx),();,();,();,(222222yxfzxyzyzxyxfzyxzxzyyxfzyzyzyyxfzxzxzxyxyxxyxyyyyyxxxx 按照對自變量求導(dǎo)次序的不同，有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：按照對自變量求導(dǎo)次序的不同，有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：其中第二行的兩個偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)。其中第二行的兩個偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)。同理可以定義

11、二階以上的偏導(dǎo)數(shù)：同理可以定義二階以上的偏導(dǎo)數(shù)：22232233xzyzyxzxzxzxzxxyxxx二階及二階以上的二階及二階以上的 偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為 高階偏導(dǎo)數(shù)。高階偏導(dǎo)數(shù)。例例7求它的四個二階偏導(dǎo)數(shù)設(shè),sin yxezxyxezyexzxyxxcos,sin) 1(解：yxezyexzxyyxxxsin,sin)2(yexzyexzxyxxxycos) 1(,cos) 1(定理：事實(shí)上，可以證明下述數(shù)相等這并非偶然。在該例中兩個混合偏導(dǎo)定理定理合偏導(dǎo)數(shù)必相等。該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混內(nèi)連續(xù)，則在在區(qū)域、的二階混合偏導(dǎo)數(shù)若Dzzyxfzyxxy),(xyzuyxzuxzyuzxyuyzxuzyxuzyxfu333333),(，則有的三階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)例如：若結(jié)論?；旌掀珜?dǎo)數(shù)也有同樣的階的更多元的函數(shù)以及更高的先后次序無關(guān)。對于求導(dǎo)合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則它與這就是說，如果二階混例例80/1222zzyyxxuuuLaplaceuzyxrru方程：滿足，求證：，設(shè)32211rxrxrxrrxu證：52222522223,3rzrzuryryu由對稱性知：5225234322331