2017年北京市高考數學試卷理科真題詳細解析[001]

1、2017年北京市高考數學試卷（理科）一、選擇題.（每小題5分）1（5分）若集合A=x|2x1，B=x|x1或x3，則AB=（）Ax|2x1Bx|2x3Cx|1x1Dx|1x32（5分）若復數（1i）（a+i）在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是（）A（，1）B（，1）C（1，+）D（1，+）3（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A2BCD4（5分）若x，y滿足，則x+2y的最大值為（）A1B3C5D95（5分）已知函數f（x）=3x（）x，則f（x）（）A是奇函數，且在R上是增函數B是偶函數，且在R上是增函數C是奇函數，且在R上是減函數D是偶函數，且在R上是減函數6（

2、5分）設，為非零向量，則“存在負數，使得=”是“0”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（）A3B2C2D28（5分）根據有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080，則下列各數中及最接近的是（）（參考數據：lg30.48）A1033B1053C1073D1093二、填空題（每小題5分）9（5分）若雙曲線x2=1的離心率為，則實數m= 10（5分）若等差數列an和等比數列bn滿足a1=b1=1，a4=b4=8，則= 11（5分）在極坐標系中

3、，點A在圓22cos4sin+4=0上，點P的坐標為（1，0），則|AP|的最小值為 12（5分）在平面直角坐標系xOy中，角及角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱，若sin=，則cos（）= 13（5分）能夠說明“設a，b，c是任意實數若abc，則a+bc”是假命題的一組整數a，b，c的值依次為 14（5分）三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數，點Bi的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數，i=1，2，3（1）記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數，則Q1，Q2，Q3中最大的是 （2

4、）記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，則p1，p2，p3中最大的是 三、解答題15（13分）在ABC中，A=60，c=a（1）求sinC的值；（2）若a=7，求ABC的面積16（14分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點M在線段PB上，PD平面MAC，PA=PD=，AB=4（1）求證：M為PB的中點；（2）求二面角BPDA的大小；（3）求直線MC及平面BDP所成角的正弦值17（13分）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數據，并制成如圖，其中

5、“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者（1）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；（2）從圖中A，B，C，D四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數，求的分布列和數學期望E（）；（3）試判斷這100名患者中服藥者指標y數據的方差及未服藥者指標y數據的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）18（14分）已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1）過點（0，）作直線l及拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別及直線OP、ON交于點A，B，其中O為原點（1）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；（2）求證：A為線段BM的中點19（13分）已知函數f

6、（x）=excosxx（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0）處的切線方程；（2）求函數f（x）在區(qū)間0，上的最大值和最小值20（13分）設an和bn是兩個等差數列，記cn=maxb1a1n，b2a2n，bnann（n=1，2，3，），其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs這s個數中最大的數（1）若an=n，bn=2n1，求c1，c2，c3的值，并證明cn是等差數列；（2）證明：或者對任意正數M，存在正整數m，當nm時，M；或者存在正整數m，使得cm，cm+1，cm+2，是等差數列2017年北京市高考數學試卷（理科）參考答案及試題解析一、選擇題.（每小題5分）1（5分）若集合A=x|

7、2x1，B=x|x1或x3，則AB=（）Ax|2x1Bx|2x3Cx|1x1Dx|1x3【分析】根據已知中集合A和B，結合集合交集的定義，可得答案【解答】解：集合A=x|2x1，B=x|x1或x3，AB=x|2x1故選：A【點評】本題考查的知識點集合的交集運算，難度不大，屬于基礎題2（5分）若復數（1i）（a+i）在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是（）A（，1）B（，1）C（1，+）D（1，+）【分析】復數（1i）（a+i）=a+1+（1a）i在復平面內對應的點在第二象限，可得，解得a范圍【解答】解：復數（1i）（a+i）=a+1+（1a）i在復平面內對應的點在第二象限，解得a

8、1則實數a的取值范圍是（，1）故選：B【點評】本題考查了復數的運算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力及計算能力，屬于基礎題3（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A2BCD【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【解答】解：當k=0時，滿足進行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，k=1，S=2，當k=1時，滿足進行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，k=2，S=，當k=2時，滿足進行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，k=3，S=，當k=3時，不滿足進行循環(huán)的條件，故輸出結果為：，故選：C【點評】本題

