論論文不等式證明

1、例談中學(xué)不等式的證明方法（趙海燕）普片多西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715摘要：本論文就高中不等式，介紹了9種證明不等式的方法，分別是比較法、均值法、判別法、反證法、換元法、函數(shù)法、分析法、放縮法、綜合法，并通過舉例進(jìn)一步加強(qiáng)對各種方法的理解. 關(guān)鍵字：不等式；綜合法；比較法；分析法；反證法A Talk About the Methods of Proving Inequality of Middle School with ExamplesPianduo PuSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Cho

2、ngqing 400715, ChinaAbstract：According to the inequality of middle school, this thesis mainly introduces 9 methods with some examples to prove inequality. Those methods consist of comparison method、mean method、discriminant method、analysis method、integration method、magnifying or reducing method 、the

3、method of proofing by contradiction、exchanging element and constructing function.Keyword：inequality；integration method；omparison method；analysis method；proof by contradiction1. 引言 現(xiàn)實世界中的量有相等關(guān)系, 也有不等關(guān)系, 凡是與比較量的大小有關(guān)的問題, 都要用到不等式的知識。不等式在解決最優(yōu)優(yōu)化、最優(yōu)控制、經(jīng)濟(jì)等各類實際問題中有廣泛的應(yīng)用, 它是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)和技術(shù)的一個基本工具。不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位

4、，因此在歷年高考中頗為重視。中學(xué)不等式的問題主要有兩大類，一類是含未知數(shù)的不等式的求解問題；另一類就是不等式的證明問題。所謂證明不等式, 意在推出這個不等式對其中字母的所有允許值都成立或推出數(shù)值不等式成立。由于不等式的形式各異, 所以證明沒有固定的程序可循，技巧多樣，方法靈活因此不等式的證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點之一。為了突破難點, 我認(rèn)為有必要對一些常見的證明方法和典型的例題進(jìn)行一些思考、研究和總結(jié)。在多年學(xué)習(xí)中，我經(jīng)過反復(fù)推敲和研究, 總結(jié)了下列諸種行之有效的方法, 現(xiàn)寫出來, 希望能為不等式的教學(xué)提供一些借鑒。2. 不等式的證明方法 2.1. 比較法證明不等式定義：所謂比較法，就是通過兩個實數(shù)

5、與的差或商的符號（范圍）確定與大小關(guān)系的方法，即通過“，；或，”來確定，大小關(guān)系的方法，前者為作差法，后者為作商法。比較法證明不等式的思路：一般對于多項式類和分式類的用作差比較法，對于含有冪指數(shù)類的用作商比較法.作差時差值與比較，作商時商與比較。例1：已知aR,求證：分析：兩個多項式的大小比較可用作差法證明：3 3由知，0,又二次三項式的首項系數(shù)1>0,判別式，恒成立，點評：此例題用到了比較法的作差法，通過作差變形達(dá)到比較的目的。例2：，求證：分析：對于含有冪指數(shù)類的用作商法證明： ， 當(dāng)時，a-b>0, , 當(dāng)時，a-b=0， 當(dāng)時，a-b<0，時,1，即點評： 兩式均為單

6、項式且均為正時，用商比比較好。例3：設(shè)a>0,b>0,求證分析：由于a>0,b>0，所以求證的不等式的兩邊的值都大于零，本題用作差法、作商法給出了兩種不同證法.作差法有這樣的等價情況：而作商法則有：證法一： 0恒成立，且已知a>0,b>0,0,證法二： 由知， ，點評：同樣一個題目雖然都用了比較法，但前一種是作差法，第二種是作商法，對此我們要根據(jù)需要學(xué)會靈活做題。2.2. 利用均值不等式法均值不等式公式：（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）；（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）。推廣：（當(dāng)且僅當(dāng)=時取“”）；當(dāng)，為正數(shù)時，（當(dāng)且僅當(dāng) 時取“”）。兩端的結(jié)構(gòu)、數(shù)字具有如下特征： 次數(shù)相等；項

7、數(shù)相等或不等式右側(cè)系數(shù)與左側(cè)項數(shù)相等；一邊為和一邊為積；當(dāng)要證的不等式具有上述特征時，考慮用均值不等式證明例4： 已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 分析：觀察要證不等式的兩端都是關(guān)于a，b，c的3次多項式，左側(cè)6項，右側(cè)6項，左和右積，具備均值不等式的特征。 證明: b2+c22bc, a>0, a(b2+c2)2abc 同理，b(c2+a2)2bac, c(a2+b2)2cab, 又 因為a，b，c不全相等， 所以上述三個不等式中等號不能同時成立，因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)&g

