數(shù)字信號處理課件-第二章..

1、第二章 離散時間信號與系統(tǒng)的z域分析中北大學信息與通信工程學院 信號課程建設組主講：李沅中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換2/74第二章 z變換與序列傅立葉變換 引言2-1 z變換的定義及收斂域2-2 z反變換2-3 z變換的基本性質(zhì)和定理2-4 z變換與拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系2-5 序列傅立葉變換及性質(zhì)2-6 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換3/74引言引言 信號與系統(tǒng)的分析方法有時域、變換域兩種。一.時域分析法 1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號的時域運算、時域分解、微分方程求解、卷積積分。

2、 2.離散時間信號與系統(tǒng)： 序列的變換與運算、卷積和、差分方程 的求解。中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換4/74二.變換域分析法 1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號與系統(tǒng)的頻域分析、復頻域分析。 2.離散時間信號與系統(tǒng)： z變換 序列傅立葉變換（DTFT） 離散傅立葉變換DFT(FFT)。 z域分析、頻域分析。中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換5/74一、z變換定義 2-2-1 1 z變換的定義及收斂域變換的定義及收斂域nnznxzX)()( z變換式變換式 記作( ) ( )X zx n Z中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信

3、號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換6/74二.收斂域 1.定義: 使序列 的z變換所定義的冪級數(shù) 收斂的所有z值的集合稱作 的收斂域。2.收斂條件： 收斂的充要條件是絕對可和絕對可和。Mznxnn)(即：( )x n( )X z( )nnx n z( )X z中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換7/74zz為使上式成立，就須確定 取值的范圍，即收斂域。由于 為復數(shù)的模，則可以想象出收斂域為一圓環(huán)狀區(qū)域，即RzR圖2.1.1 環(huán)狀收斂域jIm（z）Re（z）RR0RRRRz)(zXz其中， ， 稱為收斂半徑， 可以小到0，而 可以大到 。式（2.1.4）的

4、平面表示如圖2.1.1所示。因為 是復變量的函數(shù)，所以我們用復數(shù) 平面來表示。中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換8/74常見的一類 變換是有理函數(shù)，即z()()()BzXzA z0)(zXz)(zX)(zXz)(zXz)(zX使 的那些 值稱為 的零點，而使 的那些 值稱為 的極點。零點、極點也可能包含 處的點。由于 在收斂域內(nèi)是解析函數(shù)，所以，收斂域內(nèi)不包含極點。中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換9/74(1).有限長序列nnnnnxnx其他, 0),()(21;)(,)()(2121nnnznxznxzXnnnnn，若

5、;)(21nnnznxn，是有界的，必有考慮到2、序列形式與其z變換收斂域的關(guān)系中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換10/7401/,00,00,(0,)nnnnnnnzzzznzzzzzzzz 因此，當時，只要，則同樣，當時，只要，則所以收斂域至少包含，也就是除外的開域，即所謂“有限 平面”。RezImzj12121212(1)00(2)00(3)00(4)00nnznnznnznnz 中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換11/7411, 0),()(nnnnnxnx1110)()()()(nnnnnnnnznxznxznx

6、zXx(n)n0n11.(3). 右邊序列z 負有限長序列: xzRz 的負冪級數(shù)：xRz 綜合：xRRezImzj收斂域中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換12/74(4)因果序列 它是一種最重要的右邊序列,由阿貝爾 定理可知收斂域為：0, 00),()(nnnxnxzRx中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換13/742201( )( )( )( )nnnnnnnnX zx n zx n zx n z(5)左邊序列22, 0),()(nnnnnxnxx(n)02n0 xzR綜合：0z正有限長序列： 0 xzzR的正冪級數(shù)：R

7、ezImzjxRz中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換14/7410( )( )( )( )nnnnnnX zx n zx n zx n z(6)雙邊序列0nx(n)0 xzR左邊：xzR右邊：xRRezImzjxRxxRzR綜合：中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換15/74)()(nnx0 ( )( )1nnnn zzZ其收斂域應包括即充滿整個z平面。, 0zz,0 z 三、常用序列的z變換 1、單位樣值序列中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換16/742、階躍序列)()(nunx1)()

