《電動(dòng)力學(xué)》知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題分析學(xué)生版

1、電動(dòng)力學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題分析、知識(shí)點(diǎn)歸納?B 0.?B 0.知識(shí)點(diǎn)2:位移電流及與傳導(dǎo)電流的區(qū)別。 答：我們知道恒定電流是閉合的：在交變情況下，電流分布由電荷守恒定律制約，它一般不再閉合。一般說來，在 非恒定情況下，由電荷守恒定律有 現(xiàn)在我們考慮電流激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律：B0J. 取兩邊散度，由于B 0，因此上式只有當(dāng)J 0時(shí)才能成立。在非恒定情形下，一般有J 0,因而式與電荷守恒定律發(fā)生矛盾。由于電荷守恒定律是精確的普遍規(guī)律，故應(yīng)修改式使服從普遍的電荷守恒定律的要求。把式推廣的一個(gè)方案是假設(shè)存在一個(gè)稱為位移電流的物理量JD，它和電流J合起來構(gòu)成閉合的量J JD0, *并假設(shè)位移電流JD與電流J

2、一樣產(chǎn)生磁效應(yīng)，即把修改為B0JJD。此式兩邊的散度都等于零，因而理 論上就不再有矛盾。由電荷守恒定律知識(shí)點(diǎn)1:一般情況下，電磁場(chǎng)的基本方程為:H卡J;（此為麥克斯?D；韋方程組）；在沒有電荷和電流分布（0, J 0的情介質(zhì)）的電磁場(chǎng)方程為:（齊次的麥克斯韋方程組）?D0；J0.電荷密度與電場(chǎng)散度有關(guān)系式tE .兩式合起來得:00與*式比較可得JD的一個(gè)可能表示式位移電流與傳導(dǎo)電流有何區(qū)別：位移電流本質(zhì)上并不是電荷的流動(dòng)， 而是電場(chǎng)的變化。它說明，與磁場(chǎng)的變化會(huì) 感應(yīng)產(chǎn)生電場(chǎng)一樣，電場(chǎng)的變化也必會(huì)感應(yīng)產(chǎn)生磁場(chǎng)。 而傳導(dǎo)電流實(shí)際上是電荷 的流動(dòng)而產(chǎn)生的。知識(shí)點(diǎn)3:電荷守恒定律的積分式和微分式，及

3、恒定電流的連續(xù)性方程。恒定電流的連續(xù)性方程為：？Jo知識(shí)點(diǎn)4:在有介質(zhì)存在的電磁場(chǎng)中，極化強(qiáng)度矢量 義方法；P與p；M與j；E、D與p以及B、H與M的關(guān)系。答：極化強(qiáng)度矢量p：由于存在兩類電介質(zhì)：一類介質(zhì)分子的正電中心和負(fù) 電中心不重和，沒有電偶極矩。另一類介質(zhì)分子的正負(fù)電中心不重和， 有分子電 偶極矩，但是由于分子熱運(yùn)動(dòng)的無規(guī)性，在物理小體積內(nèi)的平均電偶極矩為零， 因而也沒有宏觀電偶極矩分布。在外場(chǎng)的作用下，前一類分子的正負(fù)電中心被拉 開，后一類介質(zhì)的分子電偶極矩平均有一定取向性， 因此都出現(xiàn)宏觀電偶極矩分 布。而宏觀電偶極矩分布用電極化強(qiáng)度矢量P描述，它等于物理小體積V內(nèi)的總電偶極矩與V之

4、比，P比.pi為第i個(gè)分子的電偶極矩，求和符號(hào)表示V對(duì)V內(nèi)所有分子求和。磁化強(qiáng)度矢量M介質(zhì)分子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)構(gòu)成微觀分子電流， 由于分子電流取向的無規(guī)性，沒有外 場(chǎng)時(shí)一般不出現(xiàn)宏觀電流分布。在外場(chǎng)作用下，分子電流出現(xiàn)有規(guī)則取向，形成 宏觀磁化電流密度JM。分子電流可以用磁偶極矩描述。把分子電流看作載有電 流i的小線圈，線圈面積為a，則與分子電流相應(yīng)的磁矩為：介質(zhì)磁化后，出現(xiàn)宏觀磁偶極矩分布，用磁化強(qiáng)度M表示，它定義為物理小體積V內(nèi)的總磁偶極矩與V之比，知識(shí)點(diǎn)5:導(dǎo)體表面的邊界條件。答：理想導(dǎo)體表面的邊界條件為：n E,n?D。它們可以形象地n H n?B 0.表述為：在導(dǎo)體表面上，電場(chǎng)線與界面正

