2019_2020學年高中數學第3章空間向量與立體幾何章末復習課講義蘇教版選修2_1

1、第3章空間向量與立體幾何章未復習課匚體系構建二空間向他與立體幾何空間向盤空間向fit 的數限租空皿向fit 基本定理空間向顯及j1達算由向向量立體兒何中的向量方法款向M即高-10 -空間向量的基本概念及運算【例1】 如圖，在四棱錐 S-ABC陰，底面ABCM邊長為1的正方形，S到A、R C D的距離都等于2.給出以下結論： SA+ SB+ SO SD= 0; SA+ SB- SC- SD= 0;SA- SB+ SC- SD= 0;SA SB= SC- SDSA- SC= 0.其中正確結論的序號是 . _解析 容易推出SA- SB+ SC- SD= BA+ DC= 0,所以正確；又因為底面 AB

2、CD邊長為 1 的正方形，SA= SB= SC= SD= 2,所以 SA- SB= 2 2 cos/ ASB SC- SD= 2 2 cos/CSD而/ ASB= / CSD于是SA- SB= SC SD因此正確，其余三個都不正確，故正確結論 的序號是.答案1 .空間向量的線性運算包括加、 減及數乘運算，選定空間不共面的三個向量作為基向量,并用它們表示出目標向量，這是用向量法解決立體幾何問題的基本要求，解題時可結合已知和所求，根據圖形，利用向量運算法則表示所需向量.2 .空間向量的數量積(1)空間向量的數量積的定義表達式a - b=| a|-| b|cosa,b>及其變式 cosa,b&

3、gt;a2= | a| 2, a 在 b是兩個重要公式.(2)空間向量的數量積的其他變式是解決立體幾何問題的重要公式，如上的投影a-T-=|a| - cos 0等.| b|I。跟蹤訓練1 .如圖，已知 ABCDA' B' C D'是平行六面體.設M是底面ABCD勺中心，N是側面BCC B'對角線 分點，設MN= a AB+ BAN 丫 AA',則 a + § + 丫 =_ 32 連接BD則M為BD的中點，一 一 一 1 一 3 一 1 一 一 3 一 一MN= MBF BN= 2DB 4BC =(DN AB+4( BO CC 3 1 17 3

4、AAAB+4(AAAA )=/母4AA4AA .1-13 .3,一 a =5，B=7 Y = a + B + Y =引空間向量的坐標運算ZZ''1 Z【例 2】(1)已知 a=(2,3 , 4), b=(4, 3, 2), b=-x-2a,則 x=()A.(0,3 , 6)B.(0,6, 20)C.(0,6 ,-6)D.(6,6, 6)(2)已知向量 a=(x, 1,2) , b=(1, v，2), c= (3,1 , z), all b, b±c.求向量a, b, c；求a+ c與b+ c所成角的余弦值.1(1) B 由 b=2x2a 得 x = 4a+2b,又 4

5、a+2b=4(2,3 , 4) + 2(4, 3, - 2) = (0,6 , 20),所以 x= (0,6 , - 20).(2)解.向量 a=(x, 1,2) , b=(1 , v， 2) , c=(3,1 , z),且 all b, b±c,x 123+y-2z=0x=- 1,解得y= - 1, z=1,.向量 a= (-1,1,2) , b= (1 , 1, 2), c=(3,1,1) a+c=(2,2,3) , b + c=(4,0 , - 1),.(a+c) (b + c) =2X4+2X0+3X( 1) = 5,| a+ c| =y2 + 2n + 3, =217, |

6、 b + c | =寸4? + 02 + - 1 * = y 17,. .a+c與b+c所成角的余弦值為 二。“ hl： = 4.| a+ c| b+ c|17母律方熟記空間向量的坐標運算公式設 a=(x1, y1, Z1), b=(x2, 乎,Z2),1 .加減運算： a±b=(x±x2, y1±y2, Z1±Z2).2 .數量積運算：a b=xx2+yy2+Z1Z2.3.向量夾角:cosa, b>x% + y1y2+Z1Z2222222-：:<-x1 + y1 + Z1 r,< x2 + y2 + Z24 .向量長度：設 M(x1,

7、 y1, Z1) , M(x2, y2, Z2),貝U | MM| =y x一x22+ y1一y22+ Z1 Z2 提醒：在利用坐標運算公式時注意先對向量式子進行化簡再運算.即蹤訓城5 .在空間直角坐標系中，已知點A(1 , 2,11) , B(4,2,3) , C(6 , 1,4),則 ABC一定是()A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形C ,. AB= (3,4 , - 8) , AO (5,1 , - 7) , BC= (2 , 3,1),| AB| =m2+ 42+ - 8 2 =V89, | AC =寸 52+ 12+ - 7 2 =隼,| BC| = &qu

8、ot;22+ -3 2+1 =布,.| AC2 + |BC2=| AB2,.ABC-定為直角三角形.,類型3利用空間向量證明平行、垂直問題【例 3】 在四棱錐 P-ABC珅，ABI AD CDL AD PAL底面 ABCD PA= AD= CD= 2AB= 2,M為PC的中點.(1)求證：BM/平面 PAD(2)平面PADJ是否存在一點 N,使MNL平面PBD若存在，確定 N的位置；若不存在,說明理由.思路探究(1)證明向量BM1直于平面PAD勺一個法向量即可;(2)假設存在點N,設出其坐標，利用 MNL BD MNL PB,列方程求其坐標即可.解以A為原點，以AB AD AP分別為x軸、y軸

