高中數(shù)學歸納法的應用__斐波那契級數(shù)素材

1、斐波那契級數(shù)1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,，在這些數(shù)中，從第 3項開始，每一個數(shù)都是它前 面的兩個數(shù)的和，例如，2 1 1, 8 5 3等等，這就是著名的斐波那契級數(shù).斐波那契級數(shù)出現(xiàn)在意大利數(shù)學家斐波那契(Fibonacci , 11741250)在1202年所著的算盤書中.書中是這樣提出問題的：如果每對兔子每月能繁殖一對子兔，而子兔在出生后第二個月就有生殖能力，第三個月就生產一對兔子，以后每個月生產一對，假定每對兔子都是一雌一雄.試問一對兔子一年能繁殖多少對兔子？由這個問題得出的序列就是上面列出的序列1t.出人意料的是，這個序列在許多場合都出現(xiàn).因此，我們需要對

2、它作些探討.序列中的每一個數(shù)叫做斐波那契數(shù).若第n個斐波那契數(shù)記為 匕，則我們有Fo 1, F1 1, F2 2, F3 3, F4 5,.這個序1r列有下面的遞推關系Fn2Fn 1Fn(n0,1,2, L).斐波那契數(shù)的通項公式是4這個公式是法國數(shù)學家比內( Binet )求出的.我們用數(shù)學歸納法證明它.斐波那契級數(shù)的構造法告訴我們， 從第3項開始，它的每一項都是前兩項之和， 并且只 有在給定了開頭的兩項之后， 整個級數(shù)才能確定. 所以在使用數(shù)學歸納法證明公式時， 需 要對數(shù)學歸納法的基本程序作變動：(1)公式對n 01，n 1這兩種情況都正確；(2)假定公式對一切 k n都成立，證明它對

3、k n也正確.證明：(1)為了下面的證明，我們需要算出1 2.5 5151 42類似地,(2)當 n 0時，F(xiàn)01_ 1 一5：5211 .5 11 .5 15522501 011 ；521 .(3)當 n 1 時，F(xiàn)1-2_ 2_1_ 1515.5 1二5225這就證明了當n0和n 1時公式是正確的.(4)設n是任意自然數(shù)，并假定公式 據(jù)斐波那契數(shù)的定義，我們有Fn Fn 2 Fn 1_ n 1_ n 11_ 1 - 51 - 5：52_ n 1_, n11 .51.5,522115n; 1 .5再 22由，得F 11.5 n1 15 2n 522一n 1一 n 11151 5522原命題得證.斐波那契數(shù)是大自然的一個基本模式，對一切k n都成立，證明它對 k n正確.根11.5 n 1 .51522_ n 1_,n1、51.52215 n1 1 1 -5221 .5 n1 1 .5 22 2它出現(xiàn)在許多場合.在花的花瓣中存在斐波那契模式.幾乎所有的花，其花瓣都是斐波那契數(shù).例如百合花的花瓣有3瓣；梅花有5瓣；許多翠雀屬植物有8瓣；萬壽菊的花有13瓣；紫苑