數(shù)學(xué)建模紅綠燈問(wèn)題

1、十字路口紅綠燈的合理設(shè)置陳金康檢索詞：紅綠燈設(shè)置、紅綠燈周期一、問(wèn)題的提出作為城市交通的指揮棒，紅綠燈對(duì)交通的影響起著決定性作用。如果紅綠燈的設(shè)置不合理，不僅會(huì)影響到交通秩序；還有可能會(huì)影響到行人和自行車(chē)的安全。目前杭城還有很多路口的紅綠燈設(shè)置存在一些不合理的因素，我們以古墩路一個(gè)路口（界于天目山路和文苑路之間）的紅綠燈設(shè)置為例，該路口是剛開(kāi)通的，交管部門(mén)對(duì)路況和車(chē)流量的研究還不是很 成熟，因此紅綠燈的設(shè)置存在一些問(wèn)題。該路口的車(chē)流量相對(duì)比較小，有幾個(gè)方向的車(chē)流量特別小，但綠燈時(shí)間設(shè)置太長(zhǎng)， 經(jīng)常出現(xiàn)路口空蕩蕩但是車(chē)輛必須長(zhǎng)時(shí)間等待的情況；同時(shí)在這樣的路口，右轉(zhuǎn)紅燈顯得有些多余。 另外，該路口

2、不同時(shí)段的紅綠燈設(shè)置沒(méi)有什么區(qū)別， 顯然這是非常不合理的。下面我們就針對(duì)該路口來(lái)研究一下紅綠燈設(shè)置的合理方案。我們主要研究?jī)蓚€(gè)方面： 紅綠燈周期的設(shè)置以及一個(gè)周期內(nèi)各個(gè)方面開(kāi)綠燈的時(shí)間。二、模型的建立1、紅綠燈周期從道路交通自動(dòng)控制中，我們可以找到有關(guān)紅綠信號(hào)燈的最佳周期公式：1 qs其中：C為周期時(shí)間。相位：同時(shí)啟動(dòng)和終止的若干股車(chē)流叫做一個(gè)相位。L為一個(gè)周期內(nèi)的總損失時(shí)間。每一相位的損失時(shí)間1=啟動(dòng)延遲時(shí)間-結(jié)束滯后時(shí)間；而整個(gè)周期的總損失時(shí)間為各個(gè)相位總損失時(shí)間的和加上各個(gè)綠燈間隔時(shí)間R。（通俗地講,啟動(dòng)延遲時(shí)間即司機(jī)看到綠燈到車(chē)子啟動(dòng)的反應(yīng)時(shí)間，結(jié)束滯后時(shí)間即綠燈關(guān)閉到最后一輛車(chē)通過(guò)的

3、時(shí)間。）即L I Rq為相應(yīng)相位的車(chē)流量s為相應(yīng)相位的飽和車(chē)流量。(當(dāng)車(chē)輛以大致穩(wěn)定的流率通過(guò)路口時(shí)，該流率即該相位 的飽和車(chē)流量。)2、南北方向和東西方向開(kāi)綠燈時(shí)間的分配不妨忽略黃燈，將交通信號(hào)燈轉(zhuǎn)換的一個(gè)周期取作單位時(shí)間，又設(shè)兩個(gè)方向的車(chē)流量是穩(wěn)定和均勻的，不考慮轉(zhuǎn)彎的情形。設(shè)E是單位時(shí)間從東西方向到達(dá)路口的車(chē)輛數(shù)；S是單位時(shí)間從南北方向到達(dá)路口的車(chē)輛數(shù)。假設(shè)在一個(gè)周期內(nèi)， 東西方向開(kāi)紅燈、南北方向開(kāi)綠燈的時(shí)間為 R,那么在該周期內(nèi)， 東西方向開(kāi)綠燈、南北方向開(kāi)紅燈的時(shí)間為1-R。我們要確定交通燈的控制方案，即確定Ro度量一個(gè)十字路口的串行效率的主要依據(jù)是單位時(shí)間內(nèi)所有車(chē)輛在路口滯留的時(shí)間