5、交，磁感應(yīng)線與界面相切。知識(shí)點(diǎn)6:在球坐標(biāo)系中，若電勢(shì) 不依賴于方位角，這種情形下拉氏方程的 通解。答：拉氏方程在球坐標(biāo)中的一般解為：答：電荷守恒定律的積分式和微分式分別為:dVVtp和磁化強(qiáng)度矢量M各的定式中anm, bnm, Cnm和 dnm為任意的常數(shù)，在具體的問題中由邊界條件定出。PnCOS為締合勒讓德函數(shù)。若該問題中具有對(duì)稱軸，取此軸為極軸，則電勢(shì)不依賴于 方位角，這球形下通解為:=anRn-bnTpnCOS, PnCOS為勒讓德函數(shù)，an和 bn是任意常數(shù)，由邊nR界條件確定。知識(shí)點(diǎn)7:研究磁場(chǎng)時(shí)引入矢勢(shì)A的根據(jù)；矢勢(shì)A的意義。答：引入矢勢(shì)A的根據(jù)是：磁場(chǎng)的無源性。矢勢(shì)A的意義為：

6、它沿任一閉合 回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有A的環(huán)量才有物理 意義，而每點(diǎn)上的A（x）值沒有直接的物理意義。知識(shí)點(diǎn)8:平面時(shí)諧電磁波的定義及其性質(zhì)；一般坐標(biāo)系下平面電磁波的表達(dá)式。答：平面時(shí)諧電磁波是交變電磁場(chǎng)存在的一種最基本的形式。 它是傳播方向 一定的電磁波，它的波陣面是垂直于傳播方向的平面， 也就是說在垂直于波的傳 播方向的平面上，相位等于常數(shù)。平面時(shí)諧電磁波的性質(zhì)：（1）電磁波為橫波，E和B都與傳播方向垂直；（2）E和B同相，振幅比為V；（3E和B互相垂直，EXB沿波矢k方向。知識(shí)點(diǎn)9:電磁波在導(dǎo)體中和在介質(zhì)中傳播時(shí)存在的區(qū)別；電磁波在導(dǎo)體中的透 射深度依賴的因

7、素。答：區(qū)別：（1）在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部沒有能量的損耗，電磁波可以無 衰減地傳播（在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部）；（2）電磁波在導(dǎo)體中傳播，由于導(dǎo) 體內(nèi)有自由電子，在電磁波電場(chǎng)作用下，自由電子運(yùn)動(dòng)形成傳導(dǎo)電流，由電流產(chǎn) 生的焦耳熱使電磁波能量不斷損耗。因此，在導(dǎo)體內(nèi)部的電磁波是一種衰減波（在 導(dǎo)體中）。在傳播的過程中，電磁能量轉(zhuǎn)化為熱量。電磁波在導(dǎo)體中的透射深度依賴于：電導(dǎo)率和頻率。知識(shí)點(diǎn)10：電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示的關(guān)系式。答：電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示的關(guān)系式為: 知識(shí)點(diǎn)11:推遲勢(shì)及達(dá)朗貝爾方程。R,anmRnn,mbnmmnrPnCOS COSmRn 1n,mCnmRndnmF3-m巳co

8、ssinm知識(shí)點(diǎn)12：愛因斯坦建立狹義相對(duì)論的基本原理（或基本假設(shè)）是及其內(nèi)容。答：（1）相對(duì)性原理：所有的慣性參考系都是等價(jià)的。物理規(guī)律對(duì)于所有慣 性參考系都可以表為相同的形式。 也就是不論通過力學(xué)現(xiàn)象，還是電磁現(xiàn)象，或 其他現(xiàn)象，都無法覺察出所處參考系的任何“絕對(duì)運(yùn)動(dòng)”。相對(duì)性原理是被大量 實(shí)驗(yàn)事實(shí)所精確檢驗(yàn)過的物理學(xué)基本原理。（2）光速不變?cè)恚赫婵罩械墓馑傧?對(duì)于任何慣性系沿任一方向恒為c,并與光源運(yùn)動(dòng)無關(guān)。 知識(shí)點(diǎn)13:相對(duì)論時(shí)空坐標(biāo)變換公式Uxv1坐12c知識(shí)點(diǎn)14:導(dǎo)出洛侖茲變換時(shí)，應(yīng)用的基本原理及其附加假設(shè)；洛侖茲變換同 伽利略變換二者的關(guān)系。答：應(yīng)用的基本原理為：變換的線性和

