第一章集合與函數(shù)的概念(一)

1、第一章集合與函數(shù)的概念第一節(jié)集合（1） 集合的概念：集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對象匯合在一起，使之成為一個整體（或稱為單體），這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這 一集合的元素（或簡稱為元）。（2） 集合的表示方法：1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在打括號內(nèi)表示集合的方法 叫做列舉法2、描述法：一般形式為x I p （x） ,豎線前面的x表示集合中元素的一 般形式，叫代表元素，豎線后的 p （x）表示集合元素 x的公共屬性。在不 引起混淆的情況下，為了簡便，有些集合用描述法表示時，可省去豎線及 左邊的部分，例如由所有圓組成的集合，可表示為圓3、圖示法（

2、也叫 Venn圖法）：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或 者說圓圈），用它的內(nèi)部表示一個集合說明：（1）由列舉法可以看清集合的元素，由描述法可以看清集合的特征（2）列舉法和描述法中的“ ”都有“全體” “集合”的含義，因而，全體整 數(shù)中的“全體”二字重復(fù)，應(yīng)為整數(shù)（三）元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。一般的，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu) 成的集合（或集）。構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素（或成員）。（四）集合的三要素1、確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能 成為集合。例如 個子高

3、的同學(xué)”很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。2、互異性：也就是說，在一個集合中不會重復(fù)出現(xiàn)相同的元素。例如集合a,b,b,c,d,d的寫法是錯誤的，應(yīng)為 a,b,c,d3、無序性：也就是說集合中的元素是沒有順序的，可以任意列出。例如：1 , 3, 2, 1 , 2, 3, 3, 1, 2等（五）集合的分類：1、并集： 以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合成為A與B的并（集）， 記作“AUB”2、交集： 以屬于A且屬于B的元素為元素的集合成為A與B的交（集）， 記作“ A AB”。3、補集： 對于一個集合A,由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為A相對于U的補集，記作“ CuA. ”注:空集屬于任何集合

4、，但它不屬于任何元素.（六）“且”和“或”兩個字的含義1、 “且”的含義：通常理解為“既”、“同時”，例如 AAB,即由A與B的 公共元素組成2、“或”的三層含義：例如 AUB, （1）屬于A的，不屬于B的：（2）屬于B的，不屬于A的：（3）既屬于A又屬于B的（七）子集與真子集1、子集：對于兩個非空集合 A與B ,如果集合A的任何一個元素都是集合B的型L我們就說 A ? B（讀作A包含于B）,或B ? A（讀作B包含A）,稱集合A是集合B的子集。規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 .空集的子集是它本身2、真子集：如果A ? B,而集合B中至少有一個元素不屬于集合A,則稱集合A是

5、集合B的真子集。任何一個集合是它本身的子集.（八）怎樣求含有n個元素的集合的子集、真子集、非空子集與非空真子集的 個數(shù)？1、子集個數(shù)：2的n次方個2、真子集個數(shù)：2的n次方減1個3、非空子集個數(shù)：2的n次方減1個4、非空真子集：2的n次方減2個（九）德摩根律1 .Cu （A n B）= （CuA） U （CuB）2 .Cu（A UB）= （CuA） n （CuB）第二節(jié)函數(shù)及其表示一、函數(shù)的表示方法1、列表法：利用表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系的方法列表法有兩個意義， 第一，在已知函數(shù)部分性質(zhì)的情況下，通過表中的數(shù)據(jù)比較函數(shù)的增減性；第二，通過數(shù)據(jù)進行函數(shù)的擬和或者求函數(shù)，一般來說，列表只能看到

6、函數(shù)的部分情況，而且不能判斷函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)然，在知道函數(shù)是什么函數(shù)的情況下，列表可以助于求出函數(shù)解析式或者是做出函數(shù)的圖像，列表法是對函數(shù)本身損失最大的，因為它丟失了大量的信息，但既然給出的數(shù)據(jù)列表法也是十分準確的；2、圖像法：利用圖像來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系的方法圖像法是最直觀的， 但是也是相對最不準確的， 對于連續(xù)的函數(shù)， 可以通過圖像看出增 減性、零點、頂點、對稱軸的大概位置（就是坐標(biāo)的范圍），但是不能求出其具體位置。所有函數(shù)都有圖像，但并不是所有圖像都有函數(shù)，比如圓的方程，因為函數(shù)要滿足一一對應(yīng)性。 在解決線性問題的時候，準確的函數(shù)圖像可能可以直接讓你看出答案。3、解析法：用數(shù)學(xué)等式表

