2013屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第11章計數(shù)原理Word版

1、第十一章 計數(shù)原理本章知識要點(diǎn)【考綱要求】1. 分類與分步計數(shù)原理、排列組合以及二項(xiàng)式定理都為級要求2掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題；理解排列與組合的意義，掌握排列數(shù)與組合數(shù)計算公式以及組合數(shù)性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題；掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計算和證明一些簡單的問題3排列與組合高考重點(diǎn)考察學(xué)生理解問題、綜合運(yùn)用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理分析問題和解決問題的能力及分類討論思想它是高中數(shù)學(xué)中從內(nèi)容到方法都比較獨(dú)特的一個組成部分，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)知識由于這部分內(nèi)容概念性強(qiáng)，抽象性強(qiáng)，思維方法新穎，同時解題過程中極易犯“重

2、復(fù)”或“遺漏”的錯誤，而且結(jié)果數(shù)目較大，無法一一檢驗(yàn)，因此要學(xué)好本節(jié)有一定的難度解決該問題的關(guān)鍵是學(xué)習(xí)時要注意加深對概念的理解，掌握知識的內(nèi)在了解和區(qū)別，嚴(yán)謹(jǐn)而周密地去思考分析問題二項(xiàng)式定理是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論和數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，高考重點(diǎn)考查展開式及通項(xiàng)，難度與課本內(nèi)容相當(dāng)另外利用二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決一些較簡單而有趣的小題，在高考中也時有出現(xiàn) 【知識回顧】1分類計數(shù)原理（也稱加法原理）：做一件事情，完成它可以有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法2分步計數(shù)原理（也稱乘法原理）：做一件事情，完

3、成它需要分成個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做步有種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法3一般地說， _，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列4 _，叫做從個為不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示排列數(shù)公式 這里，其中等式的右邊是 個連續(xù)的自然數(shù)相乘，最大的是 ，最小的是 5 ，叫做個不同元素的一個全排列，全排列數(shù)用_表示，它等于自然數(shù)從1到的連乘積，也稱為 的階乘，用 表示6一般地說，_，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合7排列與組合的共同點(diǎn):_，而不同點(diǎn)_.8._，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示組合數(shù)公式 _ 9組合數(shù)性質(zhì)： 10

4、 _()，這個公式稱做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù) 叫做二項(xiàng)式系數(shù)式中的 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)公式 是表示展開式的第項(xiàng)11二項(xiàng)式定理中，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)有： 在二項(xiàng)式展開式中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即：. 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大，即當(dāng)是偶數(shù)時，是奇數(shù)，展開式共有項(xiàng)，中間一項(xiàng)，即：第 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為 ；當(dāng)n是奇數(shù)時，n+1是偶數(shù)，展開式共有n+1項(xiàng)，中間兩項(xiàng)，即第 項(xiàng)及每 項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為 二項(xiàng)式系數(shù)的和等于 ，即 二項(xiàng)展開式中，

5、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和 即 【方法回顧】例1個排成一排，在下列情況下，各有多少種不同排法？（1）甲排頭，（2）甲不排頭，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必須在一起，（4）甲、乙之間有且只有兩人，（5）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，（6）甲在乙的左邊（不一定相鄰），（7）甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序，解答：分析：(1)有特殊元素或特殊位置優(yōu)先考慮；（2）元素必須相鄰-捆綁法；（3）元素不相鄰-插空法（4）元素有順序限制-除序法（1）甲固定不動，其余有，即共有種；（2）甲有中間個位置供選擇，有，其余有，即共有種；（3）先排甲、乙、丙三人，有，再把該三人當(dāng)成一個整體，再加上另四人，相當(dāng)

