數(shù)學(xué)必修2第二章知識點(diǎn)小結(jié)及典型習(xí)題.

1、第二章點(diǎn)線面位置關(guān)系總復(fù)習(xí)1、（ 1）平面含義：平面是無限延展的，沒有大小，厚薄之分。另外，注意平面的表示方法。（ 2）點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A 在平面內(nèi)，記作A；點(diǎn) A 不在平面內(nèi)，記作 A點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A 的直線 l 上，記作： A l；點(diǎn) A 在直線 l 外，記作 A直線與平面的關(guān)系： 直線 l 在平面 內(nèi)，記作 l ；直線 l 不在平面 內(nèi)，記作2、四個公理與等角定理：（ 1）公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).符號表示為AAL B LL ·LA B l；l 。公理 1 作用： 判斷直線是否在平面內(nèi).（只要找到直線的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)

2、）（ 2）公理 2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。AB符號表示為： A、 B、C三點(diǎn)不共線=> 有且只有一個平面 ，·C ··使 A 、B 、C 。公理 2 的三個推論：（ 1）：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面。（ 2）：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。（ 3）：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。公理 2 作用： 確定一個平面的依據(jù)。（ 3）公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號表示為： P => =L，且 P L公理 3 說明：兩個不重合的平面只要有公共點(diǎn)，那么它們必

3、定交于一條過該公共點(diǎn)的直線，且線唯一。公理 3 作用： 判定兩個平面是否相交的依據(jù)，是證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線的依據(jù)。即：判定兩個平面相交的方法。 說明兩個平面的交線與兩個平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)?？梢耘袛帱c(diǎn)在直線（交線）上，即證若干個點(diǎn)共線的重要依據(jù)。（ 4）公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè) a、b、 c 是三條直線a ba cc b強(qiáng)調(diào)：公理4 實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理 4 作用： 判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。（表明空間中平行于一條已知直線的所有直線都互相平行）（ 5）等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么

4、這兩個角相等或互補(bǔ).3、（ 1）證明共面問題：方法 1 是先證明由某些元素確定一個平面，在證明其余元素也在這個平面內(nèi)。方法 2 是先證明分別由不同元素確定若干個平面，再證明這些平面重合。（ 2）證明三點(diǎn)共線問題的方法：先確定其中兩點(diǎn)在某兩個平面的交線上，再證明第三點(diǎn)是這兩個平面的公共點(diǎn)，則第三個點(diǎn)在必然在這兩個平面的交線上。（ 3）證明三線共點(diǎn)問題的方法：先證明其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線也經(jīng)過這個點(diǎn)。4、異面直線 ：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線。（既不平行也不相交的兩條直線） 異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。P· L 異面

5、直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、 b 是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線aa， b b，則把直線a和 b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a 和 b 所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（ 0°， 90° ，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這 兩條異面直線互相垂直。 （兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形）說明 ：（ 1）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（ 2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O 是任取的，而和點(diǎn)O 的位置無關(guān)。（ 3）求異面直線所成角步

6、驟：（一作、二證、三計算）第一步作角： 先固定其中一條直線，在這條直線取一點(diǎn)，過這個點(diǎn)作另一條直線的平行先；或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。第二步證明作出的角即為所求角。第三步利用三角形邊長關(guān)系計算出角。（思路是把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角）5、空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系（ 1）空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：相交 直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；共面直線平行 直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面 直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（ 2）直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種： 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(diǎn) 直線與平

7、面相交有且只有一個公共點(diǎn) 直線在平面平行沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示三種位置關(guān)系的符號表示：aa Aa 注意直線與平面的位置關(guān)系其他分類：（1）按直線與平面的公共點(diǎn)數(shù)分類：（自己補(bǔ)充）（ 2）按直線是否與平面平行分類：（ 3）按直線是否在平面內(nèi)分類：（ 3）平面與平面之間的位置關(guān)系 有且只有兩種： （按有無公共點(diǎn)分類） 兩個平面平行沒有公共點(diǎn)； 。 兩個平面相交有一條公共直線； b。6、空間中的平行問題（ 1）線線平行的判定方法：線線平行的定義：兩條直線共面，但是無公共點(diǎn)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行a / /線面平行的性質(zhì)定理：ab

8、/ /5 面面平行的性質(zhì)定理：ab線面垂直的性質(zhì)定理：aa / /ba / /bba / /b（ 2）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行, 則該直線與此平面平行。線線平行線面平行證明線面平行， 只要在平面內(nèi)找一條直線 b 與直線 a 平行即可。 一般情況下， 我們會用到中位線定理、平行線段成比例問題、平行公理等。線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行性質(zhì)定理的作用：利用該定理可解決直線間的平行問題線面平行的判定方法：a線面平行的定義：直線與平面無公共點(diǎn)判定定理：