7、示兩個變量的函數(shù)關(guān)系的方法并不是所有函數(shù)都有解析式，對于類似氣溫隨時間變化的函數(shù)是沒有解析式的，解析式是為了方便進行數(shù)學(xué)研究，當(dāng)然，我們可以通過數(shù)學(xué)手段對一些東西進行簡單的函數(shù)擬和， 從微積分的角度上來看，任何一小段（小到趨于0）的連續(xù)圖像都是線性的二、函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義：設(shè)A, B是非空數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系 f,對于集合A中任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f (x)和它對應(yīng)，那么就稱f: A - B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f (x), xCA,其中x叫做自變量。x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函 數(shù)值，函數(shù)值的集合f (x)

8、I xC A叫做函數(shù)的值域。2、映射的定義：一般地，設(shè) A, B是非空集合，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,對于集合A中任意一個元素，在集合 B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么，這樣的對應(yīng)(包括集合A、B ,以及集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f)叫做集合A 到集合B的映射，記作f: A - B注意：只有“多對一”或“一對一”的對應(yīng)關(guān)系才是映射3、函數(shù)與映射的關(guān)系與區(qū)別：相同點：(1)函數(shù)與映射都是兩個非空集合中元素的對應(yīng)關(guān)系；(2)函數(shù)與映射的對應(yīng)都具有方向性；(3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性；區(qū)別：函數(shù)是一種特殊的映射， 它要求兩個集合中的元素必須是數(shù)，而映射中兩個集合的元素是任意的數(shù)學(xué)對

9、象。注意：有時函數(shù)和映射的對應(yīng)法則可以用含有兩個變量的等式來表示，在函數(shù)中這個式子叫解析式4、兩個函數(shù)相同的判斷：當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時。這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)三、函數(shù)的三要素1、定義域：自變量的取值范圍2、對應(yīng)關(guān)系：自變量與因變量的對應(yīng)關(guān)系式3、值域：因變量的取值范圍四、區(qū)間：區(qū)間是數(shù)集的一種表示形式，因此，區(qū)間的表示形式與集合的表示形式相同。具體如下：1、有限區(qū)間開區(qū)間例如:xa<x<b=(a,b) 閉區(qū)間 例如:xa < x< b=a,b半開半閉區(qū)間 例如:xa<x < b=(a,b x|a <x<b=a,b)b-

10、a成為區(qū)間長有限區(qū)間在數(shù)學(xué)幾何上的意義表現(xiàn)為：一條有限長度的線段。注：這里假設(shè)a<b2、無限區(qū)間 例如： x | a < x = a, +00 ) x | aax = 00 ) x | x < a =(-°°, a x | x<a = ( -°°, a ) x | x R = ( -oo, + oo )無限區(qū)間在數(shù)學(xué)幾何上的意義表現(xiàn)為：一條直線。注：這里假設(shè)a<b五、分段函數(shù)：對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)：分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義 域的并集，

11、值域也是各段函數(shù)值域的并集.六、函數(shù)定義域問題1、抽象函數(shù)的定義域(利用整體思想理解)(1)已知函數(shù)的定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域舉例：已知f (x)的定義域為a,b,求f (g (x)的定義域方法：令aW g (x) W b,解得x的范圍即為所求(2)已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域舉例：已知f (g (x)的定義域為a,b,求f (x)的定義域方法：由f (g (x)中aW x W b,求得g (x)的范圍即f (x)中x的范圍理解方法：可以通過換元思想來理解，設(shè) g (x) =t, t相當(dāng)于f (x)中的x(3)與定義域有關(guān)的參數(shù)范圍問題考查類型：定義域為R,求參數(shù)范圍思想：分類討論，

12、特別是二次項系數(shù)為零的討論，易被忽略2、具體函數(shù)的定義域(就是使解析式有意義的自變量的取值范圍)(1)如果解析式是整式或奇次根式，則定義域為 R(2)如果解析式是分式，則定義域是使分母不為零的實數(shù)的集合(3)如果解析式是偶次根式，則定義域是使根號內(nèi)的式子大于等于零的實數(shù)的 集合(4)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不(5)正切函數(shù)y=tanx的定義域是x I 乂*二分之九+卜兀，k C z(6)如果解析式是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合(即求各部分集合的交集)(7)實際問題中函數(shù)的定義域是使變量都有意義且符合實際的實數(shù)集合七、函數(shù)的解析式問題1、已知函數(shù)f (x)的解析式，求復(fù)合函數(shù)f (g (x)的解析式方法：代入法，將g (x)代替f (x)中的x2、已知復(fù)合函數(shù)f (g (x)的解析式，求函數(shù)f (x)的解析式方法;(1)配湊法：在解析式中湊g (x)這個整體(2)換元法，令g (x) =t,解出x,代入解析式例如：已知 f (1/x) =x/1-x ,求 f(x)解：令 1/x=t,x=1/tx/(1-x)=1/t/(1-1/t)=1/(t-1)f(t)=1/(t-1)f(x)=1/(x-1)(3)待定系數(shù)法：用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)y=kx+b的解析式的一般步驟是：一代：將從已知條件中得到的