4、總和。因此要確定R,只需保證在一個(gè)周期內(nèi)，所有車(chē)輛在路口滯留的時(shí)間總和最短即可。一輛車(chē)在路口的滯留時(shí)間通常包括兩部分，一部分是每輛車(chē)遇紅燈后的停車(chē)等待時(shí)間，另一部分是停車(chē)后司機(jī)見(jiàn)到綠燈重新發(fā)動(dòng)到開(kāi)動(dòng)的時(shí)間 to,它是可以測(cè)定的。首先，對(duì)任意2定的R(0R1),計(jì)算出所有車(chē)輛在路口滯留的總時(shí)間。在一個(gè)周期中，從東西方向到達(dá)路口的車(chē)輛為E輛，該周期中東西方向開(kāi)紅燈的比率為R,需停車(chē)等待的車(chē)輛共為E R輛。這些車(chē)輛等待信號(hào)燈改變的時(shí)間最短為0(剛停下就轉(zhuǎn)綠燈)，最長(zhǎng)為R(到達(dá)路口時(shí)，剛轉(zhuǎn)紅燈)，所以它們的平均等待時(shí)間為R/2。由此可知，東西向行駛的所有車(chē)輛在一個(gè)周期中等待的時(shí)間總和為ER2同理可得，

5、南北向行駛的所有車(chē)輛在一個(gè)周期中等待時(shí)間的總和為_(kāi) 2S(1 R)22凡遇紅燈的車(chē)輛均需花費(fèi)t單位時(shí)間啟動(dòng)，這部分時(shí)間也必須計(jì)入總滯留時(shí)間。一個(gè)周期中，各方向遇紅燈停車(chē)的車(chē)輛總和為E R S (1 R),對(duì)應(yīng)的這一部分滯留時(shí)間為to E R S (1 R)從而總滯留時(shí)間為T(mén) T(R) to EER2R S(1 R)_ 2S(1 R)2(1 to)S toER toS當(dāng) R RoS(1 to) EtoE S時(shí)，車(chē)輛總滯留時(shí)間最短。Ro為令B=V+HH表示一個(gè)周期中經(jīng)過(guò)十字路口的車(chē)輛總數(shù)，上述表達(dá)式簡(jiǎn)化得最佳的S (S E) toRo B容易看到，最彳i控制方案 rS (S E) toB3、兩個(gè)方

6、向直行和左轉(zhuǎn)開(kāi)綠燈時(shí)間的分配進(jìn)一步考慮車(chē)輛轉(zhuǎn)彎的情況（假設(shè)右轉(zhuǎn)彎不設(shè)紅燈）。設(shè)南北方向直行和左轉(zhuǎn)開(kāi)綠燈時(shí)間總和（即上面的R）為一個(gè)單位時(shí)間，其中直行開(kāi)綠燈時(shí)間為 r,則左轉(zhuǎn)開(kāi)綠燈時(shí)間為1設(shè)單位時(shí)間內(nèi)直行車(chē)輛數(shù)為H,左轉(zhuǎn)車(chē)輛數(shù)為L(zhǎng)。則由上面的分析可知:H (H L) toH L三、調(diào)查結(jié)果與數(shù)據(jù)處理1、調(diào)查數(shù)據(jù)通過(guò)實(shí)地考察和網(wǎng)上查詢，我們還得到以下數(shù)據(jù):時(shí)段方向轉(zhuǎn)向?qū)嶋H車(chē)流量飽和車(chē)流量總損失時(shí)間最佳周期綠燈時(shí)間8：oo9:oo南北方向直行5。輛/分8o輛/分3秒165秒11o秒左轉(zhuǎn)8輛/分75輛/分17秒東四方向直行8輛/分8o輛/分17秒左轉(zhuǎn)9輛/分75輛/分21秒12：oo13：oo南北方向

7、直行35輛/分8o輛/分3秒46秒23秒左轉(zhuǎn)9輛/分75輛/分7秒東四方向直行io輛/分8o輛/分8秒左轉(zhuǎn)io輛/分75輛/分8秒17：oo18：oo南北方向直行45輛/分8o輛/分3秒73秒45秒左轉(zhuǎn)9輛/分75輛/分1o秒東四方向直行8輛/分80輛/分9秒左轉(zhuǎn)8輛/分75輛/分9秒2、數(shù)據(jù)處理根據(jù)上述數(shù)據(jù)和前面建立的模型，我們可以計(jì)算出最佳周期和每個(gè)方向開(kāi)綠燈的時(shí)間。（見(jiàn)表中最后兩列）上面的表格已經(jīng)給出了不同時(shí)段，該路口的紅綠燈周期和各個(gè)方向的綠燈時(shí)間。不過(guò)，事實(shí)上，紅綠燈的設(shè)置是非常復(fù)雜的，它牽涉到各種因素， 不可能用一個(gè)固定的模型解決一切問(wèn)題，它必須根據(jù)實(shí)際情況不斷調(diào)整。我們上面給出的方案只是一種理想化的、近似的方案，