高考數(shù)學理科遼寧卷解析

1、2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(遼寧卷解析)數(shù)學(理科)第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。(1)已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A=0,1,3,5,8，集合B=2,4,5,6,8，則為(A)5,8 (B)7,9 (C)0,1,3 (D)2,4,6【答案】B【解析一】因為全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A=0,1,3,5,8，集合B=2,4,5,6,8，所以，所以為7,9。故選B【解析二】集合為即為在全集U中去掉集合A和集合B中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，選B【

2、點評】本題主要考查集合的交集、補集運算，屬于容易題。采用解析二能夠更快地得到答案。(2)復數(shù)(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】，故選A【點評】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的運算，屬于容易題。復數(shù)的運算要做到細心準確。(3)已知兩個非零向量a，b滿足|a+b|=|ab|，則下面結論正確的是(A)ab (B) ab(C)0,1,3 (D)a+b=ab【答案】B【解析一】由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0, 所以ab，故選B【解析二】根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a+b|與|ab|分別為以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，因為|a+b|=|ab|，所以該平行四邊形為

3、矩形，所以ab，故選B【點評】本題主要考查平面向量的運算、幾何意義以及向量的位置關系，屬于容易題。解析一是利用向量的運算來解，解析二是利用了向量運算的幾何意義來解。(4)已知命題p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，則p是(A) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 (B) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0(C) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0(D) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0【答案】C【解析】命題p為全稱命題，所以其否定p應是特稱命題，又(f(x2)f(x1)(x2x1)0否定為(f

4、(x2)f(x1)(x2x1)<0，故選C【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，屬于容易題。(5)一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！【答案】C【解析】此排列可分兩步進行，先把三個家庭分別排列，每個家庭有種排法，三個家庭共有種排法；再把三個家庭進行全排列有種排法。因此不同的坐法種數(shù)為，答案為C 【點評】本題主要考查分步計數(shù)原理，以及分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題。(6)在等差數(shù)列an中，已知a4+a8=16，則該數(shù)列前11項和S11=(A)58 (B)88 (

5、C)143 (D)176【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，答案為B【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、性質及其前n項和公式，同時考查運算求解能力，屬于中檔題。解答時利用等差數(shù)列的性質快速又準確。(7)已知，(0，)，則=(A) 1 (B) (C) (D) 1【答案】A【解析一】，故選A【解析二】，故選A【點評】本題主要考查三角函數(shù)中的和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的性質以及轉化思想和運算求解能力，難度適中。(8)設變量x，y滿足則的最大值為(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55【答案】D【解析】畫出可行域，根據(jù)圖形可知當x=5,y=15時2x+3y最大，最大值為55，故選D【點

6、評】本題主要考查簡單線性規(guī)劃問題，難度適中。該類題通常可以先作圖，找到最優(yōu)解求出最值，也可以直接求出可行域的頂點坐標，代入目標函數(shù)進行驗證確定出最值。(9)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是(A) 1 (B) (C) (D) 4【答案】D【解析】根據(jù)程序框圖可計算得由此可知S的值呈周期出現(xiàn)，其周期為4，輸出時因此輸出的值與時相同，故選D【點評】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結構、數(shù)列的周期性以及運算求解能力，屬于中檔題。此類題目需要通過計算確定出周期（如果數(shù)值較少也可直接算出結果），再根據(jù)周期確定最后的結果。(10)在長為12cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，領邊長分別等于線段AC，

7、CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】設線段AC的長為cm，則線段CB的長為()cm,那么矩形的面積為cm2，由，解得。又，所以該矩形面積小于32cm2的概率為，故選C【點評】本題主要考查函數(shù)模型的應用、不等式的解法、幾何概型的計算，以及分析問題的能力，屬于中檔題。(11)設函數(shù)f(x)滿足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且當時，f(x)=x3.又函數(shù)g(x)=|xcos|，則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在上的零點個數(shù)為(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【答案】B【解析】因為當時，f(x)=x3. 所以當，f(x)=f(2

8、x)=(2x)3，當時，g(x)=xcos；當時，g(x)= xcos，注意到函數(shù)f(x)、 g(x)都是偶函數(shù)，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，作出函數(shù)f(x)、 g(x)的大致圖象，函數(shù)h(x)除了0、1這兩個零點之外，分別在區(qū)間上各有一個零點，共有6個零點，故選B【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、對稱性、函數(shù)的零點，考查轉化能力、運算求解能力、推理論證能力以及分類討論思想、數(shù)形結合思想，難度較大。(12)若，則下列不等式恒成立的是(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】設，則所以所以當時，同理即，故選C【點評】本題主要考查導數(shù)公式，以及利用導數(shù)，通過函數(shù)的單調性與最

9、值來證明不等式，考查轉化思想、推理論證能力、以及運算能力，難度較大。第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題第21題為必考題，每個試題考生都必須做答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。(13)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_?！敬鸢浮?8【解析】由三視圖可知該幾何體為一個長方體在中間挖去了一個等高的圓柱，其中長方體的長、寬、高分別為4、3、1，圓柱的底面直徑為2，所以該幾何體的表面積為長方體的表面積加圓柱的側面積再減去圓柱的底面積，即為【點評】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的表面積公式，考查空間想象能力、運算求解能力，屬于

