定積分及不定積分

1、第三章 定積分及其應(yīng)用§3-1 定積分的概念一、 變速直線運動的路程 例1 設(shè)某物體作變速直線運動，其速度是時間段上的連續(xù)函數(shù)，求物體在該時間段內(nèi)所經(jīng)過的路程S. 解 由于物體的運動速度不是常量，故不能直接按勻速直線運動的路公式來計算路程。但我們可以先設(shè)法求出路程的近似值，再通過極限逼近精確值。我們先將時間等分為小段其中，每個小時間段的跨度，我們在時間段的左端點讀取速度,由于分段較密，可以認為每個時間段內(nèi)速度近似不變，這樣第段內(nèi)的路程可以近似表示為（。 圖3-1（需修改）將n個小段時間上的路程相加，就得總路程S的近似值，即 當(dāng)時，上述路程逼近物體運動總路程的精確值，即 注1 由于速度

2、函數(shù)是連續(xù)的，可以證明，當(dāng)我們將時間段任意分割成若干小段且在每一小時間段內(nèi)任選一個時間節(jié)點來讀取速度，上述和式的極限是相等的。注2 上述變速直線運動路程計算也可理解為由曲線所圍成曲邊梯形的面積。二、定積分的概念定義1 設(shè)是定義在區(qū)間上的有界函數(shù)，將區(qū)間任意分割成個小區(qū)間其中。記，在小區(qū)間上任取一點，令，如果存在，則稱其極限值為從到的定積分，記作 其中“”稱為積分符號，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區(qū)間，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量， 稱為積分微元。 根據(jù)定積分的定義，例1變速直線運動的路程S可表示為， 關(guān)于定積分的定義，需說明下列幾點：（1）定積分與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，

3、而與積分變量的記號無關(guān)，即（2）規(guī)定， （3）若在上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，則在上可積.三、定積分的幾何意義從前面的討論中已經(jīng)知道，若在上，則定積分表示由曲線、直線、以及軸所圍成的圖形的面積（圖3-1）.若在上，由定積分的定義，有 （）（） 圖3-1 若在上，有正有負，則由曲線、直線、以及軸所圍成的平面圖形，既有在軸上方，又有在軸下方，這時，定積分表示a,b上各個曲邊梯形面積的代數(shù)和.（圖3-2）。 圖3-2 例2試用定積分表示由直線，以及軸所圍成的平面圖形的面積.解 由圖3-3可知 圖3-3四、定積分的性質(zhì)設(shè)函數(shù)、在上可積，則有以下性質(zhì).性質(zhì)1 （為常數(shù)）性質(zhì)2 此性質(zhì)可推廣到有限多個

4、函數(shù)代數(shù)和的情形性質(zhì)3 對任意三個實數(shù)，總有 當(dāng)點位于區(qū)間之外時，可以證明此性質(zhì)仍然成立. 圖3-4 性質(zhì)4 如果在上，則性質(zhì)5 如果在區(qū)間上恒有，則例3比較與解 因為在區(qū)間上，所以性質(zhì)6 （估值定理）設(shè)M與分別是函數(shù)在上的最大值與最小值，則例4估計定積分值的所在范圍.解 因為在區(qū)間上，所以性質(zhì)7（積分中值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一點，使得下式成立： 積分中值定理的幾何解釋是：設(shè)，則在區(qū)間上至少存在一點，使得以為底，為高的矩形面積正好等于區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形的面積（圖3-5）. 稱為在區(qū)間上的平均值. 圖3-5（需修改）習(xí)題3-11 用定積分表示由曲線所圍成的平面圖形

5、的面積A.2 利用定積分的幾何意義說明下列等式成立（1） （2）3利用定積分的性質(zhì)比較下列各組定積分值的大小（1）與 （2）與4估計下列定積分的值（1） （2）§3-2 不定積分一、不定積分的概念例1 曲線上任意一點處的切線斜率為，且經(jīng)過點，求此曲線方程。解 設(shè)所求曲線方程為，由題意知 因為(C為任意常數(shù))，故可得曲線方程為將條件代入，得定義1 設(shè)函數(shù)是已知函數(shù)，如果存在函數(shù)，滿足，則稱函數(shù)是函數(shù)的一個原函數(shù)，稱為的不定積分，記作，即其中，“”稱為積分符號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量，C稱為積分常數(shù)。求函數(shù)的一個原函數(shù)，就是對求導(dǎo)作一個逆運算，求函數(shù)的不定積分，就是求