9、考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答4（5分）若x，y滿足，則x+2y的最大值為（）A1B3C5D9【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數的最優(yōu)解求解目標函數的最值即可【解答】解：x，y滿足的可行域如圖：由可行域可知目標函數z=x+2y經過可行域的A時，取得最大值，由，可得A（3，3），目標函數的最大值為：3+23=9故選：D【點評】本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，畫出可行域判斷目標函數的最優(yōu)解是解題的關鍵5（5分）已知函數f（x）=3x（）x，則f（x）（）A是奇函數，且在R上是增函數B是偶函數，且在R上是增函數C是奇函數，且在R上是減函數D是偶函數

10、，且在R上是減函數【分析】由已知得f（x）=f（x），即函數f（x）為奇函數，由函數y=3x為增函數，y=（）x為減函數，結合“增”“減”=“增”可得答案【解答】解：f（x）=3x（）x=3x3x，f（x）=3x3x=f（x），即函數f（x）為奇函數，又由函數y=3x為增函數，y=（）x為減函數，故函數f（x）=3x（）x為增函數，故選：A【點評】本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，是函數圖象和性質的綜合應用，難度不大，屬于基礎題6（5分）設，為非零向量，則“存在負數，使得=”是“0”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】，為非零向量，

11、存在負數，使得=，則向量，共線且方向相反，可得0反之不成立，非零向量，的夾角為鈍角，滿足0，而=不成立即可判斷出結論【解答】解：，為非零向量，存在負數，使得=，則向量，共線且方向相反，可得0反之不成立，非零向量，的夾角為鈍角，滿足0，而=不成立，為非零向量，則“存在負數，使得=”是0”的充分不必要條件故選：A【點評】本題考查了向量共線定理、向量夾角公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力及計算能力，屬于基礎題7（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（）A3B2C2D2【分析】根據三視圖可得物體的直觀圖，結合圖形可得最長的棱為PA，根據勾股定理求出即可【解答】解：由三視圖可

12、得直觀圖，再四棱錐PABCD中，最長的棱為PA，即PA=2，故選：B【點評】本題考查了三視圖的問題，關鍵畫出物體的直觀圖，屬于基礎題8（5分）根據有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080，則下列各數中及最接近的是（）（參考數據：lg30.48）A1033B1053C1073D1093【分析】根據對數的性質：T=，可得：3=10lg3100.48，代入M將M也化為10為底的指數形式，進而可得結果【解答】解：由題意：M3361，N1080，根據對數性質有：3=10lg3100.48，M3361（100.48）36110173，=1093，故選

13、：D【點評】本題解題關鍵是將一個給定正數T寫成指數形式：T=，考查指數形式及對數形式的互化，屬于簡單題二、填空題（每小題5分）9（5分）若雙曲線x2=1的離心率為，則實數m=2【分析】利用雙曲線的離心率，列出方程求和求解m 即可【解答】解：雙曲線x2=1（m0）的離心率為，可得：，解得m=2故答案為：2【點評】本題考查雙曲線的簡單性質，考查計算能力10（5分）若等差數列an和等比數列bn滿足a1=b1=1，a4=b4=8，則=1【分析】利用等差數列求出公差，等比數列求出公比，然后求解第二項，即可得到結果【解答】解：等差數列an和等比數列bn滿足a1=b1=1，a4=b4=8，設等差數列的公差為

14、d，等比數列的公比為q可得：8=1+3d，d=3，a2=2；8=q3，解得q=2，b2=2可得=1故答案為：1【點評】本題考查等差數列以及等比數列的通項公式的應用，考查計算能力11（5分）在極坐標系中，點A在圓22cos4sin+4=0上，點P的坐標為（1，0），則|AP|的最小值為1【分析】先將圓的極坐標方程化為標準方程，再運用數形結合的方法求出圓上的點到點P的距離的最小值【解答】解：設圓22cos4sin+4=0為圓C，將圓C的極坐標方程化為：x2+y22x4y+4=0，再化為標準方程：（x1）2+（y2）2=1；如圖，當A在CP及C的交點Q處時，|AP|最小為：|AP|min=|CP|r

15、C=21=1，故答案為：1【點評】本題主要考查曲線的極坐標方程和圓外一點到圓上一點的距離的最值，難度不大12（5分）在平面直角坐標系xOy中，角及角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱，若sin=，則cos（）=【分析】方法一：根據教的對稱得到sin=sin=，cos=cos，以及兩角差的余弦公式即可求出方法二：分在第一象限，或第二象限，根據同角的三角函數的關系以及兩角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：角及角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱，sin=sin=，cos=cos，cos（）=coscos+sinsin=cos2+sin2=2sin21=1=方法二：sin=，當在第一象

