第05章01定積分概念

1、第5章定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用第1節(jié)定積分的概念1.1具體實(shí)例 例1.1曲線y = f (x)(a x b), y =0, x= a, x= b圍住的曲邊梯形女口 圖。要計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積 A。解、分四步計(jì)算。1、分割：a =Xo X2 川 CXn Xn =bO a =x0 X1 X2y =f(x)Xi 丄 XiXn Xn =b X圖1.12、近似：記心Xi = Xi -Xi4V-i Xi, Xi，A -fGXi(i =1,2,川，n )。3、求和:A =送 g 土工 f(-ixii 94、取極限：記A -maxx。當(dāng)at 0時(shí)，每個(gè)iXi都趨于0,總面積的誤差也趨于0。所以nA =

2、l四三f （）綱例1.2設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在X軸上從a運(yùn)動(dòng)到b，期間在X點(diǎn)受到的外力 為f（X）。求外力做的功W。解、分四步計(jì)算。1、分害U： a = Xi c X2 曰 11 V Xn C Xn + = b2、近似：記=Xh1 - Xif&）也 XXi,Xi+,（i =1,2,川，n ）。3、求和:nW =2 AWii d：n止 W f（q）AXii d：4、取極限：記幾=maX仏x。當(dāng)幾t 0時(shí)，每個(gè)iXi都趨于0,總功的誤差也趨于0。所以nW =ljm 5： f （SAXj像這樣用這四步來(lái)計(jì)算的例子還有千千萬(wàn)萬(wàn)。下面我們系統(tǒng)地一次性把千千萬(wàn)萬(wàn)個(gè)例子講完。-221 -1.2定積分的定義 定義1.1

3、設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有定義且有界。(1 )分割：a = X1 X2 曰II Xn C XnH4 = b=紬一 x(2) “近似”記ixiwqXi,Xi，fCiX(i =1,2,|i,n )。(3)求和:nZ f(q)Axi 二(4)取極限：記A=maxax。當(dāng)0時(shí)，每個(gè)Axi都趨于0。1空 尹j不存在，則稱f(x)在a,b上不可積；好y i X尸人存在，則稱A為f (X)在a,b上的定積分，記為bnMJa f(x)dx = A =ljm 2此時(shí)說(shuō)f (x)在a,b上可積，記為f(x)Ra,b。f (x)稱為被積函數(shù)，f (x)dx稱為被積表達(dá)式，a稱為積分下 限，b稱為積分上限，J稱為積分

4、號(hào)，a,b稱為積分區(qū)間。積分 變量x在a, b中變化?？梢?jiàn)，給了 f (x)，就用以上四步來(lái)計(jì)算f (x)在a,b上的定積b分 J f(x)dx 。a因?yàn)槊總€(gè)AxiT 0,所以一點(diǎn)的函數(shù)值不影響可積性，也不影響積分的值。有限個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值也一樣。當(dāng)f(x)有各種各樣的實(shí)際意義，bnf(x)dx=A=l四s f(4)AXi就相應(yīng)地有了各種各樣的實(shí)際意義。bb例1.1說(shuō)J f(x)dx是曲邊梯形的面積；例1.2說(shuō)J f(x)dx是外力aaf(x)做的功。因此，我們一次性講完了千千萬(wàn)萬(wàn)個(gè)例子。(數(shù)學(xué)的 好處在于它一次性講完千千萬(wàn)萬(wàn)例子！)關(guān)于定義1.1的說(shuō)明：(1)為了使極限limZ f()iXi存在

5、，極限的結(jié)果不能依賴具體的分割，也不能依賴匕-Xi,紬的取法。(2)b如果事先已經(jīng)知道f(x)在a,b上可積，計(jì)算；f(x)dx時(shí)就可以用 特殊的分割和特殊的取點(diǎn)m-Xi,Xr，使得計(jì)算比較簡(jiǎn)單。最特殊 的分割和取點(diǎn)就是把a(bǔ),b n等分且把m取在分點(diǎn)上。確實(shí)有一些函數(shù)是不可積的。比如狄利克雷函數(shù)D(x)。不管怎么分割，每個(gè)小區(qū)間Xi,x卅上永遠(yuǎn)有有理數(shù)也永遠(yuǎn)有無(wú)理數(shù)。n當(dāng)勺qXi,Xi十都取有理數(shù)時(shí)，S D(G)Ax=b-a，而當(dāng)qqXi,Xi+,nb都取無(wú)理數(shù)時(shí)，送D(q)Axi =0。所以JaD(x)dx電職0送Dixi不存在。那么，什么函數(shù)是可積的呢？下面定理1.1、1.2、1.3給出了

