用Delphi實(shí)現(xiàn)分形圖形的繪制

1、用Delphi實(shí)現(xiàn)分形圖形的繪制日期：2006-05-27來源： 作者：字體：大 中 小 公學(xué)成摘 要 分形理論（fractal theory）是一門新興邊緣學(xué)科在油田開發(fā)中也得到了廣泛的應(yīng)用。本文對(duì)分形幾何學(xué)進(jìn)行了初步的探索和研究，并用Delphi語言實(shí)現(xiàn)了常用分形圖形的IFS繪制算法。關(guān)鍵詞 分形 仿射變換 迭代 IFS 1 關(guān)于分形在二十世紀(jì)七十年代，數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特（B.B.Mandelbrot）在他的著作中探討了英國的海岸線有多長的問題。這個(gè)問題的解決依賴于測(cè)量時(shí)所使用的尺度，如果用公里作測(cè)量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會(huì)被忽略；改用米來做單位，測(cè)得的總長度會(huì)增加，但是一些厘米量

2、級(jí)以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩個(gè)方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個(gè)突出的點(diǎn)，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個(gè)自然限度之間，存在著可以變化許多個(gè)數(shù)量級(jí)的“無標(biāo)度”區(qū)。由于長度不是海岸線的定量特征，就要用分維的方法，于是爾勃羅特創(chuàng)立了分形幾何學(xué)。其實(shí)自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結(jié)構(gòu)，在硐肭榭魷攏踔輛哂形耷畈憒巍實(shí)鋇姆糯蠡蛩跣負(fù)緯嘰紓黿峁共桓謀洹簧俑叢擁奈錮硐窒螅澈缶褪欠從匙耪飫嗖憒謂峁溝姆中渭負(fù)窩縹錮硌

3、械耐牧鰲斷叩男巫礎(chǔ)黃稚踔漣嗨欺飛樸吞镎庵址薔實(shí)夭愕母饗畹厙蛭錮聿問餼摺杉弁嫉取哉廡窒蟮拿枋齪脫芯烤捅匭胗梅中渭負(fù)蔚姆椒?lt;/DIV 1.1 分?jǐn)?shù)維的概念我們知道0維是點(diǎn)，一維是線，二維是面，三維是空間。一條直線段是一維的，由四條這樣的直線段組成的正方形是二維的。六個(gè)這樣的正方形組成的正方體是三維的。直線的長度數(shù)值，正方形的面積數(shù)值和立方體的體積數(shù)值都和我們測(cè)量的單位有關(guān)。測(cè)量的單位也往往是我們所能分辨的最小單位。假設(shè)我們的分辨能力增加了一倍，因此我們把直線段長度單位減小到原單位的一半，直線段長度的計(jì)量值就變?yōu)樵瓉淼膬杀?，正方形面積就變?yōu)樵瓉淼乃谋?，體積則變?yōu)樵瓉淼陌吮丁Ｎ覀冇邢率? log

4、4/log2=2 log8/log2=3 如下圖1圖1這里的2和3不是巧合，這是另一種維數(shù)的定義:測(cè)度維的概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測(cè)度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限。即如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個(gè)圖形所組成，有：aD=b，D就是維數(shù)，即D=logb/loga。回到海岸線長度的問題，當(dāng)用直線段來近似曲線時(shí)，長度單位減為原來的一半往往意味著我們可以用長度為原來的二分之一的直線段來近似曲線。這時(shí)，海岸線長度增加程度近似于一個(gè)固定的倍數(shù)。對(duì)于英國海岸線來說，其值約為2.7，而log2.7/lo

5、g2=1.41，1.41就是英國海岸線的維數(shù)。 1.41由于是一個(gè)分式所得出的比值，因此人們稱之為分?jǐn)?shù)維。還有其他一些分?jǐn)?shù)維的定義方法，但得出的結(jié)果都比較近似。分?jǐn)?shù)維是衡量分形的基本參數(shù)之一。1.2 分形的特點(diǎn) 一般來說分形集滿足以下條件（1）、具有任意尺度下的比例細(xì)節(jié)（2）、不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述，它既不是滿足某些點(diǎn)的軌跡，也不是滿足某些簡(jiǎn)單方程的點(diǎn)集合。（3）、分形具有自相似性，可能是近似的自相似或統(tǒng)計(jì)的自相似。（4）、分形維數(shù)一般大于它的拓?fù)渚S數(shù)。（5）、由于具有自相似，分形集合都可以由迭代產(chǎn)生。圖21.3 常見的分形圖形（如下圖2）2 分形的迭代函數(shù)系統(tǒng)方法函數(shù)系統(tǒng)（IFS，簡(jiǎn)稱迭

