待定系數(shù)法求數(shù)列通項公式

1、待定系數(shù)法求數(shù)列通項公式例題h在數(shù)列奶中，坷7 J：八忍十1 試求其通咲2i弍, 分析*區(qū)熬 達不是等差或等比數(shù)列，亙婦果4% =以十1的兩邊同時如上1*鑿理為g -1 = 2（ 口十1），此時r把斗十I”和 - 1看侔i卜整也或若換元，令虹1 =%_1十1那氏即 = +i = hH此.數(shù)列何十1或$就是以2為苣頁以2為公比旳爭比數(shù)列 心+ i = y,或者 = 2=詵一步求岀弘Jia啟示d在這個問邀中，容易看二三左右兩邊虻上：就構(gòu)成了新的等比數(shù)列d十1,那不易看a芒左右兩邊該忙|幾后枸成新K等比S列匝-該怎么辦呢？其實，己知：=丄叫十1,可變總左g十八如“-QK淞弍.然后展幵拮號、移項旨再

2、=妝亠1柜比較利冃芍定系數(shù)法可得2A-；.= k2 = L.這樣，對于形如產(chǎn)M” + 9 （其中嚴彳為常致且丙丸屮沁的逵推數(shù)列,先變.為心:+ 2-拭叭-）的形式.矍開.移項.利用後定.系數(shù)法有貝數(shù)列（毎十_5_廠一1角項為內(nèi)十宀侖比為P的轉(zhuǎn)比數(shù)見P 1口“ + 丄7 二 21 -一立心二 S- P-1J?-lp-1-1因此,那么形切J = P%這一類犁藥數(shù)列，都可以利用待疋養(yǎng)法來求稈變?yōu)?（心/何是關(guān)于非零多項弍時，該怎丈辦呢？是否也旨淀匡待龍系數(shù)法呢了% =去備+屮1+3卑=6三戸吐1）型例題Z在致列仇孔n =1，L二嘰斗伽+ L試求其通頃公弍匚分帕按照烹1的思路，左用KS加上S常數(shù)同時也

3、S加上的倍數(shù)，才能住?+ 3(刀 + 1) = 2代 + 3n) - 4進一步a”i + 3( +1) + 4 = 2(久一3/r -+ 4)則數(shù)列g(shù)十3n4 a： + 3x1-4 .g莒頌為十3乂 48公比為2的等比數(shù)列，所以a“_3 + 4 = 8x24】 = 24：, a“ = 2，-3-4同祥形如魯+1 = K/g”+尸的違推數(shù)列，設(shè)a. + xn- l)*y Pd* xn + y)展開.移項、凳理.比較對應(yīng)系數(shù)相等.列出方程J 9-1)2?l(P-l)v-x = r亠解得P-1)/=9,4 “1 (piy p-i即s負心)+(冷嚴；嚴3則數(shù)列卜詡堤以吩;1+(二打I為首項以P為公比的

4、尋比數(shù)列.于是就可以迸一步求出的通項e叵理，若務(wù)+L = Wn+/)其中/(町是關(guān)于n的多氏弍時，也可以構(gòu)造新的等比數(shù)列,和用待定系數(shù)法求出其通項。比如當(dāng)=廠時，可設(shè)a一： + x(n -1)2 + ( -1)十 z = p(Q + xrT + yn - z)展開根緡對寶系數(shù)分別相等求解方裡即可./3)為n的三次、EX五次等多項式時也能冃F1樣的思路和方法進行求褲0ffitfl*當(dāng)/(“)是n的斉數(shù)式.悶= 時-遞推公式又略婦何變形呢?三霸昇=pa + r+J 型(pqr CX Bp * !?沁.pg)例g 3.在數(shù)列%中，d = 1, % =34” + 2,試求其通項G。分析h由于殞與例S1