8、()(annuanunx111)(1zzzzX1z收斂域為 中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換17/743、單位斜變序列)()(nnunx2)1()(zzzX1011zznn1z210)1()1(1znznn0)(nnnzzX1z將上式兩邊對 求導得， 兩邊同乘以 得，收斂域 1z1z中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換18/74nnnnnnnnnazazazazzaznuazX)()(1)()()(1211010)()(nuanxn當時，這是無窮遞縮等比級數(shù)。az 11( )1zX zazza此時，4.右邊指數(shù)序列RezI

9、mzjza0收斂域：az *收斂域一定在模最大的極點所在的圓外。中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換19/745、左邊指數(shù)序列nnnnnnnnnnzbzbzbzbzbznubnx)()() 1()(121111) 1()(nubnxn當|b|z|時，這是無窮遞縮等比級數(shù)，收斂RezImzjb收斂域：bz *收斂域一定在模最小的極點所在的圓內(nèi)。11( )1b zzX zb zzb 故中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換20/746、雙邊指數(shù)序列) 1()()(nubnuanxnn(0)ba該序列的 變換為znnnnnnznubn

10、uaznxzX) 1()()()(00101nnnnnnnnnnnnzbzazbza若 ，則上面的級數(shù)收斂，得到bzaz ,bzzazzbzbazzzX1)(bza中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換21/74 2-3 2-3 z反變換反變換一.定義： 已知 及其收斂域,反過來求序列 的變換稱作z反變換。1( )Z ( )x nX z記作：( )x n( )X z中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換22/74),(,)(21)(,)()(1xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX反：正：z變換公式：c為環(huán)形解析域

11、內(nèi)環(huán)繞原點的一條逆時針閉合單圍線.ImzjRezxRxR 0c中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換23/741、部分分式展開法2、冪級數(shù)展開法（自學P43-45）3、留數(shù)法（自學P45-47）二.求z反變換的方法中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換24/74 部分分式法部分分式法 有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩個多項 式的商。分子的次數(shù)低于分母時稱為真分式 部分分式：把x的一個實系數(shù)的真分式分解成幾個分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+

12、B是實數(shù)范圍內(nèi)的不可約 多項式，而且k是正整數(shù)。這時稱各分式為原 分式的“部分分式”。kAxa)( kBAxxbax)(2中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換25/74因此， 可以展成以下部分分式形式其中，MN時，才存在Bn；zk為 的各單極點， 為 的一個s階極點。而系數(shù)Ak，Ck分別為： 通常， 可表成有理分式形式：01( )( )( )1MmmmNkkkb zB zX zA za z( )X z( )X z0z( )X z( )X zskkiksNkkkNMnnnzzCzzAzBzX11110)1 (1)(skzzXzzdzdksCsNkzzXzzzzX

13、sAikkzzsikskskzzkzzk, 2 , 1,)()()!(1, 2 , 1,)()()(Re中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換26/74解：11/421/2( )(1/ 4)1( )(1/ 2)2zzX zAzzX zAzz 的z反變換。例 利用部分分式法，求2( )(1/ 4)(1/ 2)zX zzz12( )(1/ 4)(1/ 2)1/ 41/ 2AAX zzzzzzz依據(jù)式（2.2.3）得中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換27/741/ 2,11( )( )2 ( )( )42nnzx nu n 又序列為

14、右邊序列1/41/2,11( )()( )2 ( )(- -1)42nnzx nu nu n 當序列為雙邊序列2( )1/ 41/ 2zzX zzz1/ 4,11( )( ) -2 ( )(- -1)42nnzx nu n又序列為左邊序列中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換28/74 2-4 2-4 z變換的基本性質(zhì)和定理變換的基本性質(zhì)和定理Z ( )( ),Z ( )( ),xxyyx nX zRzRy nY zRzR*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域為兩者重疊部分。1.1.線性線性Z( )( )( )( ),max(,)min(,)xyxyax nby na

15、X zbY zRRzRR如果 ,則有：中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換29/74例2-10 已知 ,求其z變換。)()cos()(0nunnx0001110120111Zcos() ( )2 111cos,112cosjjn u nezezzzzz因此，解：0000000001111cos() ( ) ( )21Z( ),11Z( ),111Z( ),11jnjnnjnjjjnjjn u neeu na u nzaazeu nzeezeu nzeez中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換30/742. 2. 序列的移位序列的