6、代函數(shù)系）方法是美國佐治亞理工學(xué)院的巴斯利教授首創(chuàng)的，是分形圖形繪制的一種重要方法。IFS的基本思想是選定若干仿射變化，將整體形態(tài)變換到局部，隨著迭代次數(shù)N的增加，就可以得到滿意的結(jié)果。度量空間（X，）與定義在其上的有限個(gè)壓縮映射族j:XX，j=1，2，,n組成一（雙曲）迭代函數(shù)系，用IFS表示它，如果n的壓縮比Cj 其中h（T，G）表示距離，G為IFS的吸引子。根據(jù)此公式，只要仿射變換選擇得當(dāng)，迭代的結(jié)果可以使得目標(biāo)圖像與吸引子任意接近。仿射變換是一種線形變換，在二緯平面上進(jìn)行討論，二維仿射變換的形式為：R：X=a*x+b*y+eY=c*x+d*y+f上式中未知數(shù)有兩個(gè)：x和y；系數(shù)有四個(gè)：

7、a,b,c和d：常數(shù)有兩個(gè)：e和f。設(shè)平面上有一面積區(qū)域D，經(jīng)過仿射變換R變換后變成D,則D和D面積關(guān)系為：S（D）=|det(A)|*S(D)這里|det(A)|為矩陣A的行列式的絕對(duì)值，它是小于1的正數(shù)，其中A為系數(shù)矩陣。對(duì)于不同的R_i（I=1,2,N）,有相應(yīng)的A_I(a_i,b_i,c_i,d_i組成)，相應(yīng)的常數(shù)e_i和f_i.通常N取2，3，4，有時(shí)高達(dá)16。接著要解決的問題是怎樣實(shí)現(xiàn)隨機(jī)迭代的問題，由于在計(jì)算機(jī)中很容易實(shí)現(xiàn)用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器不斷生產(chǎn)隨機(jī)數(shù)。假設(shè)N=4，每次用計(jì)算機(jī)生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)E（0，100），設(shè)0123100,做如下規(guī)定： 若0E1,則選擇迭代規(guī)則R_1若1E2則

8、選擇迭代規(guī)則R_2若2E3則選擇迭代規(guī)則R_3若3E100,則選擇迭代規(guī)則R_4指定i的過程，就相當(dāng)于為每種迭代指定一個(gè)概率P_i。雖然說每次用哪個(gè)規(guī)則不確定，但隨著迭代次數(shù)的增加每種規(guī)則使用的頻率是一定的。3 算法實(shí)現(xiàn)運(yùn)用仿射變換和IFS的方法，用DELPHI語言實(shí)現(xiàn)了分形樹曲線的繪制。首先要確定四種不同的仿射變換R1，R2，R3，R4即A_1(a_1,b_1,c_1,d_1)A_2(a_2,b_2,c_2,d_2)A_3(a_3,b_3,c_3,d_3)A_4(a_4,b_4,c_4,d_4)以及對(duì)應(yīng)的e_i,f_i和概率p_i，根據(jù)分形樹的特點(diǎn)，結(jié)合IFS的規(guī)則做以下的假設(shè)：R1：A_1

9、(0,0,0,0.5)，e=0,f=0,0p0.05R2：A_2(0.42,-0.42,0.5,0.42)，e=0,f=0.2,0=0.05p0.45R3：A_3(-0.42,0.42,0.5,0.42)，e=0,f=-0.2,0=0.45p0.85R4：A_4(0,0.1,0,0.2)，e=0,f=0,0=0.85p1當(dāng)然可以根據(jù)需要變換系數(shù)，在實(shí)際的編程中，變換不同的行列式可以得到不同的分形樹的形狀如下圖。按照這種迭代方法迭代10000次得到的分形樹圖如下圖3，如果改變相應(yīng)的系數(shù)則得到如下圖4的分形樹。圖3圖4實(shí)現(xiàn)這種算法的流程圖如下圖5所示：圖54 分形技術(shù)的前景目前分形技術(shù)在油田勘探與開發(fā)、測(cè)井、地理信息系統(tǒng)、石油地質(zhì)、產(chǎn)量預(yù)測(cè)等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。由于鄯善油田地層平面、剖面的非均質(zhì)性，使分形技術(shù)在鄯善油田動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用成為可能，例如可以根據(jù)IFS算法求得任何一段測(cè)井