9、間隔不變性?；炯僭O(shè)為：光速不變?cè)?狹義相對(duì)論把一切慣性系中的光速都是c作為 基本假設(shè)，這x,t答：推遲勢(shì)為：x ,t - c4ordvA x,t2AJ x ,trdv達(dá)朗貝爾方程為:12A12 T2c t12?A 4Tc toJ（洛倫茲變換式）和速度變換公式。答：坐標(biāo)變換公式（洛倫茲變換式）：x vt2v2cv2xc-21勒cxvtx121v2cy1yz1z1tv2Xtcr2v2Vc洛倫茲反變換式:速度變換公式:c 2 v就是光速不變?cè)?、空間是均勻的并各向同性，時(shí)間是均勻的、 運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性。洛侖茲變換與伽利略變換二者的關(guān)系： 伽利略變換是存在于經(jīng)典 力學(xué)中的一種變換關(guān)系，所涉及的速率都

10、遠(yuǎn)小于光速。洛侖茲變換是存在于相對(duì) 論力學(xué)中的一種變換關(guān)系，并假定涉及的速率等于光速。當(dāng)慣性系S(即物體)運(yùn)動(dòng)的速度V c時(shí)，洛倫茲變換就轉(zhuǎn)化為伽利略變換， 也就是說，若兩個(gè)慣性 系間的相對(duì)速率遠(yuǎn)小于光速，則它以伽利略變換為近似。知識(shí)點(diǎn)15:四維力學(xué)矢量及其形式。答：四維力學(xué)矢量為：(1) 能量一動(dòng)量四維矢量(或簡(jiǎn)稱四維動(dòng)量):pp,-W(2)c速度矢量：Udxdx，-二(3)動(dòng)量矢量：pddtmU(4)四維電流密度矢量：JcU,JJ, ic(5)四維空間矢量：xx,ict(6)四維勢(shì)矢量：AA丄(7)A反對(duì)稱電磁場(chǎng)四維張量：FA(8)cXX四維波矢量：k k,iwc知識(shí)點(diǎn)16：事件的間隔：答

11、：以第一事件P為空時(shí)原點(diǎn)(0，0，0，0);第二事件Q的空時(shí)坐標(biāo)為：(x,y,z,t)，這兩事件的間隔為：兩事件的間隔可以取任何數(shù)值。在此區(qū)別三種情況：(1)若兩事件可以用光波聯(lián)系，有r=ct，因而s20(類光間隔);(2)若兩事件可用低于光速的作用來聯(lián)系，有r ct，因而有s20(類時(shí)間 隔)；(a)絕對(duì)未來；(b)絕對(duì)過去。(3) 若兩事件的空間距離超過光波在時(shí)間t所能傳播的距離，有r ct，因而有s20(類空間隔)。知識(shí)點(diǎn)17：導(dǎo)體的靜電平衡條件及導(dǎo)體靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件。答：導(dǎo)體的靜電平衡條件：(1) 導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布在于導(dǎo)體表面上；(2) 導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零；(3)

12、 導(dǎo)體表面上電場(chǎng)必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢(shì)面。整個(gè)導(dǎo)體 的電勢(shì)相等。導(dǎo)體靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件：知識(shí)點(diǎn)18：勢(shì)方程的簡(jiǎn)化。答：米用兩種應(yīng)用最廣的規(guī)范條件：（1） 庫(kù)侖規(guī)范：輔助條件為？A 0.（2） 洛倫茲規(guī)范：1輔助條件為：？A二0.c2t知識(shí)點(diǎn)19：引入磁標(biāo)勢(shì)的條件。答：條件為：該區(qū)域內(nèi)的任何回路都不被電流所環(huán)繞，或者說，該區(qū)域是沒有傳導(dǎo)電流分布的單連通區(qū)域，用數(shù)學(xué)式表示為：j 0:H ?dL 0L知識(shí)點(diǎn)20：動(dòng)鐘變慢：S系中同地異時(shí)的兩事件的時(shí)間間隔，即（t?匕）發(fā)生的兩事件的時(shí)間間隔t?t/在S系的觀測(cè): 稱為固有時(shí)，它是最短的時(shí)間間隔，t .知識(shí)點(diǎn)21：長(zhǎng)度收縮（動(dòng)尺縮短