6、函數(shù)的全體原函數(shù)。定理1 若函數(shù)有二個原函數(shù)、，則例2 求下列函數(shù)的不定積分（1）； （2） 解（1） 因為 ， 是的一個原函數(shù)，所以的全體原函數(shù)是， 即 （2） 因為 ， 是的一個原函數(shù)，所以的全體原函數(shù)是，因此 二、基本積分表由于不定積分是求導(dǎo)（或微分）的逆運算（僅相差一個常數(shù)），因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出基本積分公式。為方便起見，我們將一些基本的積分公式列表如下：（1） （為常數(shù)） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）例3 求下列函數(shù)的不定積分（1） （2） （3）解 （1）（2）（3）三、不定積分的運算法則根據(jù)不定積分的定義

7、，可以證明，積分運算滿足下列運算法則：法則1 ，（法則2 例4 求解 在各次積分后,每個不定積分的結(jié)果都含有任意常數(shù),由于任意常數(shù)的和仍是任意常數(shù),所以在積分運算中,多個積分常數(shù)最后可合并,只要寫出一個任意常數(shù)C就可以了。例5 求解 = 例6 求解 例7求解 習(xí)題3-21、根據(jù)原函數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)公式，寫出下列函數(shù)的一個原函數(shù)：（1）（2）2、判斷下列各式是否正確：（1）（2）3、求下列不定積分：（1） （2）（3） （4）（5） （6）§3-3 Newton-Leibniz公式 前面，我們學(xué)習(xí)了定積分的概念，我們知道求面積就是求一個和式的極限，但在實際運算中這是非常困難的，因此我們有

8、必要尋求一種新的計算方法。一、變上限的定積分設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，對于任意的，考慮定積分，由于積分式中的既表示積分上限又表示積分變量，為區(qū)別起見，我們將積分變量改寫為，則上述積分成為. 它是定義在上的一個函數(shù)，我們將其記為，即稱為變上限定積分（圖3-6） 定理 1 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則變上限定積分可導(dǎo)，且 證明 設(shè)取得增量，則相應(yīng)地函數(shù)取得增量 圖3-6其中介于與之間. 當(dāng)時，有，又連續(xù)，所以 .這個定理表明：對于連續(xù)函數(shù)，其相應(yīng)的變上限定積分是的一個原函數(shù).例1 求解 由定理1得 例2 求解 令，則便是由與復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有 二、牛頓萊布尼茨（Newton-Lei

9、bniz）公式定理2 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是的一個原函數(shù)，則有 證明略 上述公式稱為牛頓萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式，它深刻地揭示出定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并為定積分的計算提供了有效而簡便的方法.函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于它的一個原函數(shù)在上的增量.例3 求解1 解2 由例3看出在計算定積分時，是否加不影響定積分的值，因此在以后的計算定積分計算時不需要再加。例4 求解 例5 求解例6 求解 =例7 求解 例8 設(shè)，求解 =例9求解 令，得，因此 習(xí)題3-31 求下列導(dǎo)數(shù)（1） （2）2 求下列定積分（1） （2）（3） （4） （5） （6）3 設(shè)，計算§3-

10、4 定積分的換元積分法 利用積分公式能計算的定積分是很有限的，即使像與這樣一些基本初等函數(shù)的積分也很難求得，因此有必要尋求更有效的積分方法。本節(jié)將介紹一種重要的積分方法換元積分法。一、第一類換元積分法（湊微分法）例1 求 解 由于積分微元與被積函數(shù)的變量表示不一致，因此不能直接套用公式 。因為，所以。令，當(dāng)時，；當(dāng)時，。于是例2 求解 由于積分微元與被積函數(shù)的變量表示不一致，因此不能直接套用公式 。因為，所以。令，當(dāng)時，；當(dāng)時，。于是上面2個例子解題過程中，實質(zhì)上是將積分微元湊成某個函數(shù)的微分，從而使用公式求出積分，這種方法我們稱為第一類換元積分法，又稱為湊微分法。常用的湊微分方法有第一類換元