16、限時，cos=，角的終邊關于y軸對稱，在第二象限時，sin=sin=，cos=cos=，cos（）=coscos+sinsin=+=：sin=，當在第二象限時，cos=，角的終邊關于y軸對稱，在第一象限時，sin=sin=，cos=cos=，cos（）=coscos+sinsin=+=綜上所述cos（）=，故答案為：【點評】本題考查了兩角差的余弦公式，以及同角的三角函數的關系，需要分類討論，屬于基礎題13（5分）能夠說明“設a，b，c是任意實數若abc，則a+bc”是假命題的一組整數a，b，c的值依次為1，2，3【分析】設a，b，c是任意實數若abc，則a+bc”是假命題，則若abc，則a+b

17、c”是真命題，舉例即可，本題答案不唯一【解答】解：設a，b，c是任意實數若abc，則a+bc”是假命題，則若abc，則a+bc”是真命題，可設a，b，c的值依次1，2，3，（答案不唯一），故答案為：1，2，3【點評】本題考查了命題的真假，舉例說明即可，屬于基礎題14（5分）三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數，點Bi的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數，i=1，2，3（1）記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數，則Q1，Q2，Q3中最大的是Q1（2）記pi為第i名工人在這一天中平均每小時

18、加工的零件數，則p1，p2，p3中最大的是p2【分析】（1）若Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數，則Qi=Ai的綜坐標+Bi的縱坐標；進而得到答案（2）若pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，則pi為AiBi中點及原點連線的斜率；進而得到答案【解答】解：（1）若Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數，Q1=A1的縱坐標+B1的縱坐標；Q2=A2的縱坐標+B2的縱坐標，Q3=A3的縱坐標+B3的縱坐標，由已知中圖象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，（2）若pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，則pi為AiBi中點及原點連線的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p

19、2故答案為：Q1，p2【點評】本題考查的知識點是函數的圖象，分析出Qi和pi的幾何意義，是解答的關鍵三、解答題15（13分）在ABC中，A=60，c=a（1）求sinC的值；（2）若a=7，求ABC的面積【分析】（1）根據正弦定理即可求出答案，（2）根據同角的三角函數的關系求出cosC，再根據兩角和正弦公式求出sinB，根據面積公式計算即可【解答】解：（1）A=60，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=，（2）a=7，則c=3，CA，由（1）可得cosC=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=+=，SABC=acsinB=73=6【點評】本題考查了正弦定理和兩

20、角和正弦公式和三角形的面積公式，屬于基礎題16（14分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點M在線段PB上，PD平面MAC，PA=PD=，AB=4（1）求證：M為PB的中點；（2）求二面角BPDA的大?。唬?）求直線MC及平面BDP所成角的正弦值【分析】（1）設ACBD=O，則O為BD的中點，連接OM，利用線面平行的性質證明OMPD，再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點；（2）取AD中點G，可得PGAD，再由面面垂直的性質可得PG平面ABCD，則PGAD，連接OG，則PGOG，再證明OGAD以G為坐標原點，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸

21、距離空間直角坐標系，求出平面PBD及平面PAD的一個法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角BPDA的大?。唬?）求出的坐標，由及平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對值可得直線MC及平面BDP所成角的正弦值【解答】（1）證明：如圖，設ACBD=O，ABCD為正方形，O為BD的中點，連接OM，PD平面MAC，PD平面PBD，平面PBD平面AMC=OM，PDOM，則，即M為PB的中點；（2）解：取AD中點G，PA=PD，PGAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PG平面ABCD，則PGAD，連接OG，則PGOG，由G是AD的中點，O是AC的中點，可得OGDC，則OGAD以

22、G為坐標原點，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（2，4，0），M（1，2，），設平面PBD的一個法向量為，則由，得，取z=，得取平面PAD的一個法向量為cos=二面角BPDA的大小為60；（3）解：，平面BDP的一個法向量為直線MC及平面BDP所成角的正弦值為|cos|=|=|=【點評】本題考查線面角及面面角的求法，訓練了利用空間向量求空間角，屬中檔題17（13分）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥一段時間后，

23、記錄了兩組患者的生理指標x和y的數據，并制成如圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者（1）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；（2）從圖中A，B，C，D四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數，求的分布列和數學期望E（）；（3）試判斷這100名患者中服藥者指標y數據的方差及未服藥者指標y數據的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）【分析】（1）由圖求出在50名服藥患者中，有15名患者指標y的值小于60，由此能求出從服藥的50名患者中隨機選出一人，此人指標小于60的概率（2）由圖知：A、C兩人指標x的值大于1.7，而B、D兩人則小于1.7，可知在四人