13、）例如：對(duì)于方程組:12cA t12c0J（適用于般規(guī)范的方程組）。若采用庫(kù)侖規(guī)范，可得:若采用洛倫茲規(guī)范，可得:k-0（此為達(dá)朗貝爾方程）s系中同一地2t201c00)0J2A2Ac2t尺相對(duì)于S系靜止，在S系中觀測(cè)IIIx2兀在Io稱為固有長(zhǎng)度，固有長(zhǎng)度最長(zhǎng)，即IoI。知識(shí)點(diǎn)22:電磁場(chǎng)邊值關(guān)系（也稱邊界上的場(chǎng)方程） 知識(shí)點(diǎn)24：電磁波的能量和能流平面電磁波的能量為：w E2-B2平面電磁波的能流密度為：S E H能量密度和能流密度的平均值為：知識(shí)點(diǎn)25：波導(dǎo)中傳播的波的特點(diǎn)： 電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H不同時(shí)為橫波。通常選一種波模為Ezo的波，稱為橫電波（TE）；另一種波模為Hz0的波，稱為橫磁波（

14、TM。知識(shí)點(diǎn)26：截止頻率1定義：能夠在波導(dǎo)內(nèi)傳播的波的最低頻率wc稱為該波模的截止頻率。2 2m n2計(jì)算公式:（m,n）型的截止頻率為：wcmn7b；若ab，則TE101 1波有最低截止頻率wc10-若管內(nèi)為真空，此最低截止頻率為2a，22a v相應(yīng)的截止波長(zhǎng)為：c,102a.（在波導(dǎo)中能夠通過的最大波長(zhǎng)為2a）E 0.同時(shí)測(cè)定x2x1X21loX % I)知識(shí)點(diǎn)28:靜電場(chǎng)是有源無旋場(chǎng):?Eq。（此為微分表達(dá)式）穩(wěn)恒磁場(chǎng)是無源有旋場(chǎng):B 0;Boj.（此為微分表達(dá)式）l2c1、證明題:1、試由畢奧一沙伐爾定律證明？由式：BJJx3r-dv J x1 -dv又知：rUx求Uy。Uz知識(shí)點(diǎn)3

15、0:麥克斯韋方程組積分式和微分式，及建立此方程組依據(jù)的試驗(yàn)定律。E?dlL。B?dl答：麥克斯韋方程組積分式為：LE?dsS麥克斯韋方程組微分式為:?EUy知識(shí)點(diǎn)29:相對(duì)論速度變換式:Uzdt21 VUxc1dxUxVdt1VUx2cdzUz12V2cdV依據(jù)的試驗(yàn)定律為：靜電場(chǎng)的高斯定理、 的安培環(huán)路定理、磁場(chǎng)的高斯定理。三、典型試題分析?B靜電場(chǎng)與渦旋電場(chǎng)的環(huán)路定理、磁場(chǎng)中其反變換式根據(jù)此式uxdt2 1 VUxcdyUy1 :?B ? A 0所以原式得證2、試由電磁場(chǎng)方程證明一般情況下電場(chǎng)的表示式E證：在一般的變化情況中，電場(chǎng)E的特性與靜電場(chǎng)不同。電場(chǎng)E方面受到電 荷的激發(fā)，另一方面也

16、受到變化磁場(chǎng)的激發(fā)，后者所激發(fā)的電場(chǎng)是有旋的。因此 在一般情況下，電場(chǎng)是有源和有旋的場(chǎng)，它不可能單獨(dú)用一個(gè)標(biāo)勢(shì)來描述。 在變 化情況下電場(chǎng)與磁場(chǎng)發(fā)生直接聯(lián)系，因而電場(chǎng)的表示式必然包含矢勢(shì)A在內(nèi)。答：用洛倫茲變換式求運(yùn)動(dòng)物體長(zhǎng)度與該物體靜止長(zhǎng)度的關(guān)系。如圖所示，設(shè)物0J XBdv4rA01 1J x dv4rA 式中由BA 式代入EB/曰得：tE場(chǎng)，因此它可以用標(biāo)勢(shì)描述，EA t示式為：EA t 。即得證。0， 該式表示矢是無旋因此，在一般情況下電場(chǎng)的表3、試由洛侖茲變換公式證明長(zhǎng)度收縮公式因此At上同時(shí)測(cè)得的），X2X；為 上測(cè)得的物體靜止長(zhǎng)度Io。由于物體對(duì)靜止,體沿x軸方向運(yùn)動(dòng)，以固定于物