16、移位 ()( ) ;mxxx nmzX zRzRZ如果則有： ( )( ),xxx nX zRzRZ例2-11 求序列 的z變換。23222 ( ),11 (3),1111 ( ),011zu nzzzzu nzzzzzzzzx nzzzzZZZ000() ()( )stf tt u tteF sLx(nm)u(n)Z注：( )( )(3)x nu nu n中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換31/74依據(jù)移位性質(zhì)得( )( )(2)x nu nu nZ ( ),11zu nzz12Z (2) ( ),11zu nz Z u nzz11Z ( ),011zzz

17、x nzzzz例2.3.2 求序列解 查表2.1.2可知因此，依據(jù)線性性質(zhì)得所求為的z變換。中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換32/743. 翻褶序列111 ()( ) ;xxxnXzzRRZ如果 ( )( ),xxx nX zRzRZ，則證明：11 ()()( )1( )()( )11nnnnnxxnxxxnxn zx n zx n zXRzRzzRRZ，即中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換33/74中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換34/744 4. .序列指數(shù)加權(quán)性質(zhì)（序列指數(shù)加權(quán)

18、性質(zhì)（z z域尺度變換）域尺度變換）( )( ) ;nxxza x nXa Rza RaZ ( )( ),xxx nX zRzRZ如果，則證明：( )( )( )( )( ) ;nnnnnnxxxxa x na x n zzzx nXaazRRa Rza RaZ即1()( )sf atFaaL中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換35/745 5. .序列的線性加權(quán)序列的線性加權(quán)( (z域求導數(shù)域求導數(shù)) )如果 ( )( ),xxx nX zRzRZ，則( )( ),xxdnx nzX zRzRdz Z證明：dzzdXznnxZznnxzznnxzdzdnxz

19、nxdzddzzdXznxzXnnnnnnnnnn)()()()()()()()(,)()(11即，對其兩端求導得( )( )dF stf tdsL中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換36/74中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換37/746 6. . 共軛序列共軛序列*( )();xxx nXzRzRZ，如果 ( )( ),xxx nX zRzRZ，則證明：*( )( ) ( )() ( )() ();nnnnnxxnx nx n zx n zx n zXzRzRZ，中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序

20、列傅立葉變換38/74。，則對于因果序列)(lim)0()(zXxnxz7. 7. 初值定理初值定理證明：)0()(lim,)2() 1 ()0()()()()(210 xzXzxzxxznxznunxzXznnnn顯然)(lim)(lim0ssFtfst中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換39/748. 終值定理11)(Re)()1(lim)(lim1)()()(zznzXszXznxznxZzXnx階極點，則有處有一單位圓上在單位圓內(nèi)，且只允許的極點，且對于因果序列證明： (1)( )(1)( ) (1)( )nnx nx nzX zx nx n zZ)(

21、lim)(lim0ssFtfst1lim (1)( )nmnmx mx m zZ中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換40/74 又由于只允許 在 處可能有一階極點，故因子 將抵消這一極點，因此 在上收斂。所以可取 的極限。 z1)(lim)() 1(lim)(lim)1(lim)() 1()0() 1 (0)0(lim1)() 1(lim)() 1(lim111nxzXznxnxnxnxxxxmxmxzXznznnnnmmnz( )X z(1) ( )zX z1z1z 1z中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換41/749 9.

22、 .序列的卷積和序列的卷積和( (時域卷積定理時域卷積定理) ) ,min,max)()()()(,)()(,)()()()()()()(hxhxnnxxmRRzRRzHzXnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXmnhmxnhnxny則有：，而且如果中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換42/74證明： ( )( ) ( )( )() ()()()()( )()( )( )( )max,min,nnnnmnmnlmmlmmxhxhx nh nx nh n zx m h nm zx mh nm zx mh l zzx m zH zX z H zRRzRR Z中

23、北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換43/74例2.3.5.),()()(),1()()(),()(1abnhnxnynuabnubnhnuanxnnn求已知1( ) ( ),;( ) ( ),;( )( )( )zX zZ x nzazazzH zZ h nazzbzbzazazbzbzbzbzzazY zX z H zza zbzb解：( )( )( )X zH zY zzb的極點與的零點相消，的收斂域擴大，為。1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nZY zb u n中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換44/

