確定性存儲(chǔ)問題數(shù)學(xué)模型

1、第三節(jié) 確定性存儲(chǔ)問題數(shù)學(xué)模型對于工廠來說，任務(wù)是把進(jìn)來的原料加工成產(chǎn)品，并把它銷售出去。要生產(chǎn)就要庫存一定量的原材料，要銷售也需要庫存一定量的產(chǎn)品。庫存材料和產(chǎn)品就有存儲(chǔ)費(fèi)的問題，而需求又有確定型和隨機(jī)型等情況。如何確定一個(gè)最優(yōu)的生產(chǎn)周期，使得在單位時(shí)間內(nèi)所花費(fèi)的生產(chǎn)費(fèi)用最少。這是擺在工廠管理者面前的現(xiàn)實(shí)問題。我們這節(jié)討論確定性需求存儲(chǔ)問題的數(shù)學(xué)建模。一、倉庫只庫存產(chǎn)品的簡單情況記k為工廠生產(chǎn)線運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)品的生產(chǎn)速率，r為商品的銷售速率，Q為庫存量。倉庫的庫存以這樣的方式變化：開始時(shí)邊生產(chǎn)邊銷售，庫存量以速率kr增加，到時(shí)刻t只銷售不生產(chǎn)，Q以速率r減少，而到時(shí)刻T，Q減少到零，如此為一個(gè)周期

2、。Q與tc為每開動(dòng)一次生產(chǎn)線的成本，s為單位時(shí)間 Q每件產(chǎn)品的存儲(chǔ)費(fèi)，W為單 P位時(shí)間總費(fèi)用。則問題可做如下描述：確定周期T，使單位時(shí)間的總費(fèi)用W最小。 O t T 圖庫存量Q與時(shí)間t關(guān)系圖（情況1）我們作如下分析：由假設(shè)條件知，單位時(shí)間成本為c/T，單位時(shí)間庫存費(fèi)為sA/T，其中A為三角形OPT的面積，即 又有k t = rT , 所以單位時(shí)間總費(fèi)用為 記 則 為求最小總費(fèi)用點(diǎn)，令 = 0, 得c/T 2 +B = 0從而有Tmin = min = 計(jì)算出來的這個(gè)最優(yōu) f ( 周期T往往不易在實(shí)際生產(chǎn)過程中操作實(shí)施，這就需要作一點(diǎn)微調(diào)（或者說做一點(diǎn)攝動(dòng)），那么會(huì)對W產(chǎn)生多大的影響呢？我 O

3、1 1 們簡單分析一下這種敏感性。 圖攝動(dòng)函數(shù)( 的圖象設(shè)T被T代替，這里 = 1, 或者 = 1 （ 0）,考慮哪一種變動(dòng)較好一點(diǎn)。從而 = 從圖中可見，攝動(dòng) = 1 比攝動(dòng) = 1對最優(yōu)值min的影響要小一些。故應(yīng)該對Tmin作(1 Tmin的調(diào)整。二、倉庫既存放產(chǎn)品，也存放原料的情況設(shè)將一個(gè)周期生產(chǎn)所需要的原料一次備足，即t = 0時(shí)倉庫要存放能生產(chǎn)kt 件產(chǎn)品的 Q kt 原料 商品 位時(shí)間每件原料存儲(chǔ)費(fèi)為S ,單位時(shí)間原料存儲(chǔ)費(fèi)就 A應(yīng)為S A/T， 其中，A = kt·t / 2 = k t 2 / 2 , O t T t 從而，單位時(shí)間總費(fèi)用應(yīng)為 圖庫存量Q與時(shí)間t關(guān)系

4、圖（情況2） W = 令 B =則 W = 與前類似，通過求導(dǎo)數(shù)并令其為零，得T min = 三、一次備足P個(gè)周期生產(chǎn)所需原料的情況此種情況下，在t = 0時(shí)，倉庫應(yīng)存入N = pkt = prTPA。A是以NQNA tO t T Tt 2T (p1T (p1TtQ與時(shí)間t關(guān)系圖（情況3）為高，以（p1）Tt為底的矩形面積的一半。從而有（注：N=prT kt=rt ）則單位時(shí)間原料存放費(fèi)為此時(shí)，單位時(shí)間總費(fèi)用為當(dāng)S > S 時(shí)，記 B1 = ，則最優(yōu)周期有與情況2 相類似的結(jié)果當(dāng)S S 時(shí)，最好的策略是使T盡可能大，即p = 1 。也就是說，當(dāng)單位時(shí)間每件原料存放費(fèi)大于商品存放費(fèi)時(shí)，最好

5、只存一個(gè)周期的原料。四、成批到貨，不允許缺貨的模型所謂成批到貨，不許缺貨，就是每批產(chǎn)品或每次訂購的貨物整批存入倉庫，由倉庫均勻提?。僭O(shè)需求是確定的）投入使用，當(dāng)前一批庫存提取完后，下一批貨物立即補(bǔ)足，不允許缺貨。這是因?yàn)椋瑢δ承┕S的實(shí)際來說，一旦缺貨，造成停產(chǎn)，其損失是不可估量的。這種情況下，庫存量QQO T tQ示意圖（情況4）假設(shè)周期初始時(shí)，原料庫存應(yīng)為Q = RT，一個(gè)周期內(nèi)原料存儲(chǔ)費(fèi)用應(yīng)該是cQOT的面積的乘積，即, 則周期總費(fèi)用為c1c2· 從而，周期內(nèi)平均單位時(shí)間費(fèi)用為 為求使W達(dá)到最小的T，令 dW/dt = 0，并注意到Q = RT,得Tmin =Q =五、只存儲(chǔ)原料，允許缺貨在實(shí)際的存儲(chǔ)問題中，有時(shí)因缺貨造成的損失是有限的，這就可以根據(jù)實(shí)際情況建立允許缺貨的存儲(chǔ)問題數(shù)學(xué)模型，建立這個(gè)模型只需對上一個(gè)模型做如下修改。在前面已設(shè)條件基礎(chǔ)上，在設(shè)每天每單位原料缺貨費(fèi)為c3, 每次所訂原料Q噸在 t = T1時(shí)用完，有一段時(shí)間缺貨，在t = T時(shí)得到補(bǔ)充。于是存儲(chǔ)量QQ = RT1，QT1 T t DQ示意圖（情況5）一個(gè)訂貨周期T內(nèi)的缺貨費(fèi)是