怎樣用構(gòu)造法解題對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)分析

1、怎樣用構(gòu)造法解題對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)分析         您正在瀏覽的數(shù)學(xué)論文是怎樣用構(gòu)造法解題對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)分析                    摘 要 本文主要如何通過(guò)運(yùn)用構(gòu)造 法解題，激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維訓(xùn)練，使學(xué)生在解題過(guò)程，選擇最佳的解題方法，從而使學(xué)生思維和解題能力得到培養(yǎng)。  

2、;      關(guān)鍵詞 構(gòu)造法 解題 學(xué)生思維 思維能力 創(chuàng)新        前言        什么是構(gòu)造法又怎樣去構(gòu)造?構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型從而使問(wèn)題得以解決。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒(méi)有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體的問(wèn)題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法，及基本的方法是：借用一類

3、問(wèn)題的性質(zhì)，來(lái)研究另一類問(wèn)題的思維方法。在解題過(guò)程中，若按習(xí)慣定勢(shì) 思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)，展開(kāi)豐富的聯(lián)想拓寬自己思維范圍，運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解題也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新思維的手段之一，同時(shí)對(duì)提高學(xué)生的解題能力也有所幫助，下面我們通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明通過(guò)構(gòu)造法解題訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達(dá)到思想的創(chuàng)新。        1 、構(gòu)造函數(shù)        函數(shù)在我們整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)是占有相當(dāng)?shù)膬?nèi)容，學(xué)生對(duì)于函數(shù)的

4、性質(zhì)也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內(nèi)容來(lái)解決棘手問(wèn)題，同時(shí)也達(dá)到了訓(xùn)練學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的思維的靈活性，開(kāi)拓性和創(chuàng)造性。        例1、 已知a， b， mR+，且a < b 求證： (高中代數(shù)第二冊(cè)P91)        分析：由 知，若用 代替m呢?可以得到 是關(guān)于 的分式，若我們令 是一個(gè)函數(shù)，且 R+聯(lián)想到這時(shí)，我們可以構(gòu)造函數(shù) 而又可以化為 而我們又知道 在0， 內(nèi)是增函數(shù)，從而便可求解。  &#

5、160;     證明：構(gòu)造函數(shù) 在0， 內(nèi)是增函數(shù)，        即得 。有些數(shù)學(xué)題似乎與函數(shù)毫不相干，但是根據(jù)題目的特點(diǎn)，巧妙地構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)得到了簡(jiǎn)捷的證明。解題過(guò)程中不斷挖掘?qū)W生的潛在意識(shí)而不讓學(xué)生的思維使注意到某一點(diǎn)上，把自己的解題思路擱淺了。啟發(fā)學(xué)生思維多變，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維。        例2、設(shè) 是正數(shù)，證明對(duì)任意的自然數(shù)n，下面不等式成立。&#

6、160;               分析：要想證明 只須證明        0即證        0也是        0對(duì)一切實(shí)數(shù)x 都成立，我們發(fā)現(xiàn)是不是和熟悉的判別式相同嗎?于是我們可以構(gòu)造這樣的二次函

7、數(shù)來(lái)解題是不是更有創(chuàng)造性。        解：令        只須判別式0，= 0即得                這樣以地于解決問(wèn)題是很簡(jiǎn)捷的 證明通過(guò)這樣的知識(shí)轉(zhuǎn)移，使學(xué)生的思維不停留在原來(lái)的知識(shí)表面上，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，掌握知識(shí)更為牢固和知識(shí)的運(yùn)用能力。有利于培養(yǎng)學(xué)

8、生的創(chuàng)新意識(shí)。        2、構(gòu)造方程        有些數(shù)學(xué)題，經(jīng)過(guò)觀察可以構(gòu)造 一個(gè)方程，從而得到巧妙簡(jiǎn)捷的解答。        例3、 若(Z-X)2-4(X-Y)(Y-Z)=0 求證：X ，Y，Z 成等差數(shù)列。        分析：拿到題目感到無(wú)從下手，思路受阻。但我

9、們細(xì)看，題條件酷似 一元二次方程 根的判別式。 這里 a = x - y ， b = z - x ， c = y - z ，于是可構(gòu)造方程 由已知條件可知方程有兩個(gè)相等根。即 。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有 即z y = y - x ， x + z = 2y         x ， y ， z 成等差數(shù)列。遇到較為復(fù)雜的方程組時(shí)，要指導(dǎo)學(xué)生會(huì)把難的先簡(jiǎn)單化，可以構(gòu)造出我們很熟悉的方程。        例4、解方程組 我們?cè)诮膺@個(gè)方程組的過(guò)程中，

10、如果我們用常規(guī)方法來(lái)解題就困難了，我們避開(kāi)這些困難可把原方程化為：        于是 與 可認(rèn)為是方程 兩根。易求得 再進(jìn)行求解 (1) 或 (2)        由(1)得 此時(shí)方程無(wú)解。        由(2)得 解此方程組得：        經(jīng)檢驗(yàn)得原方程組的解為：