24、741 10 0. .序列相乘序列相乘( (z域卷積定理域卷積定理) )其中,c是在變量v平面上， ， 公共收斂域內(nèi)環(huán)原點的一條逆時針單封閉圍線。nxnxccnnxxRRzRRdvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXnhnxny;)()(21)()(21)()(),()(;),()(),()()(11則有：，且如果( / )X z v( )H v中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換45/741111. . 有限項累加特性有限項累加特性nmxxRzzXzzmxZRznxZzXnx0 1 ,max),(1)(,),()()(則

25、，且對于因果序列證明：，交換求和次序，得的取值范圍分別為可知，令, 0,)()()(, )()(0000 nmmnmnzmxmxZnyZmxnynnmnnmnmZZZ中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換46/7400001201100( )( )( )( )(1)11( )( )11( ),max,11nnnnmnmmn mmmmmmmxx mx m zx mzx m zzzx m zx m zzzzX zzRz Z中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換47/740( )( )1nmzx mX zzZ差分：11 ( )(1)(1

26、)( )( )zx nx nzX zX zzZ累加：中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換48/74 12.12.帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理( (parseval)parseval)其中“*”表示復共軛，閉合積分圍線c在公共收斂域內(nèi)。*111( )( )( )()2cnx n h nX v Hv dvjv( ) ( ),;( ) ( ),;1.xxhhxnxnX zx nRzRH zh nRzRR RR R ZZ且如果則有:中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換49/74*幾點說明：111( ) ( )( )( )2cnx n h

27、nX v Hv dvjv1( )( )()()2jjnx n h nX eHed。221( )()2jnx nX ed這表明序列的能量可用頻譜求得。這就是帕塞瓦爾定理1.當 為實序列時( )h n2.當圍線取單位圓 時， ，則1v 1/jvve3.當 時( )( )h nx n中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換50/742-5 2-5 z變換與拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系變換與拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系 2.5.1、z變換與拉氏變換的關(guān)系設 為連續(xù)信號， 為其理想抽樣信號)(txa)( tx根據(jù)z變換的推導過程，可知：當 時，序列x(n) 的 z 變換就等于理想抽

28、樣信號的拉氏變換。即：或者：sTez )()()(sXeXzXsTezsTzTssXzXln1)()(中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換51/74 s平面用直角坐標表示為： z平面用極坐標表示為： 又由于 所以有：因此， ；這就是說， z的模只與s的實部相對應, z的相角只與s虛部 相對應。TerT,jTj TzreeesTez jrez js中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換52/7400(1). 與 的關(guān)系)(Tern ，即s平面的虛軸 ，即z平面單位圓；n ，即s的左半平面 ，即z的單位圓內(nèi)；n ，即s的右半平面 ，

29、即z的單位圓外 。0001r 1r 1r rjImzRezj中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換53/740jImzRezT3TTT3(2). 與 的關(guān)系（ ）jT n 即s平面的實軸 即z平面正實軸；n 即s平行實軸的直線 即z始于原點的射線；n 即s寬的水平條帶 即整個z平面。2T0 0 (, ) 00T (,)T T 中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換54/74。所以s平面到z平面是多值映射關(guān)系。如圖2.4.3所示圖 2.4.3 s平面和z平面的多值映射關(guān)系（其中以s平面左半平面為例，s平面右半平面以相同的方式映射到z

30、平面單位圓外）中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換55/742.5.2 2.5.2 z變換和傅氏變換的關(guān)系變換和傅氏變換的關(guān)系 連續(xù)信號經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓， 即 我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸 的特例,因而映射到z平面上為單位圓。因此, 這就是說,（抽樣）序列在單位圓上的z變換,就等 于理想抽樣信號傅氏變換。 用數(shù)字頻率作為z平面的單位圓的參數(shù)， 表示z平面的輻角，且 。kTjkjXTjX)2(1)()()()(jXeXzXTjezTjjez Tsj 中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換56/74，則考慮到T