6、一 些可積的充分條件。注意：這些條件不是必要的。定理1.1定理1.2若 f(x)在a,b上連續(xù)，則 f(x)?Ra,b.若f(x)在a,b上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x) ? Ra, bl 定理1.3若f(x)在a,b上單調(diào)有界，則f(x)?Ra,b.1.2定積分的幾何意義(1)當(dāng) fX) 0 xHab時(shí),bJ f(x)dx等于曲邊梯形的面積;a(2) f(x)蘭0(x引a,b)時(shí)，bf(q)Axi =-Nf(x)|dxbnnL f(x)dx=lim2 f(G)Ax = 1口2aQS0 i冷 i =1等于負(fù)的曲邊梯形的面積(在x軸下方)；b(3) 當(dāng)f(x)有正有負(fù)時(shí)，J f(x)dx (

7、分別分成正部分和負(fù)部a補(bǔ)充規(guī)定:分積)等于各正負(fù)曲邊梯形的面積的代數(shù)和。baaf(x)dx。JbbJ f (x)dx =0, J f (x)dx = “a“a題目(考點(diǎn))：給定f (x)和a, b，計(jì)算J f(x)dx。ab我們很容易想到用定義計(jì)算J f(x)dx。但是，那幾乎是辦不ab到的。我們慢慢尋找簡(jiǎn)單地計(jì)算J f(x)dx的方法。為此，我們先熟a悉思考題：1 .在上述定義中，I ? 0是否能用n? ?來(lái)替換，為什么?(n ?不能保證I ? 0。)b【例1.3】 用定義證明：Q sin x dx = cos a - cosb .解 由于被積函數(shù)f(x)=s inx在積分區(qū)間上連續(xù)、可導(dǎo)，

8、對(duì)于區(qū)間a,b的任意分割T : a = X0 X1 X2 L Xn- 1 0，取 d-，當(dāng) I d 時(shí)，有1*i nb- abQ sin X dx - (cosa - cosb) eb故由定積分定義知：Q sin X dx = cos a- cosb .【例1.41用定義計(jì)算定積分Qbx2dx .解 由于f(x)= X2在a,b上連續(xù)，故f(x)=x2在a,b上可積，即lim0? x2Dxi存在，且此極限與分割T的取法，X的取法無(wú)關(guān)，因此, 0 i = 1可以用易于計(jì)算的方式來(lái)分割a,b和取點(diǎn)Xi .(1)分割：將區(qū)間a,b分成n等分，得Dxi = -_a，分點(diǎn)為a = xo， nXi = i

9、(b- a) + a， i = 1,2, L ,n .近似：取每個(gè)小區(qū)間Xi-1,Xi的左端點(diǎn)為Xi,即i -1Xi = Xi-1 = a + (b- a) (i = 1,2, L ,n ),貝Un2? i 1 b b a2(b- a)2w 2丿？(i 1)2 n?bnf(Xi )DXi = Xi DXi =犏 + -(b- a) -+ 2a(b-a)(i- 1) +n作和:XD2 1Xn曬可i2 2a(b- a)八八.(b- a) + (i-1)+Aa 12+2a(b- a)邋(i- 1) + n 犏n i=1輊2-(i -1)22(b- a)cb- a?nn2(i - 1)i= 12 2a

10、(b - a) (n - 1)n+ n ?22n2(b- a) ?(n - 1)鬃(2n - n261)1=a2(b- a) + a(b- a)2 (l-b- an(4)取極限，注意到l =3+罟仁)(4)-，所以I ? 0等價(jià)于n，于是:b2A f (x) dx = lim ? x2DXiQni = 1犏2(b- a)+ a(b-3a)2(1-汀a)=a2(b- a) + a(b- a)2 + (b- a) = -(b333=lim 犏3、a )一般地有:b若 f(x)? Ra,b，貝U.-輊 i ,、？b- arn f(x)dx= lim ?犏+n(b- a)?習(xí)題5- 11.利用定積分的

11、幾何意義，說(shuō)明下列等式：1P(1) Q 2x dx = 1 ；(2)蝌p cosxdx = 22P2 cosxdx .02.按定積分定義證明：qk dx = k(b- a).3.設(shè)有一長(zhǎng)度為a的直金屬絲，其上各點(diǎn)處的密度為 r(x)為連續(xù)函數(shù))，試用積分和式表示其質(zhì)量.r = r(x)(其中4.設(shè)f (x)在a + c,b+ c可積，證明f(x + c)在a, b上可積,b+ ca + cb蝌f (x + c)dx = f (x) dx .*5.利用定積分表示下列極限:輊，im4(1 + 23 + 33 + Ln3) 2)nlimn |+1)1 1 ,牙+ (n + 2)2 +? 1 0 x ? 1*6.證明函數(shù)f(x)= 1旅 -，在0,1上不可積.2 0 x = 01.利用定積分的幾何意義，說(shuō)明下列等式: q- X2 dx = # ；1+(n + n)P(2) Q sinx dx = 0 .*2.通過(guò)對(duì)積分區(qū)間作等分分割，并取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)集