17、體上的參考系為若物體后端經(jīng)過P點(diǎn)（第事件）與前端經(jīng)過P2點(diǎn)（第二事件）相對(duì)于同時(shí)，則RP2定義為上測(cè)得的物體長(zhǎng)度。物體兩端在上的坐標(biāo)設(shè)為X；和 x2。在上P;點(diǎn)的坐標(biāo)為X；，P2點(diǎn)的坐標(biāo)為X2，兩端分別經(jīng)過R和P2的時(shí)刻為t;t2。對(duì)這兩事件分別應(yīng)用洛倫茲vt；2v計(jì)及t;t2，有x；為 上測(cè)得的物體長(zhǎng)度I（因?yàn)樽鴺?biāo)X；和 X2是在變換式得x；,X22cX2x；所以對(duì)測(cè)量時(shí)刻ti和 t2沒有任何限制。由*式得1v2l0ic2。4、試由麥克斯韋方程組證明靜電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系E.答：由于靜電場(chǎng)的無旋性，得：E?dl 0設(shè)Ci和 C2為由R 點(diǎn)到 P2點(diǎn)的兩條不同路徑。Ci與C2合成閉合回路，因此E?

18、dl E?dl 0CiC2即E?dl E?dl因此，電荷由R 點(diǎn)移至 P2點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)對(duì)它所作的功 與路徑無關(guān)，C1C2P2而只和兩端點(diǎn)有關(guān)。把單位正電荷由R 點(diǎn)移至 P2,電場(chǎng)E對(duì)它所作的功為：E?dl,Pi這功定義為R 點(diǎn)和 P2 點(diǎn)的電勢(shì)差。若電場(chǎng)對(duì)電荷作了正功，則電勢(shì) 下降。由此，P2P2P E?dl由這定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，一點(diǎn)上的Pi電勢(shì)的絕對(duì)數(shù)值是沒有物理意義的。相距為dl的兩點(diǎn)的電勢(shì)差為d E?dl.由于d一dx一dy一dz ?dl，因此，電場(chǎng)強(qiáng)度E等于電勢(shì)的負(fù)梯度xyzE.5、試由恒定磁場(chǎng)方程證明矢勢(shì)A的微分方程2A j。答：已知恒定磁場(chǎng)方程BoJ (i)(在均勻線

19、性介質(zhì)內(nèi))，把BA(2)代入(i)得矢勢(shì)A的微分方程A J.由矢量 分析公 式A?A2A.若取A滿足規(guī)范條件？A 0，得矢勢(shì)A的微分方程2A J.?A 06試由電場(chǎng)的邊值關(guān)系證明勢(shì)的邊值關(guān)系證：電場(chǎng)的邊值關(guān)系為:n E2Ei0, $n ? D2Di*式可寫為D2nDin式中n為由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線。利用D E 及 E,可用標(biāo)勢(shì)將表為：勢(shì)的邊值關(guān)系即得證。7、試由靜電場(chǎng)方程證明泊松方程答：已知靜電場(chǎng)方程為:E?D黑）并知道（3）在均勻各向同性線性介質(zhì)中，D E，將（3）式代入(2)得2為自由電荷密度。于是得到靜電勢(shì)滿足的基本微分方程，即泊松方程。8、試由麥克斯韋方程證明電磁場(chǎng)波動(dòng)方程。?E(

20、x)（X）答：麥克斯韋方程組E(x)?B x表明，變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)B x0j xt自然可以推論電磁場(chǎng)可以互相激發(fā)， 在真空的無源區(qū)域，電荷電場(chǎng)，而變化的電場(chǎng)又可以激發(fā)磁場(chǎng)，因此， 形成電磁波。這個(gè)推論可以直接從麥克斯韋方程得到， 密度和電流密度均為零，在這樣的情形下，對(duì)麥克斯韋方程的第二個(gè)方程取旋度 并利用第一個(gè)方程，得到一2E（x）嚴(yán)再把第四個(gè)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到2E x嚴(yán)，從上面兩個(gè)方程消去，得到2E x2Ext2這就是標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程。對(duì)應(yīng)的波的速度是c.9、方程組證明 電磁場(chǎng)的邊界條件E2E!0;n? D2D1; n ? B2B10.解:D ?dsS即：dVD2nSnD2D1nVD2D1