31、)()()(jXeXzXjezjkTjkjXTjX)2(1)(又)2(1)()(kjezTkjXTeXzXj所以，序列在單位圓上的z變換為序列的傅氏變換。中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換57/742.5.3 常用信號的常用信號的z變換與拉氏變換、傅氏變變換與拉氏變換、傅氏變換換222z( )1( )1( )111( )( )( )11( )( )( )( )111( )( )( )( )(1)atatnttnzeu teu ta u njasazazu tu nu tszjznu ntu ttu tjzs 傅氏變換拉氏變換變換中北大學信息與通信工程學院數(shù)字

32、信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換58/742.5.1 2.5.1 定義定義DTFT ( )()( )( )jjjnz enx nX eX zx n e11( )DTFT ()()2jjj nx nX eX eed反變換:2-2-6 6 序列的傅立葉變換（序列的傅立葉變換（DTFT） 及性質(zhì)( )nx n 收斂條件：收斂條件：中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換59/742.5.2 DTFT2.5.2 DTFT的性質(zhì)的性質(zhì)（1）周期性由序列的傅立葉變換公式：其中的M為整數(shù)。因此序列的傅立葉變換是頻率的周期函數(shù)。(2)(2)()( )()jMjM njnX

33、 ex n eX e中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換60/74（2）DTFT的線性設那么式中a和b為常數(shù)。1212DTFT( )( )()()jjax nbx naX ebXe1122()DTFT( ),()DTFT( )jjX ex nXex n（3）DTFT 的時移和頻移特性0000()DTFT ()()DTFT( )()j njj njx nneX eex nX e 中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換61/74（4）時域卷積定理設則)()()(nhnxny)()()(jjjeHeXeY（5）頻域卷積定理設則)()(

34、)(nhnxnydeHeXeHeXeYjjjjj)()(21 )()(21)()(中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換62/74（6）帕塞瓦爾定理能量守恒221( )()2jnx nX ed（7）序列的翻褶與共軛DTFT ()()jxnX e*DTFT( )()jx nXe*DTFT()()jxnXe中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換63/74(8) DTFT的共軛對稱性共軛對稱序列 共軛對稱序列的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。共軛反對稱序列 共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。序列可以分成共軛對稱 部分與共軛反對稱

35、部分)()(nxnxee)()(nxnxoo)()()(nxnxnxoe)()()()()()(*njbnanxnjbnanxee( )ex n( )ox n中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換64/74此時：對上面兩式取DTFT，得到結(jié)論結(jié)論：序列的共軛對稱部分 對應DTFT的實部，序列的共軛反對稱部分 對應DTFT的虛部。)()()(nxnxnxoe )()(21)()(21nxnxnxnxnxnxoe1DTFT( )()()Re()()21DTFT( )()()Im()()2jjjjeRjjjjoIx nX eXeX eXex nX eXejX ejX

36、e( )ex n( )ox n中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換65/74共軛分解 )()(21)()(21nxnxnxnxnxnxoeDTFT( )Re()DTFT( )Im()jejox nX ex njX e0DTFTRe ( )()DTFT Im ( )()jejx nXejx nXe序列共軛分解，對應頻譜的實部和虛部分解序列的實部和虛部分解，對應頻譜的共軛分解中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換66/74線性移不變系統(tǒng) 為單位抽樣響應( )( )( )( ),( )( )Y zY zX z H zH zX z 稱作

37、線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應。2 2.6 .6 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應jez ( )H z( )h n( )h n( )x n( )y n)(*)()(nhnxny2.7.1系統(tǒng)函數(shù)的定義中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換67/742.7.2 2.7.2 系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系NkkkMmmmMmmmMkkkMmmMkkzazbzXzYzHzXzbzYzamnxbknya000000)()()()()()()(1111(1)( )( )( )(1)MmmMkkz zY zH zKX zp z線性移不變系統(tǒng)常用差分方程表示：取z變換得：對上式因式分解，令得：Kba00/中北大學信息與通信工程學院數(shù)字信號處理 第二章 Z變換與序列傅立葉變換68/742.7.3 系統(tǒng)的頻率響應系統(tǒng)的頻率響應 系統(tǒng)的單位抽樣響應 的傅氏變換也即單位圓上的z變換 ，稱作系統(tǒng)頻率響應。)()()()()()()()()(jj