24、中隨機選項出的2人中指標x的值大于1.7的人數的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列和E（）（3）由圖知100名患者中服藥者指標y數據的方差比未服藥者指標y數據的方差大【解答】解：（1）由圖知：在50名服藥患者中，有15名患者指標y的值小于60，則從服藥的50名患者中隨機選出一人，此人指標小于60的概率為：p=（2）由圖知：A、C兩人指標x的值大于1.7，而B、D兩人則小于1.7，可知在四人中隨機選項出的2人中指標x的值大于1.7的人數的可能取值為0，1，2，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，的分布列如下： 0 1 2 P E（）=1（3）由圖知100名患者中服

25、藥者指標y數據的方差比未服藥者指標y數據的方差大【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸及轉化思想，是中檔題18（14分）已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1）過點（0，）作直線l及拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別及直線OP、ON交于點A，B，其中O為原點（1）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；（2）求證：A為線段BM的中點【分析】（1）根據拋物線過點P（1，1）代值求出p，即可求出拋物線C的方程，焦點坐標和準線方程；（2）設過點（0，）的直線方程為y

26、=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），根據韋達定理得到x1+x2=，x1x2=，根據中點的定義即可證明【解答】解：（1）y2=2px過點P（1，1），1=2p，解得p=，y2=x，焦點坐標為（，0），準線為x=，（2）證明：設過點（0，）的直線方程為y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），直線OP為y=x，直線ON為：y=x，由題意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k1）x+=0，x1+x2=，x1x2=y1+=kx1+=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1k）2x1=2x1，A為線段BM的中點【點評】本題考查了拋物線的簡單性質，以及直線和拋物線的關系，靈

27、活利用韋達定理和中點的定義，屬于中檔題19（13分）已知函數f（x）=excosxx（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0）處的切線方程；（2）求函數f（x）在區(qū)間0，上的最大值和最小值【分析】（1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的導數，再令g（x）=f（x），求出g（x）的導數，可得g（x）在區(qū)間0，的單調性，即可得到f（x）的單調性，進而得到f（x）的最值【解答】解：（1）函數f（x）=excosxx的導數為f（x）=ex（cosxsinx）1，可得曲線y=f（x）在點（0，f（0）處的切線斜率為k=e0（cos0sin0）1=

28、0，切點為（0，e0cos00），即為（0，1），曲線y=f（x）在點（0，f（0）處的切線方程為y=1；（2）函數f（x）=excosxx的導數為f（x）=ex（cosxsinx）1，令g（x）=ex（cosxsinx）1，則g（x）的導數為g（x）=ex（cosxsinxsinxcosx）=2exsinx，當x0，可得g（x）=2exsinx0，即有g（x）在0，遞減，可得g（x）g（0）=0，則f（x）在0，遞減，即有函數f（x）在區(qū)間0，上的最大值為f（0）=e0cos00=1；最小值為f（）=ecos=【點評】本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、最值，考查化簡整理的運算能力，

29、正確求導和運用二次求導是解題的關鍵，屬于中檔題20（13分）設an和bn是兩個等差數列，記cn=maxb1a1n，b2a2n，bnann（n=1，2，3，），其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs這s個數中最大的數（1）若an=n，bn=2n1，求c1，c2，c3的值，并證明cn是等差數列；（2）證明：或者對任意正數M，存在正整數m，當nm時，M；或者存在正整數m，使得cm，cm+1，cm+2，是等差數列【分析】（1）分別求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（bknak）（b1na1）0，則b1na1bknak，則cn=b1n

30、a1=1n，cn+1cn=1對nN*均成立；（2）由biain=b1+（i1）d1a1+（i1）d2n=（b1a1n）+（i1）（d2d1n），分類討論d1=0，d10，d10三種情況進行討論根據等差數列的性質，即可求得使得cm，cm+1，cm+2，是等差數列；設=An+B+對任意正整數M，存在正整數m，使得nm，M，分類討論，采用放縮法即可求得因此對任意正數M，存在正整數m，使得當nm時，M【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，當n=1時，c1=maxb1a1=max0=0，當n=2時，c2=maxb12a1，b22a2=max1，1=1，當n=3時，c3=maxb13a1，b23a2，b33a3=max2，3，4=2，下面證明：對nN*，且n2，都有cn=b1na1，當nN*，且2kn時，則（bknak）（b1na1），=（2k1）nk1+n，=（2k2）n（k1），=（k1）（2n），由k10，且2n0，則（bknak）（b1na1）0，則b