5、的區(qū)別在于才是指數(shù)式，可以冃上ffl的思珞進行變 形，住兩邊同時加上2x2”變?yōu)閬枃?7 = 3a“-3xy即S + 2E = 3S-2J則數(shù)列4. + 2”是首項為3公比為3的等比數(shù)列耳+ 2、九 則a.-2”*r分析N如果埒韋數(shù)式先變?yōu)榈?S,兩邊同除2空 0 就回到了我們的類型一進一步也可求出竹= 3-2J例獲4在數(shù)列何中，a = 3, 01 = 3a眞+ 5X 2用-4,試求%射通項a嗥o分析，若按例題3的匪路Z在兩邊同時除以沽雖然產(chǎn)生了*、齊但是加加 了呂，與原式并沒有大的變化，所以只能運用思路1,在兩邊同時加上15才整理a + 5x = 3(?！? 5x2) + 4進一步di +

6、5x2*2-3(d. + 5x2 + 2貝擻歹他+ 5x + 2是首項為10.公比為3的等比數(shù)更十5x2八+2l5x3i5x3并啟示*己知數(shù)列0的首項，a”L W W$(pgO且1當(dāng)$ = 0,即dj繆+7穴由例S3知，有兩種恿、路ij行變按，利用待定系數(shù)法構(gòu)這首項祗公比己知或可求的尊比數(shù)列。思洛一，在兩邊同時除以gi.將不含di和a”的項S為常數(shù)即a決：P a斥亠尸十_9 q q q為前茵的類型一，再冃類型一的縛定系數(shù)法思g可得數(shù)列.rJ丄Jq最終求髀岀g思路二；在兩邊叵盯柯上/的倍敦.最終能變形為ai + xgf = P(K + mJ對EZ糸數(shù)相尊得(p-g)jt = r -IPa=p.q

7、51求岀數(shù)列二廣的通取，進一步求岀4的通項q p_q2當(dāng)jhOE寸.即=皿廠rg Jsi例4可知只能S選擇思路二，兩邊既孌加f的倍數(shù)也1 丁特數(shù).最終能變形為% 十I +y = p（% +如 + y）比較得口 y的方程組r（p-g）K = y l（p-i）y = s即彳X =p-qsV =p-1于是匕曠+2r血+宀Sp-q p-1求岀數(shù)列厲+ +丄P-q p-lj 的通項，進一步求岀9訃的通項。0： 0,所以可聯(lián)想到對數(shù)的相關(guān)性員，對a-心兩邊取對數(shù)，即Ig= Ig(2a/) = Ig 2 Ig= 2 Ig a圧就是貳面的類型一了，即lttaz】*lg2 = 2(lgQ 粽+lg2)Ig 珀+

8、Ig2 = (lg2)x27 = lg 2廣6=2變形得對于類似S嚴par（pwl且P/r0韭1）的灌6數(shù)列.由于兩邊次數(shù)不一致 又是正項數(shù)列.所以可以利用對數(shù)性質(zhì).兩垃同時取對數(shù).得igcjL】igpXgat-igp然后就是前面苑類型一了.就可以利冃待定系數(shù)法進一步構(gòu)造數(shù)列ha-廣警為已 知首項和公比旳等比數(shù)列了 C求出lgdH-獸最終就可以得出dj的通項。司樣，如杲將耳） k 20尹“）中的P換為?旨數(shù)式時，同樣兩邊取對數(shù)可以利用相同的方法。Bp： O”： = 9 J/ H I且（/ R二fhO,fhI）k a*： M g(g” a；) = F Ig a殲+ Ig g變?yōu)轭愋投?班-1)

9、 + =他務(wù)5 + y)即可進一步得出%的通實以上是一些整式型的誦推數(shù)列通項公式的求解，接下來尋看看比較復(fù)滌的分武型誦推數(shù)列。A: %=蘭二（pr學(xué)0理皿+g例S7.在數(shù)歹何中，試求其通項分析.這是一個分式型數(shù)歹1,如果去分母變?yōu)?0后就無法行處理了。兩邊同礦取倒斂就是前面的類型一了-丄+ 3 = 2丄+ 3%所以數(shù)%切是首項為，公比為2的等比數(shù)列，不難求岀咕d_3例題8在數(shù)列%中，41 = 1衛(wèi)“=守W，試求其通項4。Ft分析：此題比例題7的區(qū)別多了當(dāng)數(shù)頊兩邊取倒=4x+ 30廠2左右兩邊丄三并不一致.但可以對照例題7的恩路.取倒數(shù)之后分母會具有一 J g 2a的結(jié)構(gòu).根掲等式和分弍的性質(zhì)，