8、t;6abc。例5：若，且，求證。分析：由，聯(lián)想均值不等式成立的條件，并把代換中的“1”，要證不等式變?yōu)榧匆嗉?發(fā)現(xiàn)與互為倒數(shù)，已具備均值不等式的特征。證明： , 此種不等式的證明整體方法為綜合法，但其證明過程中卻用了均值不等式的特征，也可以說是用均值法證明不等式，總之均值不等式的特征功不可沒，只有學(xué)會靈活應(yīng)用公式，才能解決更多關(guān)于不等式的證明（尤其是均值不等式的特征公式）。均值不等式成立的條件，結(jié)構(gòu)特征，積、和為定值，等號成立的條件，是理解應(yīng)用均值不等式的認(rèn)知角度.要學(xué)會觀察已知和未知的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)字特征，認(rèn)清其區(qū)別、聯(lián)系，聯(lián)想相關(guān)的知識點、方法，尋找解決問題的突破口。2.3. 判別式法證明

9、不等式定義：根據(jù)已知的或構(gòu)造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根，解集，函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證的不等式方法.判別式法應(yīng)用極其廣泛，它在求函數(shù)最大（小）值或值域中顯得十分重要，它的使用范圍是“解答函數(shù)的解析式可以轉(zhuǎn)化為形式的一類函數(shù)的最大（小）值或值域問題”，學(xué)習(xí)時注意對項系數(shù)和兩種情況的討論。方法：由，依據(jù)求出y的范圍。討論時的x的值是否是函數(shù)y的定義域中的值？若是，則y的范圍含的y值，是否不含這個值.本題解法對證明形如“， ”的不等式具有一般性。例6：求證：。證明：設(shè)，則，（1）當(dāng)時，由得 （2）當(dāng)y=1時，由，得x=0而x=0是函數(shù)的定義域中

10、的一個值，所以y=1是它的值域中的一個值.由（1）和（2）知，即 。點評: 用判別式法證明不等式，實際上就是求函數(shù)的最大（最?。┲祷蛑涤?它的使用范圍是“解答函數(shù)的解析式可以轉(zhuǎn)化為形式的一類函數(shù)的最大（小）值或值域問題”，學(xué)習(xí)時注意對項系數(shù)和兩種情況的討論。例7：求證：。證明: 設(shè)，則由分母的判別式知，函數(shù)的定義域是R.由，得 (1)若，則由，得,解得 。（2）若，則由，得。是函數(shù)的定義域R中的值。， 即 。2.4. 反證法證明不等式定義：從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的，這種證明方法叫做反正法.用反證法證明不等式時，必須將命題結(jié)論的反面的

11、各種情形一一導(dǎo)出矛盾這里作一簡單介紹。反證法證明一個命題的思路及步驟：1）假定命題的結(jié)論不成立；2）進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來的假定“結(jié)論不成立”是錯誤的;4）肯定原來命題的結(jié)論是正確的。例8：已知，求證：至少有一個小于等分析：本題從正面考慮情況較多，可考慮選用反證法，“小于等于”的反面是“大于”“至少有一個”的反面是“一個也沒有”。證明：假設(shè)都大于，則 根據(jù)平均值不等式，有，同理 ，顯然矛盾.所以結(jié)論成立。點評：用反證法證明不等式，常見的矛盾有三種表現(xiàn)形式：與已知矛盾；與假設(shè)矛盾；與顯然成立的事實矛盾（含公理，

12、定理等）。例9：設(shè) 求證。設(shè) 求證。分析: 本題采用反證法證明,否定為“”證明: 假設(shè)不成立，則，即 這與矛盾，假設(shè)錯誤成立點評：由本題的證明過程不難看出用反正法證明不等式的一般步驟是： 否定結(jié)論；推理論證；導(dǎo)出矛盾；肯定結(jié)論。2.5. 換元法證明不等式不等式定義：在證明不等式的過程中，將不等式中的變量（或稱未知數(shù)，或稱委員等）作適當(dāng)代換，使不等式得到證明，這種證明方法叫做不等式證明中的換元法.它沒有固定的模式，常見換元手段有“三角換元法”和“代數(shù)煥元法”.其中三角換元法常用的公式有：及等.例10：已知，求證：。分析：觀察到已知條件中的，可考慮用換元法.證明：， (求證式中分母含)可設(shè)，其中，

13、其中，于是：當(dāng)時，分子取最小值，分母取最大值.點評：一般地，已知中含有或時，可以考慮作“”代換，代換時要注意新的變量與原來的變量范圍一致。例11：已知，求證：分析：可理解為它所確定的平面區(qū)域為圓域，這樣的x,y可表示為. ,證明：可設(shè),，于是點評：由本題的解法不難看出，當(dāng)已知中含有“”時，可以考慮作“”代換,一般地,已知中含有“”時可以考慮作“”代換，代換時要注意新的變量要確保原來的變量范圍 不發(fā)生變化.這種代換的理論依據(jù)是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式圓的參數(shù)方程。類似地，可作或,代換；更一般地可作或代換。2.6. 函數(shù)法證明不等式所謂函數(shù)法就是指根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性（先構(gòu)造函數(shù)）證明不等式的方法。用