6、于人的全排列，即，則共有種；（4）從甲、乙之外的人中選個人排甲、乙之間，有，甲、乙可以交換有，把該四人當(dāng)成一個整體，再加上另三人，相當(dāng)于人的全排列，則共有種；（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五個空位，甲、乙、丙三人排這五個空位，有，則共有種；（6）不考慮限制條件有，甲在乙的左邊（不一定相鄰），占總數(shù)的一半，即種；（7）先在個位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三個空位，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序自動入列，不能亂排的，即例2在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工。現(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法? 解

7、答：以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當(dāng)中有幾個去當(dāng)鉗工分為以下幾類：第一類：這兩個人都去當(dāng)鉗工，有種； 第二類：這兩人有一個去當(dāng)鉗工，有種； 第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有種 因而共有185種3已知的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列（1）求的值；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解答：（1）由題設(shè)，得 ，即，解得或（舍去）（2）設(shè)第的系數(shù)最大，則即 解得或所以系數(shù)最大的項(xiàng)為， 說明：掌握二項(xiàng)式定理，展開式的通項(xiàng)及其常見的應(yīng)用74計數(shù)原理【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1小凡同學(xué)有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀。（1）若他從這些參考書中帶一本去

8、圖書館，有_種不同的帶法（2）若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各一本，有_種不同的帶法（3）若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，有_種不同的帶法2在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有_個3將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有_種4從集合1，2，3，10中，選出由5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)的和不等于11，這樣的子集共有_個.5乘積的展開式中有_項(xiàng)6設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸跳動，每次向正方向、負(fù)方向跳一個單位，經(jīng)過5次跳動，質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)(3，0)（允許重復(fù)過此點(diǎn)）處，則不同的運(yùn)動方法共有_種【例題分析】例在一次考試中，要求學(xué)生做試卷中10個考題的6

9、個（只允許做6道題），并且要求至少包含后5 題中的3道題，問：考生有多少不同的選取方法？例給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母或，后兩個要求用數(shù)字.問最多可以給多少個程序命名？例已知是集合 到集合的映射，則不同的映射有多少個？例4已知直線 中，,是取自集合中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么這樣的直線最多有多少條？【拓展提升】例5將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有多少種？ 75排列與組合（1）【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1一個乒乓球隊(duì)里有男隊(duì)員5人，女隊(duì)員4人，從中選出男、女隊(duì)員各一名組成混合雙打，共有 種

10、不同的選法.2已知，則的值為_3甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有_種4在1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有_ 個5 以一個正三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有_個6某通訊公司推出一組手機(jī)卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共個號碼公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為 【例題分析】例1解下列各題：（1）化簡；（2）計算；（3）已知，求；例2假設(shè)在100件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少種？（1）沒有次品；

11、（2）恰有兩件是次品；（3）至少有兩件是次品 例3某年級開設(shè)語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和體育七門課程，滿足下列條件的課程表有多少種？（1）一天開設(shè)七門不同的課程，其中體育不排第一節(jié)，也不排第七節(jié)（2）一天開設(shè)不同的四門課程，其中體育不排第一節(jié)也不排第四節(jié)例4已知平面，在內(nèi)有4個點(diǎn)，在內(nèi)有6個點(diǎn).（1）過這10個點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個不同平面？（2）以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作多少個三棱錐？（3）上述三棱錐中最多可以有多少個不同的體積？ 【拓展提升】例5.男運(yùn)動員6名，女運(yùn)動員4名，其中男女隊(duì)長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運(yùn)動員3名，女

12、運(yùn)動員2名；（2）至少有1名女運(yùn)動員；（3）隊(duì)長中至少有1人參加；（4）既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動員.76排列與組合（2）【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有_種2某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段,傳遞活動分別由6名火炬手完成,如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種3在奧運(yùn)選手選拔賽上，8名男運(yùn)動員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1、2、3、4、5、6、7、8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運(yùn)動員比賽的方式共有 種.4如圖所示，用五種不同的

