第4講定積分的概念與微積分基本定理(2)

1、第4講 定積分的概念與微積分基本定理【2013年高考會(huì)這樣考】1 考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理.2.利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】定積分的考查頻率不是很咼,本講復(fù)習(xí)主要掌握定積分的概念和幾何意義， 使用微積分基本定理計(jì)算定積分,使用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題等.* J KAOJIZIZHUDAOXUE 0i浄考基自主導(dǎo)學(xué)3. 定積分的應(yīng)用 (1)定積分與曲邊梯形的面積 定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的, 積.這要結(jié)合具體圖形來(lái)定:0 a但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面(2)(4) r r=f設(shè)陰影部分面積為

2、s.s= S= bf(x)dx;汁as=S=bf(x) g(x)dx .作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程等于其速度函數(shù)s= bv(t)d t .Ja(2)勻變速運(yùn)動(dòng)的路程公式v(t)(v(t)A 0)在時(shí)間區(qū)間a, b上的定積分，即一種思想定積分基本思想的核心是一“以直代曲一”丄用“有限”的步驟解決一“無(wú)限”過(guò)程的問(wèn)題，其方法是“分割求近似,求和取極限”宀利用這種方法可推導(dǎo)球的一表面積.和體積公式等.恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始以及微積分的建立并稱(chēng)為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.三條性質(zhì)(1)常數(shù)可提到積分號(hào)外;(2)和差的積分等于積分的和差；-(3)積分可分段進(jìn)行.一個(gè)公式由微積分基本定

3、理可知求定積分的關(guān)鍵是自導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù),由此可知,求導(dǎo)與1 . (2011 福建)F(ex + 2x)dx 等于(積分是互為逆運(yùn)算-.上0A. 1B. e 雙基自測(cè)P (ex + 2x)d x 丿0解析(ex + X2 山答案 C2. (2011湖南)由直線(xiàn)xn x-n，y- 0與曲線(xiàn)y-cos x所圍成的封閉圖形的面積為().A.2D.V3解析 S- / n 3C0S xdx- 2 / ncos xdx- 2sin x|30/3. 答案(2(D1山東)由曲線(xiàn)y - X2, y- x3圍成的封閉圖形面積為1A.-C.3解析積為由jy X3' 得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0), !y - x ,Q

4、 1/23 .!1 3 1S- !(x X )dx- gx 4x(1,1)，因此所求圖形面1 _丄 0 - 12.答案4. 如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為 n寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線(xiàn)y= sin x（0<x< n與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形 OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)（該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的），則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是（）.r,1a若 g-巒。 - 1-1) =2,矩形的面積為2nM皆r陰影部分的面積21“、”概率P二矩形面積二時(shí)n故應(yīng)選A.答案 A5.（人教A版教材習(xí)題改編）汽車(chē)以v =+ 2）m/s作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在第1 s至第2 s間的1 s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是解

5、析 s =i/12(3t + 2)dt = 2t3 2+ 2t'=2 4+ 4- 1 + 2L 10 72_3廠(chǎng)2m).答案 6.5 maa KADXI AN4?TAHJIUDADXI 02 * 考向探究導(dǎo)析考向一定積分的計(jì)算sir/ =d jr;(jrcos X5sin j;+ 2) dx'sin'專(zhuān)dK=0 /21 COS 工 19ON Dd H si n 工)、o3 K 20(cos 工十 J)dx= (sin 工+貯= 1 e "(4) v= 7 y 十2工=V1 ( T 1) f vOup (工一1)=(22I V =1(X-I y=l 51)2&#

6、39;少r ,2 由圖形可知：(£iT + 孑=1!一 工“十 2 H=Jo4(5)由 y=xcosx5sinx 為奇函數(shù)1 (xcosx5sinx+2)clx= (1 12d<=2x1=4.J1方(1)利用微積分基本定理求定積分，其關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 互逆運(yùn)算，因此應(yīng)注意掌握一些常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(2)根據(jù)積分的幾何意義可利用面積求積分.(3)若y = f(x)為奇函數(shù)，則=0.0【訓(xùn)練1/l 1 一 COS .T ,2dr1 1 + 工一邁-81.11工jr7t0 廠(chǎng)T可利用面積求得因此原式=主”考向二 利用定積分求面積【例2】

7、 求下圖中陰影部分的面積.審題視點(diǎn)觀(guān)察圖象要仔細(xì)，求出積分上下限，找準(zhǔn)被積函數(shù).ly= x 4, 解解方程組h = 2x,x= 2fx= 8得U 2，或Iy= 4S陰影二（5/2Xdx 8+ 鬥一仮|dx + 20 0W徐3|0+邁藹2-6= 18.方法總第求由兩條曲線(xiàn)圍成的圖形的面積的解題步驟畫(huà)出圖形，確定圖形的范圍，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo).定出積分的上、下限；(2)確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置；(3)寫(xiě)出平面圖形面積的定積分的表達(dá)式；(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平 面圖形的面積.1【訓(xùn)練21求曲線(xiàn)y=yx, y=2 x,y=-3X所圍成圖形的面積.解由