9、、z軸建立空 間直角坐標系如圖所示，則B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),Mi , 1,1),(1)證明：BM= (0,1,1),平面PAD勺一個法向量為n= (1,0,0), .BM- n=0,即 BML n,又BM?平面PADBM/平面PAD(2) BD= ( -1,2,0) , PB= (1,0 , -2),假設平面PAErt存在一點N,使MNL平面PBD設 N(0 , y, z),則 MNk ( - 1, y- 1, z-1), 從而 MNL BD MNL PBMN BD= 0,MN PB= 0,1 + 2 y 1 =0,-1 -2 z- 1 =0,

10、1y=Q, 21 11 1 N 0, 2, 2，在平面 PACrt存在一點 N 0,2，使 MNL平面 PBDz=5，規(guī)律方法利用空間向量證明空間中的位置關系1 .線線平行：證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量.2 .線線垂直：證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直.3 .線面平行：(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；(2)證明可在平面內找到一個向量與直線的方向向量是共線向量；(3)利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內兩不共線向量線性表示.4 .線面垂直：(1)證明直線的方向向量與平面的法向量平行；(2)利用線面垂直的判定定理轉化為線線垂直問題.5

11、 .面面平行：(1)證明兩個平面的法向量平行 (即是共線向量)；(2)轉化為線面平行、線線平行問題.6 .面面垂直：(1)證明兩個平面的法向量互相垂直；(2)轉化為線面垂直、線線垂直問題.跟蹤訓墻3.如圖，長方體 ABCDABGD中，點 M N分別在BB, DD上, 且 AML AB, ANL AD.(1)求證：AC，平面AMN(2)當AB= 2, AD= 2, AA= 3時，問在線段 AA上是否存在一點 P使得GP/平面AMN若存在，試確定 P的位置.解(1)證明：因為 CBL平面 AABB, AM?平面AABB,所以 CBL AM 又因為 AML AB, ABA CB= B,所以AML平面

12、ABC,所以AC± AM同理可證 AC± AN又AW AN= A,所以AC，平面AMN(2)以C為原點，C所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CC所在直線為z軸，建立空 間直角坐標系，因為 AB= 2, AD= 2, AA= 3,所以 qo,0,0) , A1(2,2,3) , G(0,0,3) , CA= (2,2,3), 由(1)知CAL平面AMN 故平面AMN勺一個法向量為 CA= (2,2,3)設線段AA上存在一點 R2,2 , t),使得GP/平面AMN則CP= (2,2 , t3), 因為CP/平面AMN 所以GP，CA= 4+4+3t 9=0,解得t = 1.

13、所以P2, 2, 1 ,33所以線段AA上存在一點一一 1P2, 2,不，使得CP/平面AMN3費快4利用空間向量求空間角【例4】 如圖，在等腰直角三角形 ABO, / A= 90° , BC= 6, D, E分別是AC AB上的點，CD= BE= 用。為BC的中點.將 ADEgDE折起，得到如圖(2)所示的四棱錐 ABCDE其中A' O= 3(1)證明：A O,平面BCDE(2)求二面角 A -CDB的平面角的余弦值.思路探究(1)利用勾股定理可證 A O± OD A OL OE從而證得 A O_L平面BCDE(2)用“三垂線”法作二面角的平面角后求解或用向量法求

14、兩個平面的法向量的夾角.解(1)證明：由題意，得 OC= 3, AC= 3A/2, AD= 2J2.如圖，連接 OD OE在。由，由余弦定理，得OD= 0OC+ CD- 2OC CDCos 45 = 鄧.由翻折不變性，知 A D= 2V2,所以 A C2+OD= A E2,所以 A O±OD同理可證A O± OE又因為OCT OE= Q 所以A O,平面BCDE(2)如圖，過點O作OHL C咬CD的延長線于點因為A O,平面BCDE OHL CD所以A Hl± CD所以/ A' HO為二面角A' - CDB的平面角.結合圖(1)可知，H為AC的中點

15、，故OH=平從而 A H= ：OH+ A O=:30.所以 cos / A' HO=OH . 15所以二面角A' - CD-B的平面角的余弦值為 爛11H單方法用向量法求空間角的注意點1 .異面直線所成角：兩異面直線所成角的范圍為0° < e <90° ,需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解.2 .直線與平面所成的角：要求直線a與平面a所成的角0,先求這個平面 a的法向量 一，小，一、一,汽，、口,汽n與直線a的方向向重a夾角的余弦cosn, a，易知8= n, a> "或者萬一n, a.3 .二面角：如圖，有兩個平

16、面”與B ,分別作這兩個平面的法向量 ni與稟，則平面a與3所成的角跟法向量ni與山所成的角相等或互補，所以首先應判斷二面角是銳角還是鈍角.跟蹤訓城4.在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是底面圓O'的直徑，FB是圓臺的一條母線.(1)已知G, H分別為EC FB的中點，求證：GH/平面ABC(2)已知 EF= FB= 2aC= 20 AB= BQ 求二面角 F-BCA 的弦值.解(1)證明：設CF的中點為I ,連接GI, HI.在CEF中，因為點 G I分別是CE CF的中點,所以GI / EF又 EF/ OB 所以 GI / OB在CFB中，因為 H, I分別是FB, CF的中點，所以HI / BC又 HI nGI=I , BS OB= B,所以平面 GHI/平面 ABC因為GH?平面GHI,所以GH/平面ABC(2)連接OO ,則OO 1平面 ABC又AB= BC且AC是圓O的直徑，所以BQL AC以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