10、我們可在兩邊叵時加上某一常數(shù)，整理,a, +2ai - X 二+x =3% .2 此時如果1=T.3 J1（3卄1）仏+沽3仆2那么遞推式左邊和右邊分母就一致了.輕方程得h = -.r, = 13因此比時可選擇其中-個遞拒式按照例題7的方式進行處至這里選擇亠警 ,面i取便13a, 2113g+l 4（7+1） 山十宀回到了類型一130 + 15 4q+l 5根據(jù)類型一的方法易求出2*(-4)7/J 二,6x (-4)1-1現(xiàn)在我們將兩式相比:1一3I十1a 13=X4耳片1則數(shù)列O見是我己知首項私公比的尊比數(shù)列，進一步化簡求岀q4廠1 1通過以上兩個例題可形如4小1二竺工(工0)這一類型的：g

11、推S列.對學(xué)生pj-q的綜臺能力要求較奇.K如異右邊分子欣常致項，仇=0,那么直按對兩邊取倒斂即可得,此時，若2 = 1.汞就是我們熟悉的等差數(shù)列.若2尹1.那就是前直的類型rr定系數(shù)法求解e用待2、若0 就需要先變形便左邊耘右邊分子結(jié)構(gòu)一St兩邊同時加二棊一個S(.r)(尸+ )(% + ) r + px g+x =p盼q然后令土竺=s解出工的值。 r斗px而另一種思路是直接設(shè)ga】=竺蘭 變形之后為Pkqpa啊亠q然后畏開，根捋對應(yīng)項系數(shù)相等得二元方程組x(r-g)=$兩種S路都是無X的一元二次方程，枚其鯉為冷E：和2p(jq)兒（4一七）paq）若兀*兀時，那就只能利用俺題7的方法，兩邊

12、取倒斷 部分分弍整浬即可轉(zhuǎn)變?yōu)?P(a-Kg) Xa, + x.)-p(g-Xi)p(-Ai)1 pn(a,+4)= +1a“： + 小 Vi(a + 心)?i(a. + 心)1 4t+ 心 M最終求出4當(dāng)X E時.可以選擇其凸的一個按照上面的方弍進行求解佢是此時計軍*履大,于是直瀆將兩式相比得,g + M y：務(wù)一X：=.L 1 + A-. V、 a AS所以致刃4 4是首項為吐X公比為M的等比數(shù)列。進一步求岀4。 +匕仃：+丫2兒七；1 =0 -，(pr/0p=2Aq2+47S0)g2 p d+q例題9在數(shù)列4中，q = 24i=竺二丄，宦求其涌項厲.2a”2分抓 本S鬲于分式非線性追推式

13、，與類至五又有相似之處，圻以我們可次結(jié)合類型壬.六的思路，逬行變按：兩邊同時加上某個常數(shù)，設(shè)最終變?yōu)椋?竹4 2與原式fc較，對應(yīng)系數(shù)相筈，得r-2r = 3解方程得即有:J亠屮2務(wù)-22%2對單個式子進行處理，無從下手，兩式相比得然后.兩邊取對數(shù)得:-3則蚪缶是首項為1嚴-3 = 1,公比為2的尊比數(shù)列. 為一11孕“歹亠一 1n進一步解得5亠5；-顯然按照例題9熬懇賂形如1 =竺4（0上0）這=類垂的參數(shù)衛(wèi)、 4 也皿+9定一定的棊件.所得方桂巫有兩個不等的實ts二現(xiàn)在來採討應(yīng)該;蕃足耶些棗件?所以 F& V xjxi比 + .T + Ji Zfxct* + rx對應(yīng)系敖相等得 P = 2r,rx -J = 0方桎冷一