21、S.對(duì)于磁場(chǎng)B,把、;B ds 0應(yīng)用到邊界上無限小的扁平圓柱高斯面上，重復(fù)以S上推導(dǎo)可得：B2nB1n即：n B2B10作跨過介質(zhì)分界面的無限小狹長(zhǎng)的矩形積分回路，矩形回路所在平面與界面垂直，矩形長(zhǎng)邊邊長(zhǎng)為I，短邊邊長(zhǎng)為l。因?yàn)椋?:E dl 0，作沿狹長(zhǎng)矩形的E的路徑積分。由于|比I小得多，當(dāng)I0時(shí)，E沿I積分為二級(jí)小量，忽略沿I的路徑積分，沿界面切線方向積分為：E2tI EitI 0即：E2tEit0, *。*可以用矢量形式表示為：E2Eit 0 式中t為沿著矩形長(zhǎng)邊的界面切線方向單位矢量。令矩形面法線方向單位矢量為t，它與界面相切，顯然有tn t#將#式代入式，貝U E2Eint0,

22、$，利用混合積公式ABC CAB，改寫#式為：tE2Ein 0此式對(duì)任意t都成立，因此E2Ein 0，此式表示電場(chǎng)在分界面切線方向分量是連續(xù)的。10、試由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出亥姆霍茲方程2E k2E 0BJtiw H ,iw E在此注意一點(diǎn)。在0,0.w 0的時(shí)諧電磁波情形下這組方程不是獨(dú)立的。取第一式的散度，由于E 0，因而H 0，即得第四式。同樣，由第二式可導(dǎo)出第三式。在此，在一定頻率下，只有第一、二式是獨(dú)立的，其他兩式可由以上兩式導(dǎo)出。 取第一式旋度并用第二式得E w2E由2 2EE2E2E，上式變?yōu)镋 k,巳L M N O此為亥姆霍茲方,消去共同因子eiwt后得t答：從時(shí)諧情形下的麥?zhǔn)?/p>

23、方程組推導(dǎo)亥姆霍茲方程。在一定的頻率下，有D E,B H，把時(shí)諧電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)方程:E x,tB x,tiwtB：l代入麥?zhǔn)戏匠探MEHEHk wj0,O11、設(shè)A 和是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)， 現(xiàn)引入一矢量函數(shù)Zx,t（赫證明：A 和滿足洛倫茲規(guī)范，故有2、 計(jì)算題：1、真空中有一半徑為Ro接地導(dǎo)體球，距球心為a a Ro處有一點(diǎn)電荷Q,求空 間各點(diǎn)的電勢(shì)。解：假設(shè)可以用球內(nèi)一個(gè)假想點(diǎn)電荷Q來代替球面上感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的作,II用。由對(duì)稱性，Q應(yīng)在0Q連線上。關(guān)鍵是能否選擇Q的大小和位置使得球面上=0的條件使得滿足？考慮到球面上任一點(diǎn)P。邊界條件要求Q Qr rr 為 Q 到 P 的

24、距離。因此對(duì)球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有 -r出，只要選Q的位置使OQP OPQ,則Ro,或b電.3由（1）和（2）式求出QR）aa假想電荷Q的位置和大小。由Q和鏡象電荷Q激發(fā)的總電場(chǎng)能夠滿足在導(dǎo)體面上=0的邊界條件，因此是空間中電場(chǎng)的正確解答。球外任一點(diǎn) p的電勢(shì)是：1QR0Q1QR0Qa 式中r40r1ar40R2a22RacosR2b22Rbcos 丄j1為由Q到P點(diǎn)的距離，r為由Q到P點(diǎn)的距離，R為由球心O到P點(diǎn)的距離,茲矢量），若令?Z,證明 A0.式中r為Q至U P的距離,Q 常數(shù)。（1由圖可看常數(shù)。（2）設(shè)Q距球心為b，兩三角形相似的條件為0Q.(4)(3)和(4)式確定a為 OP 與 OQ 的夾角4、電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，并由此直接計(jì)算 電場(chǎng)的散度。解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對(duì)稱性，在球面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度有相同的數(shù)值E,并沿徑向。當(dāng)r a時(shí)，球面所圍的總電荷為Q,由高斯定理得由此得E L r40a10、靜止長(zhǎng)度為I。的車廂，以速度v相對(duì)于地面S運(yùn)行，車廂的后壁以速度為U。向前推出一個(gè)小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解：S系的觀察者看到長(zhǎng)度為1。；1