11、積分法的一般形式的計算過程注意：在使用換元積分時，積分的上下限應(yīng)作相應(yīng)的改變。例3 求解 例4 求解 例5 求解 例6 求解 二、第二類換元積分法例7 求解 = 第二類換元積分法的一般形式的計算過程例8 求.解 利用定積分的換元積分方法，我們可以得出如下結(jié)論：定理1 設(shè)在對稱區(qū)間上連續(xù)，則有 （4.1）利用定理1的結(jié)論，可使偶函數(shù)或奇函數(shù)在對稱于原點的區(qū)間上，積分計算得到簡化。例9 求（1） ； （2） 解 （1）因為在上為奇函數(shù)，所以（2） =習(xí)題3-41 求下列定積分（1） (2) (3) (4) （5） （6） （7） （8）2 求下列定積分（1） （2） §3-5 定積分的分

12、部積分法設(shè)函數(shù)、在區(qū)間上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則，上式兩端分別求區(qū)間上的定積分，由于 ，故上式稱為定積分的分部積分公式.例1 求解 例2 求解 例3 求解 例4 求解 從上面例子的計算可看出，若是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或是三角函數(shù)的乘積形式，則將指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)湊成容易計算；若是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或是反三角函數(shù)的乘積形式，則將冪函數(shù)湊成容易計算。例5 求解 移項得： 習(xí)題3-5求下列定積分(1) (2) (3) (4) (5) (6) §3-6 廣義積分前面介紹的定積分，都是在有限區(qū)間上有界函數(shù)的積分，這類積分也稱常義積分，但在實際問題中，還會遇到積分區(qū)間為無限或被積函數(shù)在積分區(qū)間上是無界的情況

13、，這就需將通常意義的積分概念推廣，推廣后的積分被稱為廣義積分.一、無窮限的廣義積分例1求由曲線，直線，所圍成的開口圖形的面積解 由于曲線與軸相交于無窮遠處，不能直接使用定積分公式?，F(xiàn)任取，先求出區(qū)間上所對應(yīng)的面積：令，便得到所求圖形的面積，即 圖3-7（需修改） 定義1 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果極限存在，則稱無窮限廣義積分收斂，記為 否則，稱該無窮限廣義積分發(fā)散.類似地，可定義函數(shù)在上的廣義積分為 .定義2 函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分定義為 其中為任意給定的實數(shù)，當(dāng)上述右端兩個積分都收斂時，稱廣義積分收斂，否則稱廣義積分發(fā)散.為書寫簡便，設(shè)，記，則廣義積分可表示為 例2 求 .解 例3 討論無

14、窮限積分 的斂散性.解 當(dāng)時，有 當(dāng)時，有 .因此，當(dāng)時，廣義積分收斂于 ；當(dāng)時，廣義積分發(fā)散.二、無界函數(shù)的廣義積分圖3-8例4 求由曲線，直線與軸所圍成的開口圖形的面積 （圖3-8）.解 由于函數(shù)在點處無意義，不能直接使用定積分公式?，F(xiàn)任取，先求出區(qū)間上所對應(yīng)的面積 令，便得到所求圖形的面積，即： 定義3 若函數(shù)在上連續(xù)，且.又對，若存在，則稱無界函數(shù)廣義積分收斂.記為 否則，稱該無界函數(shù)廣義積分發(fā)散.類似地，若函數(shù)在上連續(xù)，且，則可定義無界函數(shù)積分為 例4 求積分 .解 由于 ，故是一個無界函數(shù)廣義積分，由定義及應(yīng)用分部積分法得 其中可由洛必達法則求得.習(xí)題3-61、 求下列廣義積分（1