11、60;       通過(guò)上面的例子我們?cè)诮忸}的過(guò)程中要善于觀察，善于發(fā)現(xiàn)，在解題過(guò)程中不墨守成規(guī)。大膽去探求解題的最佳途徑，我們?cè)诳陬^提到的創(chuàng)新思維，又怎樣去創(chuàng)新?創(chuàng)新思維是整個(gè)創(chuàng)新活動(dòng)的關(guān)鍵，敏銳的觀察力，創(chuàng)造性的想象，獨(dú)特的知識(shí)結(jié)構(gòu)及活躍的靈感是其的基本特征。這種創(chuàng)新思維能保證學(xué)生順利解決問(wèn)題，高水平地掌握知識(shí)并能把知識(shí)廣泛地運(yùn)用到解決問(wèn)題上來(lái)，而構(gòu)造法正從這方面增訓(xùn)練學(xué)生思維，使學(xué)生的思維由單一型轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟嵌?，顯得積極靈活從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維。      &#

12、160; 在解題的過(guò)程中，主要是把解題用到的數(shù)學(xué)思想和方法介紹給學(xué)生，而不是要教會(huì)學(xué)生會(huì)解某一道題，也不是為解題而解題，給他們學(xué)會(huì)一種解題的方法才是有效的"授之以魚，不如授之以漁"。在這我們所強(qiáng)調(diào)的發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過(guò)程，創(chuàng)造性解決問(wèn)題的方法而不是追求題目的結(jié)果。運(yùn)用構(gòu)造 方法解題也是這樣的，通過(guò)講解一些例題，運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解題的技巧，探求過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。        華羅庚：“數(shù)離開(kāi)形少直觀，形離開(kāi)數(shù)難入微?！崩脭?shù)形結(jié)合的思想，可溝通代數(shù)，幾何的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)難題巧解。 &

13、#160;      3. 構(gòu)造復(fù)數(shù)來(lái)解題        由于復(fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)與其他內(nèi)容聯(lián)系密切最為廣泛的一部分，因而對(duì)某些問(wèn)題的特點(diǎn)，可以指導(dǎo)學(xué)生從復(fù)數(shù)的定義性質(zhì)出發(fā)來(lái)解決一些數(shù)學(xué)難題。        例5、求證：         分析：本題的特點(diǎn)是左邊為幾個(gè)根式的和，因此可聯(lián)系到復(fù)數(shù)的模，構(gòu)造復(fù)數(shù)

14、模型就利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)把問(wèn)題解決。        證明：設(shè)z1 = a + bi z2 = a + ( 1 - b ) i z3 = (1-a ) + ( 1 + b ) i z4 = ( 1 a ) + bi        則左邊= | z1 | + | z2 | + | z3 | + | z4 |         | z1 + z2 + z3 +z4 |&

15、#160;        | 2 + 2i | =        即         例6、實(shí)數(shù)x，y，z，a，b，c，滿足        且xyz 0求證：        通過(guò)入微觀察，結(jié)合所學(xué)的空間解析幾何

16、知識(shí),可以構(gòu)造向量        聯(lián)想到 結(jié)合題設(shè)條件        可知，向量 的夾角 滿足 ， 這兩個(gè)向量 共線，又xyz0        所以        利用向量等工具巧妙地構(gòu)造 出所證明的不等式的幾何模型，利用向量共線條件，可解決許多用普通方法難以處理的問(wèn)題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生

17、創(chuàng)新思維十分有益。        4. 構(gòu)造幾何圖形        對(duì)于一些題目，可借助幾何圖形的特點(diǎn)來(lái)達(dá)到解題目的，我們可以構(gòu)造所需的圖形來(lái)解題。        例7、 解不等式|x-5|-|x+3|< 6        分析：對(duì)于這類題目的一般解法是分區(qū)間求解，這是比較

18、繁雜的。觀察本題條件可構(gòu)造雙曲線，求解更簡(jiǎn)捷。        解：設(shè)F(-3，0) F(5，0)則|F1F2|=8 ，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為O'(1，0)，又設(shè)點(diǎn)P(x，0)，當(dāng)x的值 滿足不等式條件時(shí)，P點(diǎn)在雙曲線 的內(nèi)部         1-3<X<x<>         運(yùn)用構(gòu)造法就可以避免了煩雜的分類討論是不是方便得多了，引

19、導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)運(yùn)用到解決問(wèn)題上來(lái)。        又如解不等式：        分析：若是按常規(guī)的解法，必須得進(jìn)行分類討論而非常麻煩的，觀察不等式特點(diǎn)，聯(lián)想到雙曲線的定義，卻'柳暗花明又一村"可把原不等式變?yōu)?#160;       令 則得 由雙曲線的定義可知，滿足上面不等式的( x，y)在雙曲線 的兩支之間區(qū)域內(nèi)，因此原不等式與不等式組： 同

20、解        所以不等式的解集為： 。利用定義的特點(diǎn)，把問(wèn)題的難點(diǎn)轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得以解決。        在不少的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，運(yùn)用構(gòu)造來(lái)解題構(gòu)造法真是可見(jiàn)一斑。        例8、正數(shù)x，y，z 滿足方程組：        試求 xy+2yz+3xz的值。&#

21、160;       分析： 認(rèn)真觀        察發(fā)現(xiàn)5，4，3可作為直角三角形三邊長(zhǎng)，并就每個(gè)方程考慮余弦定理，進(jìn)而構(gòu)造圖形直角三角形ABC，ACB=90°三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，COB=90°        AOB=150°并設(shè) OA= x， OB= ， ， 則x，y，z， 滿足方程組，由面積公式得：S1 + S2 + S3 =        即得：xy+ 2yz + 3xz = 24