14、函數(shù)法證明不等式，難點在如何構(gòu)造函數(shù)上，而且所構(gòu)造的函數(shù)必須是單調(diào)函數(shù)，解決這個問題的關(guān)鍵是建立初等函數(shù)模型與不等式的“外形”的對應(yīng)關(guān)系。例12、 設(shè)，求證：分析：構(gòu)造一次函數(shù)解答本題.證明：構(gòu)造函數(shù),并整理得,， (1)當(dāng) 時,在上是增函數(shù)，于是;(2)當(dāng)時,在上是減函數(shù)，于是(3)當(dāng)時，即時，綜上，原不等式成立。點評:由于，所以本題就“，”三種情況進(jìn)行了討論，所用數(shù)學(xué)思想是分類討論思想。例13：設(shè)都是正數(shù)，求證：對人任意的正整數(shù)，下面的不等式成立：分析：本題構(gòu)造二次函數(shù)解答。 證明：因為下面不等式對任意的都成立：即 構(gòu)造二次函數(shù)由,得 例14：已知，求證：分析：兩個對數(shù)的積較難進(jìn)行變形，但

15、注意到它們的底相同，可以利用均值不等式轉(zhuǎn)化為和，然后利用對數(shù)的和先去把真數(shù)相乘再取對數(shù)，從而使問題得到解決。證明：,又,而點評: 綜合運用“函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式，不等式的性質(zhì)”等證明或解不等式，是解答不等式和函數(shù)的綜合題的好方法和有效途徑，證明含有“二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)”等模型的不等式，將函數(shù)的單調(diào)性與不等式理論有機(jī)結(jié)合起來，問題往往會得到簡化。2.7. 分析法證明不等式定義：從求證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立，這種方法叫做分析法。分析法的證明思路：“

16、執(zhí)果索因”即從求證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直至找到已知不等式為止。分析法是證明不等式時的一種常用基本方法，在證題不知從何下手時，有時可以運用分析法而獲得解決。在“執(zhí)果索因”遞推過程中，要學(xué)會經(jīng)常小結(jié)常用技巧（通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母、乘方、開方）。例15：求證證明：為了證明原不等式成立，只需證明即 ，只需證明成立原不等式成立例16：設(shè)實數(shù)x，y滿足，求證：證明：（分析法）要證，只要證：，又，只需證：只需證，即證，此式顯然成立。點評：運用分析法時，需積累一些解題經(jīng)驗，總結(jié)一些常規(guī)思路，這樣可以克服無目的的亂碰，從而加強(qiáng)針對性，較快地探明解題途。2.8.

17、放縮法證明不等式定義：從不等式的一邊入手，逐漸放大或縮小不等式，直到得到不等式的另一邊，這種方法叫做放縮法.欲證，通過適當(dāng)放大或縮小，借助一個或多個中間量使得，（或）即利用傳遞性達(dá)到欲證明的目的。放縮法就是在證明過程中,利用不等式的傳遞性,作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小,證明比原不等式更好的不等式來代替原不等式的證明.放縮法的目的性強(qiáng),必須恰到好處, 同時在放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及.否則不能達(dá)到目的。例17：設(shè)、是三角形的邊長，求證證明：由不等式的對稱性，不妨設(shè)，則 且， 評析：本題中為什么要將與都放縮為呢？這是因為,而無法判斷符號，因此無法放縮。所以在運用放縮法時要注意放縮能

18、否實現(xiàn)及放縮的跨度。2.9. 綜合法證明不等式定義：從已知或證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式，這種證明方法叫做綜合法。綜合法證明不等式的思路：由已知逐步逼向未知，其中充分利用已知條件、公理及不等式的性質(zhì)，即：“由因?qū)Ч?。?8：設(shè)m等于，和1中最大的一個，當(dāng)時，求證：分析：本題的關(guān)鍵是將題設(shè)條件中的文字語言“m等于，和1中最大的一個翻譯為符號語言“，”，從而知。證明：（綜合法），。例19：已知，求證：證明： 1= 又 點評：由上面例子可以明顯地看出綜合法的最大的特點：從已知條件入手去探明解題途徑。概括的說：由因?qū)Ч磸囊阎次粗?，再逐步推向未知?. 結(jié)束語在證明不等式時，常常先用分析法思考，然后用綜合法表達(dá)，在運用綜合法時，同向不等式相加和相乘又是常用的手段，還有不等