9、a / /b面面平行的性質(zhì)：/ /a / /a / / ba（ 3）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)面面平行的判定定理： 如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面， 那么這兩個平面平行（線面平行面面平行），兩個平面平行的性質(zhì)定理與結(jié)論：如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。 （面面平行線線平行）如果兩個平面平行， 那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。 （面面平行線面平行）面面平行的判定方法：a/ /b/ / /面面平行的定義： 兩個平面無公共點(diǎn)。判定定理： abaabP/ /a / /線面垂直的性質(zhì)定理 ：公理四的推廣 ：/ /a/ /7、空間中的垂直問題線線、面面、線

10、面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直： 如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直， 就說這條直線和這個平面垂直。平面和平面垂直： 如果兩個平面相交， 所成的二面角 （從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角） ，就說這兩個平面垂直。（ 1）線線垂直的判定方法：線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角。（共面垂直、異面垂直）線面垂直的性質(zhì)：a, bab線面垂直的性質(zhì)：a, b /ab（ 2）線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。判定線面垂直

11、， 只要在平面內(nèi)找到兩條相交直線 與已知直線垂直即可 （注意： 兩條直線必須相交）經(jīng)常用到的知識點(diǎn)有：等腰三角形三線合一（中線，角平分線，高），如果取等腰三角形底邊的中點(diǎn)，連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)的線既是中線也是高，所以，這條線垂直于底邊；正方形的對角線是互相垂直的；三角形勾股逆定理 a2b2c2,可以推出 a 邊與 b 邊垂直；如果是要證異面垂直的兩條直線，一般采用線面垂直來證明一條線垂直于另一條線所在的平面，從而得到兩條異面直線垂直；5 采用三垂線定理或者其逆定理得到兩條直線垂直。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。線面垂直的判定方法：線面垂直的定義線面垂直的判定定理：aba

12、cbcAbcaa平行線垂直平面的傳遞性推論:ba / /b面面平行的性質(zhì)結(jié)論：/,aa5 面面垂直的性質(zhì)定理：laaa l（ 3）面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理： 如果兩個平面互相垂直， 那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。面面垂直的判定方法面面垂直的定義：兩個平面相交所成的二面角是直二面角a面面垂直的判定定理：a面面平行的性質(zhì)結(jié)論：/,8、空間角問題空間角的計算步驟：一作，二證，三計算（ 1）直線與直線所成的角A兩平行直線所成的角：規(guī)定為0 。B兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的

13、角，叫這兩條O直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a， b 平行的直線a , b ，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角，的范圍為（ 0°， 90° 。注意：（ 1）異面直線所成的角 ： 0° 90°（銳角或者直角）（ 2）計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。（ 3）角 AOB 的度數(shù)并不等于直線AO 與直線 BO 所成的角。（ 2）直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0 。平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90 。平面的斜線與平面所成的

14、角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，取值范圍為（ 0°， 90°）。由直線與平面所成的角的范圍為 0°， 90° 。（0 時，b 或b）求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角： “一作，二證，三計算” 。關(guān)鍵的步驟是“作角” （斜線和射影所成的角）求線面角的方法（求一條直線與平面所成的角，就是要找這條直線在平面上的射影，射影與它的直線所成的角即為線面角，即作垂線，找射影）定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）方法： 作直線上任意一點(diǎn)到面的垂線，與線面交點(diǎn)相連，利用

15、直角三角形有關(guān)知識求得三角形其中一角就是該線與平面的夾角。在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：1、斜線上一點(diǎn)到面的垂線；2、過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（ 3）二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個 面內(nèi) 分別作 垂直于 棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成

16、的二面角為直二面角二面角：二面角的平面角， 0° 180°求二面角的方法定義法： 在棱上選擇一個特殊點(diǎn)，過這個點(diǎn)分別在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法： 過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角為二面角的平面角垂線法： 過二面角的一個面內(nèi)一點(diǎn)作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角。9、“轉(zhuǎn)化思想” ，要熟練他們之間的轉(zhuǎn)換線線垂直線面垂直面面垂直線線平行線面平行面面平行證明空間線面平行或垂直需要注意三點(diǎn)（ 1）由已知想性質(zhì)，由求證想判定。（ 2）適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之

17、一。（ 3）使用定理時要明確已知條件是否滿足定理條件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。10、鞏固專項練習(xí)1 如圖，在三棱錐 S-ABC 中， SA 底面 ABC ， AB BC ， DE 垂直平分 SC，且分別交 AC 于 D，交 SC 于 E，又 SA=AB ， SB=BC ，求二面角 E- BD-C 的度數(shù)。2、在棱長都為1 的正三棱錐S ABC 中，側(cè)棱SA 與底面 ABC 所成的角是 _3、在正方體ABCD A1 B1C1 D1 中， BC1 與平面 AB1 所成的角的大小是_； BD1 與平面 AB1 所成的角的大小是_； CC1 與平面 BC1 D 所成的角的大小是_； BC1 與平面 A1