15、） ； （2） ；（3）； （4） ；（5） ； （6） ；§3-7 定積分的幾何應(yīng)用一、 平面圖形的面積在學(xué)習(xí)定積分的概念時，我們已經(jīng)知道由曲線所圍成的圖形面積A是一個和式的極限，可表示為定積分 上述和式的極限中，核心的一步是將小區(qū)間上的小條形面積近似地表示成一個矩形面積?，F(xiàn)在用表示任一小區(qū)間，并取，則區(qū)間上的小條形面積就可近似地表示成， 圖3-9我們稱為面積A的微元，記作由于，面積A就是區(qū)間上微矩形面積的無窮累加，即 由此可見，在利用定積分求面積時，關(guān)鍵的是設(shè)法求出區(qū)間上的面積微元。例1求由拋物線和所圍成的圖形的面積. 解 作圖（圖3-10）由方程組的解可知，兩曲線的交點為（0，

16、0）和（1，1），取為積分變量，將面積投影至軸，即積分區(qū)間為。任取，分別過、點作軸垂直線，則小條形面積近似等于高為寬為的矩形面 圖3-10積，即面積的微元表達式為 于是 通過例1可以看出，在利用定積分求面積的步驟通常為：（1）作圖，求出曲線的交點；（2）選擇積分變量，同時“投影”確定積分變量的變化范圍； （3）進行“穿線”，寫出面積的微元表達式；（4）計算定積分的值.例2 求由曲線，直線所圍成圖形的面積 圖3-11解 作圖3-11，建立方程組可分別求得交點為，取為積分變量，將面積投影至軸，任取，進行穿線，則小條形面積近似等于高為長為的矩形面積，即面積的微元表達式為 于是 例3 求由曲線與直線所

17、圍成的圖形的面積.解一 作圖（圖3-12）由方程組的解可知，交點為，取為積分變量，將面積投影至軸，任取，進行穿線，則所求面積的微元為 于是 圖3-12 （需修改） 解二 作圖3-13，由方程組的解可知，交點為，取為積分變量，將面積投影至軸，。這里我們看到，若僅從解方程求交點來確定積分區(qū)間，就會遺漏部分區(qū)間，因此必須采用投影的方法。任取，進行穿線，隨著垂直線位置不同，所穿過的“上頂”與“下底”也不同，時，線段長為； 圖3-13（需修改）時，線段長為?，F(xiàn)將所圍區(qū)域A分成兩部分與，積分區(qū)間分別為與。面積微元分別為，。因此所求面積為由例3可知，在運用定積分求面積時，除了“投影”選定積分區(qū)間，“穿線”找

18、出被積函數(shù)，還可以讓垂直線沿積分區(qū)間在所圍區(qū)域內(nèi)進行“掃描”。如果“上頂”是一個，“下底”是一個，只需一個定積分即可求出面積；當(dāng)“上頂”是一個，“下底”是二個時，就需分成二段，求二個定積分的和；以此類推，一般選取積分變量應(yīng)視“掃描”結(jié)果，使“上頂”、“下底”所遇曲線最少者為佳。二、旋轉(zhuǎn)體體積由曲線與直線、所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，形成一旋轉(zhuǎn)體如圖3-14，求該旋轉(zhuǎn)體體積。選取積分變量，則，任取，分別過、點作垂直于軸的平面，則小區(qū)間上所夾的薄片體積近似等于以為底面半徑以為高的圓柱體體積，即體積微元為，在區(qū)間上作定積分，即得旋轉(zhuǎn)體的體積公式 圖3-14 同理，由曲線，所圍成的平面圖形（圖3-1

19、5）繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積公式為 圖3-15例4 求由曲線所圍成的面積繞軸旋轉(zhuǎn)體體積. 解 作圖3-16，建立方程，解得交點為，將面積投影至軸，得積分區(qū)間為。選取積分變量，任取，分別過、點作垂直于軸的平面， 圖3-16（需修改）則小區(qū)間上的薄片體積近似等于，即體積微元，故 例5 證明半徑為的球體體積 證 如圖3-17，將球看作以原點為圓心，半徑為的右半圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體。由于軸右側(cè)的半圓在軸上的投影為，所以選定積分變量為，積分區(qū)間為。由圓方程可得右半圓的曲線方程，所求體積微元為 于是 圖3-17（需修改）習(xí)題3-71、求由下列曲線圍成的平面圖形的面積：（1）及直線；（2）與直線