10、容易題。本題解決的關鍵是根據(jù)三視圖還原出幾何體，確定幾何體的形狀，然后再根據(jù)幾何體的形狀計算出表面積。(14)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列an的通項公式an =_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊军c評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，轉化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題。(15)已知P，Q為拋物線上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于A，則點A的縱坐標為_?！敬鸢浮?【解析】因為點P，Q的橫坐標分別為4，2，代人拋物線方程得P，Q的縱坐標分別為8,2.由所以過點P，Q的拋物線的切線的斜率分別為4，2，所以過點P，Q的拋物線的切線方程分別為聯(lián)立方程組解得故點A的縱

11、坐標為4【點評】本題主要考查利用導數(shù)求切線方程的方法，直線的方程、兩條直線的交點的求法，屬于中檔題。曲線在切點處的導數(shù)即為切線的斜率，從而把點的坐標與直線的斜率聯(lián)系到一起，這是寫出切線方程的關鍵。(16)已知正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗樵谡忮FABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內接于球，正方體的體對角線為球的直徑，球心為正方體對角線的中點。球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高。已知球的

12、半徑為，所以正方體的棱長為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為【點評】本題主要考查組合體的位置關系、抽象概括能力、空間想象能力、運算求解能力以及轉化思想，該題靈活性較強，難度較大。該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關系，把三棱錐轉化為正方體來考慮就容易多了。三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 (17)(本小題滿分12分)在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c。角A，B，C成等差數(shù)列。 ()求的值； ()邊a，b，c成等比數(shù)列，求的值?！敬鸢讣敖馕觥俊军c評】本題主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內角和定理及等差、

13、等比數(shù)列的定義，考查轉化思想和運算求解能力，屬于容易題。第二小題既可以利用正弦定理把邊的關系轉化為角的關系，也可以利用余弦定理得到邊之間的關系，再來求最后的結果。 (18)(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱，點M，N分別為和的中點。 ()證明：平面; ()若二面角為直二面角，求的值?！敬鸢讣敖馕觥俊军c評】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定，借助空間直角坐標系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直關系，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，難度適中。第一小題可以通過線線平行來證明線面平行，也可通過面面平行來證明。(19)(本小題滿分12分)電視傳媒公司為了了解某地

14、區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查。下面是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”。 ()根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？ ()將上述調查所得到的頻率視為概率?，F(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X。若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，期望和方差。附：【答案及解析】【點評】本題主要考查統(tǒng)計中的頻率分布直方圖、獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列，期望和方差，考查分析

15、解決問題的能力、運算求解能力，難度適中。準確讀取頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)是解題的關鍵。(20)(本小題滿分12分)如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點。 ()求直線與直線交點M的軌跡方程; ()設動圓與相交于四點，其中，。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值?！敬鸢讣敖馕觥俊军c評】本題主要考查圓的性質、橢圓的定義、標準方程及其幾何性質、直線方程求解、直線與橢圓的關系和交軌法在求解軌跡方程組的運用。本題考查綜合性較強，運算量較大。在求解點的軌跡方程時，要注意首先寫出直線和直線的方程，然后求解。屬于中檔題，難度適中。 (21)(本小題滿分12分)設，

16、曲線與直線在(0，0)點相切。 ()求的值。 ()證明：當時，?！敬鸢讣敖馕觥俊军c評】本題綜合考查導數(shù)的概念、幾何意義、導數(shù)在判斷函數(shù)單調性與最值中的運用。本題容易忽略函數(shù)的定義域，根據(jù)條件曲線與直線在(0，0)點相切，求出的值，然后，利用函數(shù)的單調性或者均值不等式證明即可。從近幾年的高考命題趨勢看，此類型題目幾乎年年都有涉及，因此，在平時要加強訓練。本題屬于中檔題。請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號下方的方框涂黑。(22)(本小題滿分10分)選修41：幾何證明選講如圖，O和相交于兩點，過A作兩圓的切線分別

17、交兩圓于C，D兩點，連接DB并延長交O于點E。證明 ()； () 。【答案及解析】【點評】本題主要考查圓的基本性質，等弧所對的圓周角相等，同時結合三角形相似這一知識點考查本題屬于選講部分，涉及到圓的性質的運用，考查的主要思想方法為等量代換法，屬于中低檔題，難度較小，從這幾年的選講部分命題趨勢看，考查圓的基本性質的題目居多，在練習時，要有所側重(23)(本小題滿分10分)選修44：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標中，圓，圓。 ()在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓的極坐標方程，并求出圓的交點坐標(用極坐標表示)； ()求出的公共弦的參數(shù)方程?！敬鸢讣敖馕觥俊军c評】本題主要考查直線的參數(shù)方程和圓的極坐標方程、普通方程與參數(shù)方程的互化、極坐標系的組成本題要注意圓的圓心為半徑為，圓的圓心為半徑為，從而寫出它們的極坐標方程；對于兩圓的公共弦，可以先求出其代數(shù)形式，然后