8、卩=五, 得交點(diǎn)A(1,1); y= 2 X，尸2 X由i 1 得交點(diǎn)B(3， 1).阡3X故所求面積S= f1 應(yīng)+ xx +3 0 x+ xjdx丿0+1(2x対 321413= + + = 3+ 6+ 3= 6 .考向三定積分的應(yīng)用【例3】一質(zhì)點(diǎn)在直線(xiàn)上從時(shí)刻t= 0(s)開(kāi)始以速度v = t24t+ 3(m/s)運(yùn)動(dòng).求:在t = 4 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程.審題視點(diǎn)理解函數(shù)積分后的實(shí)際意義，確定被積函數(shù).解在時(shí)刻t= 4時(shí)該點(diǎn)的位置為J 0= 3(m)，r(t2 4t + 3)dt = 已3 2t2 + 3t09即在t = 4 s時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)4 m.2因?yàn)?v(t) = t 4t+ 3

9、= (t- 1)(t-3)，所以在區(qū)間0,1及3,4上的 v(t) >0,在區(qū)間1,3上, v(t)< 0，所以t=4 s時(shí)的路程為S= f1 (t2 4t+ 3)dt + |3(t2 4t+ 3)dt |+ f4(t2 4t+ 3)dtJoJ 1J 3(|t3- 2t2+ 3t|0+ | gt3- 2t2 + 3t3|+f1 32、|4 4 4 4bt 2t+3t 丿 r 3+4+曠4 (m)，即質(zhì)點(diǎn)在4s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為4 m.1 2方法總由s=vot + qat通過(guò)求導(dǎo)可推出V = vo + at，反之根據(jù)積分的幾何意義,由v = v(t)(v(t)0)可求出t qa, b時(shí)間

10、段內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.【訓(xùn)練3】 已知甲、乙兩車(chē)由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線(xiàn) (假定為直線(xiàn))().tth t行駛，甲車(chē)、乙車(chē)的速度曲線(xiàn)分別為 V甲和V乙(如圖所示).那么對(duì)于圖中給定的 to和ti,下列判斷中一定正確的是A .在ti時(shí)刻，甲車(chē)在乙車(chē)前面B. ti時(shí)刻后，甲車(chē)在乙車(chē)后面C. 在to時(shí)刻，兩車(chē)的位置相同D. to時(shí)刻后，乙車(chē)在甲車(chē)前面解析 可觀(guān)察出曲線(xiàn)V甲，直線(xiàn)t= ti與t軸圍成的面積大于曲線(xiàn)V乙，直線(xiàn)t = ti與t軸圍成的面積，故選A.答案 AjlH K AOTHIZ HLIANXIAWGT U'PO考示丨宕WK讀03淨(jìng)考題專(zhuān)項(xiàng)突破難點(diǎn)突破8積分的綜合應(yīng)用定積分的考查

11、在試卷中不是必然出現(xiàn)的， 一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試 題難度不大，在近兩年的高考中，考查的一般是定積分的計(jì)算和定積分在求曲邊 圖形面積中的應(yīng)用等，女口 2011年福建卷，陜西卷考查的是定積分的計(jì)算，新課標(biāo)全國(guó)卷、湖南卷、山東卷考查的是定積分求曲邊形的面積.、積分的幾何意義【示例】？已知r>0，則f 吋r2-X2dx=找原碉數(shù)比接計(jì)算較址、尋求氏他力法I山積分的兒何意文知該式乂傳化為求半岡的面 5' 3 0被積函數(shù)y V/ = ”孑nI2 ，孑仆U2 2 2'，= T .r：M此叫伽幟夕=77=7為半:I. .1： + V = >*:虬則匚 77二?<：

12、=+72El:有業(yè)定積分的計(jì)算立接便用'微積分基本定理育 訃村旅"這時(shí)5<戌轉(zhuǎn)化為根據(jù)其兒何意義進(jìn)行.函 數(shù)，=_r（.：）在X間心切f；的宦積分繪隔數(shù)V： ；=H .r.）的圖彖耳肓線(xiàn)：r = m：T：=乩.T：軸所禺成 :的曲邊圖形面積的代數(shù)利.、積分與概率M(x, y)，則點(diǎn) M【示例】？（2010陜西）從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn) 取自陰影部分的概率為_(kāi)本題為兒何概型概率即為面積比.轉(zhuǎn)化為求曲邊圖形的面積.-陰影部分的面積為s=：d r.=所以點(diǎn)W落在陰影區(qū)域的慨率為本題址單曲線(xiàn)與-r;=軸所困成的圖形:若求兩曲線(xiàn)所閘成的圖形:僑積時(shí).要注總根據(jù)Illi線(xiàn)

13、的交點(diǎn)劌斷這個(gè)面枳是怎樣的定積分既不要并錯(cuò)積分的I:下限也不箜卉錯(cuò)被積函數(shù)基礎(chǔ)梳理1 .定積分(1)定積分的定義及相關(guān)概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn) a= X0VX1Vxi-1<xi<v xn= b，將區(qū) 間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi-1, Xi上任取一點(diǎn)&(i = 1,2,，n b an),作和式9( &)乞 f( )，當(dāng)n-x時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這1* 1i = 1 n個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作fbf(x)dx.a在rbf(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間, J af(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式.定積分的性質(zhì) |kf(x)dx= k fbf(x)dx(k 為常數(shù)).aJ