20、；（3）；（4）2、求由直線所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的體積。3、求由所圍成的圖形分別繞軸及軸旋轉(zhuǎn)所形成的體積。 §3-8 定積分的工程應(yīng)用一、變力沿直線的功由物理學(xué)可知，當(dāng)一物體在一個常力的作用下，沿力的方向作直線運動，則在物體移動距離為時，所作的功為。在實際問題中常需要計算變力所作的功，此時需要用定積分方法來解決問題.例1 已知一彈簧拉長要用的力，求把該彈簧拉長所作功. 解 建立坐標(biāo)如圖3-18，設(shè)彈簧靜止點為原點，沿著軸方向拉伸。由物理學(xué)中的胡克定理可知，在彈性限度內(nèi)拉伸彈簧所需要的力與彈簧的伸長量成正比，即為比例系數(shù)）.根據(jù)題意，當(dāng)時，所以，即。選為積分變量，則積分區(qū)間為， 任

21、取，功的微元為 圖3-18因此 例2 在底面積為的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的活塞沿圓柱體中心軸由點處推移到點處.計算在移動過程中氣體壓力所作的功.解 建立坐標(biāo)如圖3-19，設(shè)活塞靜止點為原點，沿著軸方向推移。由物理學(xué)可知，定量氣體在等溫狀態(tài)下，壓圖3-19強與體積成反比，即（為常數(shù)），而容器內(nèi)氣體體積為，所以，于是作用在活塞上的力為 選為積分變量，積分區(qū)間為，任取，所求功W的微元為，因此。例3一圓臺形儲水池，上底半徑2m,下底半徑1m,池深3m,水面低于池沿1 m,?，F(xiàn)將水從池中抽出，求抽盡儲水池內(nèi)的水所作的功.解 建立坐標(biāo)系如圖3-20. 則儲水池

22、母線方程為選取積分變量為，積分區(qū)間為，任取，則質(zhì)量微元 ，其中水的密度）， 圖3-20（需修改）所求功W的微元為 ，因此 。二、液體的靜壓力物理學(xué)告訴我們，在距液體表面深處的液體壓強是，其中是液體的密度.當(dāng)一面積為的平面薄片與液面平行地置于液面下深h處，則薄片的一側(cè)所受的壓力為 ，現(xiàn)將該薄片垂直于液面置入于液體中，則薄片各處因為所在深度不同而壓強各不相同，故不能用上述公式計算薄片一側(cè)所受的壓力.例4 一薄片形狀為直角梯形，上底為2m，下底為1 m ，高為1 m，現(xiàn)將薄片垂直放入水中，上底離水面1 m，求薄片一側(cè)所受到的壓力。解 建立坐標(biāo)系如圖3-21，則梯形腰線方程為選取積分變量為，則積分區(qū)間

23、為任取，則面積微元 圖3-21（需修改）所求壓力微元為 因此 （）三、平均值給出一組離散數(shù)據(jù)則它們的算術(shù)平均值是，在實際問題中，除了計算離散數(shù)據(jù)的平均值外，有時還需計算一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上所有值的平均值，如一天內(nèi)的平均溫度，一定時段內(nèi)某電路上的平均電流強度等. 連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上一切值的平均值的計算公式為 我們可以依照定積分的性質(zhì)，容易地理解上面公式的數(shù)學(xué)含義.例4 設(shè)，求在區(qū)間上的平均值.解 由平均值計算公式可知，所求平均值為 例5 設(shè)通過電阻為R的純電阻電路中的交變電流為，其中是電流的最大值，求在一個周期內(nèi)該電路的平均功率.解 由物理學(xué)可知，電路中的電壓 ，功率 因此功率在一個周期上的平均值為 通常交流電器上標(biāo)明的功率就是該電器的平均功率.習(xí)題3-81、 設(shè)把一金屬桿的長度由拉長到時，所需的力等于，其中為常數(shù)，試求將該金屬桿由長度拉長到所作的功.2、 有一物體在某種介質(zhì)中作直線運動，其位移（為時間，為常數(shù)），介質(zhì)對物體的阻力與物體速度的平方成正. 比求該物體由移到時，克服介質(zhì)的阻力所作的功.3、 已知地球半徑為R=6370km，現(xiàn)將一質(zhì)量為173kg的人造衛(wèi)星由地面發(fā)射到離地面2384