18、 BCD1 所成的角的大小是_；5 BD1 與平面 BC1 D 所成的角的大小是 _。4、已知空間內(nèi)一點(diǎn)O 出發(fā)的三條射線 OA 、OB、OC 兩兩夾角為60°，試求 OA 與平面 BOC所成的角的大小5、已知點(diǎn) S 是正三角形 ABC 所在平面外的一點(diǎn)， 且 SA SBSC ，SG為SAB上的高， D 、 E 、 F 分別是 AC 、 BC 、 SC的中點(diǎn)，試判斷SG與平面 DEF 內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明6、已知正方體ABCDA1B1C1 D1，求證平面 B1AD1 / / 平面 BC1 D7、已知直線PA 垂直正方形ABCD 所在的平面， A 為垂足。求證：平面PAC 平面 P

19、BD 。8、A 、已知直線 PA 垂直于圓 O 所在的平面， A 為垂足， AB 為圓 O 的直徑， C 是圓周上異于B 的一點(diǎn)。求證：平面PAC 平面 PBC 。9.若 m、n 是兩條不同的直線，、是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是()A. 若 m? ， ，則 m B.若 m， n， m n，則 C.若 m ， m ，則 D.若 ， ，則 10、設(shè) P 是 ABC 所在平面外一點(diǎn)，P 到 ABC 各頂點(diǎn)的距離相等，而且P 到 ABC 各邊的距離也相等，那么 ABC()A. 是非等腰的直角三角形B. 是等腰直角三角形C.是等邊三角形D. 不是 A、 B、 C 所述的三角形11、把等腰直角

20、 ABC 沿斜邊上的高AD 折成直二面角BAD C，則 BD 與平面 ABC 所成角的正切值為 () )23A. 2B. 2C.1D. 312、如圖，已知ABC 為直角三角形，其中ACB 90°， M 為 AB 的中點(diǎn)， PM 垂直于 ACB 所在平面，那么 ()A 、 PAPB>PCB 、 PA PB<PCC、 PA PB PCD 、 PA PB PC13、正四棱錐 S ABCD 的底面邊長為 2，高為 2，E 是邊 BC 的中點(diǎn)， 動點(diǎn) P 在表面上運(yùn)動，并且總保持 PE AC，則動點(diǎn) P 的軌跡的周長為.14、 、是兩個不同的平面，m、 n 是平面 及 之外的兩條不

21、同直線，給出四個論斷：m n； ； n ； m 。以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：.15、如圖 (1)，等腰梯形ABCD 中， AD BC， AB AD， ABC 60°， E 是 BC 的中點(diǎn)，如圖 (2) ，將 ABE沿 AE折起，使二面角B AE C成直二面角，連接BC， BD，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，P 是棱BC的中點(diǎn) .(1)求證： AEBD ；(2)求證：平面PEF 平面 AECD ；(3)判斷 DE 能否垂直于平面ABC？并說明理由 .如圖，已知PA矩形ABCD所在平面。M , N分別是的中點(diǎn)。16、AB,PC（）求證：MN面PAD1（

22、）求證：MNCD2（ ）若PDA45O求證：MN面PCD3,17、如圖所示，已知BCD 中， BCD 90°，BC CD 1， AB平面 BCD ， ADB 60°，E、 F 分別是 AC、AD 上的動點(diǎn)，且AE AF (0< <1).ACAD(1) 求證：不論 為何值，總有平面 BEF 平面 ABC；(2) 當(dāng) 為何值時，平面 BEF 平面 ACD？18、如圖，在矩形 ABCD 中，AB 2BC，P、Q 分別為線段AB、CD 的中點(diǎn)， EP 平面 ABCD .(1) 求證： DP 平面 EPC；(2) 問在 EP上是否存在點(diǎn)F 使平面 AFD平面 BFC？若存在，求出FP的值 .AP參考答案1、解：在 RtSAC中， SA=1 ， SC=2， ECA=30 °，在 RtDEC中， DEC=90 °， EDC=60 ° 所求的二面角為60°。5、分析1：如圖，觀察圖形， 即可判定SG/ 平面DEF，要證明結(jié)論成立，只需證明SG與平面DEF內(nèi)的一條直線平行觀察圖形可以看出：連結(jié)CG 與 DE 相交于H，連結(jié) FH，F(xiàn)H就是適合題意的直線怎樣證明SG/ FH ？只需證明H 是 CG 的中