高考數(shù)學(xué)專題數(shù)列超

1、高考復(fù)習(xí)序列-高中數(shù)學(xué)數(shù)列一、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用） （注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用） （注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）sn+1-sn-1=an+1+an（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）二、等差與等比數(shù)列的基本知識(shí)1、等差數(shù)列1 通項(xiàng)公式與公差：定義式：一般式：推廣形式：；前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：前n項(xiàng)和公式：.前n項(xiàng)和公式的一般式：應(yīng)用：若已知，即可判斷為某個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，并可求出首項(xiàng)及公差的值。與的關(guān)系：（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）例：等差數(shù)列， （直接利用通項(xiàng)公式作差求解）常用性質(zhì)：若m+n=p+q ，則有 ；特別地：若的等差中項(xiàng)，則有2n、m、p成

2、等差數(shù)列；等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”（如，）仍是等差數(shù)列；為公差為d等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則，也成等差數(shù)列,A、 構(gòu)成的新數(shù)列公差為D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)- Sm；B、 對(duì)于任意已知Sm，Sn，等差數(shù)列公差，即也構(gòu)成一個(gè)公差為等差數(shù)列。若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則偶奇； ；若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則奇偶；。 例：已知等差數(shù)列，其中解析：法一，用等差數(shù)列求和公式求出法二，成等差數(shù)列，設(shè)公差為D，則：法三,63. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：一般形式：；推廣形式：，其前n項(xiàng)的和公式為：，或.數(shù)列為等比數(shù)列常用性質(zhì)： 若m+n=p+q ，則有 ；特別地：若的等比中項(xiàng)，則有 n

3、、m、p成等比數(shù)列; 等比數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”（如，）仍是等比數(shù)列；為等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則，也成等比數(shù)列（僅當(dāng)當(dāng)或者且不是偶數(shù)時(shí)候成立）；設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，成等比數(shù)列為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列.判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：是等差數(shù)列中項(xiàng)法：是等差數(shù)列一般通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列一般前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：（1）定義法：為等比數(shù)列；（2）中項(xiàng)法：為等比數(shù)列； （3）通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列； （4）前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。 為等比數(shù)列。數(shù)列最值的求解（1

4、），時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函數(shù)的最值；可用二次函數(shù)最值的求法（）；或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：若已知，則最值時(shí)的值（）可如下確定或。例1：等差數(shù)列中，則前項(xiàng)的和最大?！窘馕觥浚豪?設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知 求出公差的范圍，指出中哪一個(gè)值最大，并說明理由?！窘馕觥浚?由，可知，n=12是前n項(xiàng)和正負(fù)分界項(xiàng)，故所以，最大變式：若等差數(shù)列的首項(xiàng)為為31，從第16項(xiàng)開始小于1，則此數(shù)列公差d的取值范圍是 解析：，但要注意此時(shí)還要一個(gè)隱含條件，聯(lián)立不等式組求解。3、若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則 ，數(shù)值最小項(xiàng)是第 項(xiàng)?！窘馕觥浚悍ㄒ唬▽?dǎo)數(shù)法）：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)

5、和的標(biāo)準(zhǔn)形式，可知該數(shù)列為等差數(shù)列，令,取得最小值，其中，可見當(dāng)n=3時(shí)取得最小。法二（列舉法）：對(duì)于可用列舉法，分別求出n=1、2時(shí)的的值，再進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)。4、已知數(shù)列，【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：，令法二（列舉法）：實(shí)在沒招時(shí)使用該法。5、 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和?！窘馕觥浚?、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：類型1：等差數(shù)列型思路：把原遞推式轉(zhuǎn)化為，再使用累加法（逐差相加法）求解。例，已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為變式： 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，此時(shí)，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通

6、項(xiàng)公式為評(píng)注：本題前的系數(shù)不一致，不能直接使用前述方法，解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。類型2：等比數(shù)列型把原遞推式轉(zhuǎn)化為，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。例 （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)樗杂檬绞降脛t；故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。類型4：待定系數(shù)法處理 或型數(shù)列把原遞推式轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化思路：例，數(shù)列解：令，所以即是公比為2的等比數(shù)列，=（），或令，是公

7、比為2的等比數(shù)列，所以，變式1：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。思路：等式兩邊同時(shí)除于；原遞推式變成令，評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。變式2：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。思路：將原遞推式兩邊倒數(shù)后換元，再轉(zhuǎn)化為變式3：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。思路：將原遞推式兩邊求對(duì)數(shù)后換元，再轉(zhuǎn)化為變式4：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。思路：換元，則，再代入原遞推式，再轉(zhuǎn)化為類型5 已知遞推式求這種類型一般利用導(dǎo)出，消去，得到與的遞推式，再利用前面的方法求解出（知識(shí)遷移：）例，已知數(shù)列前n項(xiàng)和，求：（1），（2）通項(xiàng)。解：（1）（2）由上式：，令，即有，而，

8、所以，2，公差為2,的等差數(shù)列，類型6：求用作商法：數(shù)列求和的常用方法然數(shù)和公式： ； ；一、利用等差等比數(shù)列的求和公式求和 1、 等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：例1 已知，求的前n項(xiàng)和.解：由，由等比數(shù)列求和公式得 1（利用等比數(shù)列求和公式）例2設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得 ， 當(dāng) ，即n8時(shí)，二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè).得

9、（錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：例4 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) -三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).例5 求的值解：設(shè).將式右邊反序得.又因?yàn)?，+得 89 S44.5題1 已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得： 所以.四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的

10、數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例5求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得當(dāng)a1時(shí)，時(shí)，五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3）（4）例6 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè)則 例7 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解： 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 六、分段求和法（合并法求和）針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例8 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°Sn （cos1°+ cos179°）+（ cos2&