13、顏色分別給A、B、C、D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有 種. 5某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種小張用10元錢 買雜志(每種至多買一本，10元錢剛好用完)，則不同買法的種數(shù)是_ 6某校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中三門由于上課時間相同，至多選一門，學(xué)校規(guī)定每位同學(xué)選修4門，共有種不同選修方案【例題分析】例1 4男3女坐成一排(1)共有多少種不同的排法？(2)某人必須在中間，有多少種不同的排法？(3)某兩人只能在兩端，有多少種不同的排法？(4)某人不在中間，也不在兩端，有多少種不同的排法？(5)甲乙兩人必須相鄰，有多少種不同的

14、排法？(6)甲乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？(7)甲乙兩人必須相隔1人，有多少種不同的排法？(8)4男必須相鄰，有多少種不同的排法？(9)3女必須互不相鄰，有多少種不同的排法？(10)4男不在兩端，有多少種不同的排法？(11)甲在乙左邊，有多少種不同的排法？(12)4男不等高，按高矮順序排列，有多少種不同的排法？(13)男女相間而排，有多少種不同的排法？(14）若此7人坐兩排，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？例2用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)（1）可以組成多少個不同的四位數(shù)？（2）可以組成多少個不同的四位偶數(shù)？（3）可以組成多少個能被25整除的四位數(shù)？（4）將

15、（1）中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一列數(shù)，問第85個數(shù)是什么？ 例3六本不同的書，按下列要求，各有多少種不同的分法？分給學(xué)生甲3 本，學(xué)生乙2本，學(xué)生丙1本；分給甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；分給甲、乙、丙3人，每人2本；分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；分成3堆，每堆2 本；分給分給甲、乙、丙3人，其中一人4本，另兩人每人1本；分成3堆，其中一堆4本，另兩堆每堆1本例4將4個編號為1，2，3，4的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子中(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)恰好有一個空盒，有多少種放法？(4)每個盒內(nèi)放一個球

16、，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種放法？ (5)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？(6)把4個不同的小球換成20個相同的小球，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不少于它的編號數(shù)，有多少種放法？【拓展提升】例5有6個人，穿紅、黃、藍(lán)3色衣服的各有2人，他們排成一排.（1） 若同種顏色衣服的人必須排在一起，共有多少種不同的排法？（2） 要求穿同種顏色衣服的人不能相鄰，共有多少種不同的排法？ 77二項(xiàng)式定理【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1 如果，則=_2若的展開式中含的系數(shù)為，則的值為 3在為正整數(shù)的二項(xiàng)展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，則的值為_4除以5的余數(shù)為_5的展開式中的系數(shù)

17、是_ 6在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_【例題分析】例1（1）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）已知的展開式中的系數(shù)為，求常數(shù)的值；（3）求的展開式中含的項(xiàng).例2若展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求：（1）展開式中含的一次冪的項(xiàng)；（2）展開式中所有含的有理項(xiàng)；（3）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)例3設(shè)，求（1）的值；（2）的值；（3）的值例4利用二項(xiàng)式定理求證: 【拓展提升】例5設(shè),.(1)當(dāng)時,展開式中的系數(shù)是20,求的值；(2)利用二項(xiàng)式定理證明:.78本章回顧【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1某城市的街道如圖，某人要從A地前往B地，則路程最短的走法有_種. 2在100件產(chǎn)品中有6件次品,現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品,至少有1件次品的不同取法的種

18、數(shù)是_. 3在的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_. 4從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有_種. 5某班舉行聯(lián)歡會，原定的五個節(jié)目已排出節(jié)目單，演出前又增加了兩個節(jié)目，若將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，則不同的插法總數(shù)為_. 6已知，則= .7某單位有7個連在一起的停車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停放方法有 種.【典型例題】例1個人坐在一排個座位上,問（1）空位不相鄰的坐法有多少種?（2） 個空位只有個相鄰的坐法有多少種?（3）個空位至多有個相鄰的坐法有多少種?例2現(xiàn)有印著0，l，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可