一組擺桿滑塊機構(gòu)的相關(guān)問題探討

1、一組擺桿滑塊機構(gòu)的相關(guān)問題探討華 東 師 范 大 學(xué)王萌 趙亞男 王慧摘要本文通過對一組擺桿滑塊機構(gòu)的相關(guān)問題進(jìn)行分析，探討在不同假設(shè)情況下擺動機構(gòu)中各個構(gòu)件的運動學(xué)特性，通過建立數(shù)學(xué)模型，主要解決以下幾個問題：1、滑塊的位移與曲柄搖桿OQ的擺角的函數(shù)關(guān)系；2、曲柄搖桿OQ的擺角的變化范圍；3、滑塊的行程（即滑動的最大距離）；4、討論滑塊的運動學(xué)特性。在前三個問題中，我們推導(dǎo)出了三種假設(shè)情況下對應(yīng)的不同的結(jié)果，在模型的求解過程中，我們運用C+語言進(jìn)行編程調(diào)試（見附錄一）；在第四個問題中，在前三個問題的基礎(chǔ)之上，我們探討了影響滑塊P的運動速度的關(guān)鍵因素，并推導(dǎo)出具體的數(shù)學(xué)公式。在模型的求解過程中

2、，通過數(shù)學(xué)軟件MATLAB等計算工具，編寫相應(yīng)的程序（見附錄二），并用幾何畫板描繪圖像，對建立的模型進(jìn)行求解，得出了符合實際的結(jié)果。論文的最后引申推廣到現(xiàn)實生活中存在的物理機械模型“牛頭刨床”，因為本文中的模型實際上是通過曲柄搖桿的轉(zhuǎn)動，帶動滑塊的滑動的過程，這在實際生活中，很類似于牛頭刨床的工作原理。關(guān)鍵詞曲柄搖桿滑塊機構(gòu) 位移極值點 擺角變化范圍 運動學(xué)特性正 文 部 分一、問題的重述及簡要分析問題的重述：某種平面連桿擺動機構(gòu)的結(jié)構(gòu)和某時刻的位置如圖1所示，擺桿OQ繞O點擺動，通過連桿PQ帶動滑塊P水平往復(fù)運動，設(shè)擺桿長OQr，連桿長PQl，擺角中心O到滑軌OP的距離為h，且r<h&

3、lt;l+r. 根據(jù)這個擺動機構(gòu)使用的一般要求，作出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，解決以下問題： 1）P的位移x 與擺角的函數(shù)關(guān)系； 2）擺角的變化范圍； 3）滑塊P的行程（即滑動的最大距離）； 4）討論滑塊P運動速度的均勻性。圖1簡要分析：上述模型是典型的曲柄搖桿擺動機構(gòu)的模型，主要是通過兩桿（曲柄搖桿）的轉(zhuǎn)動帶動滑塊的水平移動，而我們就是要在一定的假設(shè)條件下，研究該機構(gòu)中各個構(gòu)件的運動學(xué)特性。我們下面對此模型作出必要的假設(shè)，從而對此進(jìn)行分析求解。二、 問題的假設(shè)與模型的建立求解提出假設(shè)在建立模型求解之前，為了方便問題的討論，我們做出下述假設(shè)：1：滑塊在運動過程中不受摩擦力作用；2：系統(tǒng)在轉(zhuǎn)軸點和曲柄連接處無

4、摩擦；3：不考慮OQ和QP兩桿的重力；4：兩桿OQ與QP在運動過程中不會阻礙彼此相互運動 （如：當(dāng)l-rh時，兩桿運動到同一直線上時不會發(fā)生摩擦。）建立模型并求解（1）的位移與擺角的函數(shù)關(guān)系；hOQPxlrO圖（1）如圖（1）所示，規(guī)定滑塊的位移向左為正，并設(shè)點處的位移，機構(gòu)的約束方程為：.消去參數(shù)可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為：.（2）擺角的變化范圍；（3）滑塊的行程（即滑動的最大距離）；（為了求解的需要，上述兩題放在一起求解）PhOQxlrO圖（2）PlrQ如圖（2）所示，當(dāng)垂直于軸時，滑塊運動至最右端，此時的擺角應(yīng)為最小值，由幾何關(guān)系可得：.而滑塊的最小位移出現(xiàn)在與在一條直線上時：.hOQPxlr

5、O圖（3）PlrQ由擺桿的擺動關(guān)于法線對稱，如圖（3），則由對稱性，最大擺角應(yīng)為：.而滑塊的最大位移出現(xiàn)在與在一條直線上時：.所以擺角的變化范圍為：.滑塊的行程區(qū)間為：.所以滑塊的行程為：對模型的近一步探討1、當(dāng)時：桿OQ與OP會運動至最低點，此時兩桿重合，滑塊在慣性的作用下會向右運動，從而OQ會轉(zhuǎn)動360度。這時擺角可以取任意值，P的行程區(qū)間為備注：如轉(zhuǎn)動至最低點后又沿原路返回，或者在最低點靜止不動了，則滑塊P只會在坐標(biāo)軸OO的左平面內(nèi)運動。但這兩種情況在理想化模型應(yīng)該不會出現(xiàn)，因為我們假設(shè)在沒有摩擦力的情況下，慣性會使滑塊向右運動。2、當(dāng)時：此時滑塊只能在負(fù)半軸或正半軸部分做往復(fù)運動。下面

6、我們以負(fù)半軸為例討論（正半軸情況同理）桿OQ與QP在向右轉(zhuǎn)動的過程中，當(dāng)轉(zhuǎn)動到圖示位置（見下圖）時，滑塊在A處達(dá)到最小位移為然后在桿的作用下，滑塊會反向運動，從而到達(dá)B點，即桿OQ與QP成一條直線處，此處對應(yīng)于滑塊的最大位移hOQPxlrO圖（4）PlrQAB（4）討論滑塊P運動速度的均勻性在前面第（1）問中，我們已經(jīng)討論得出因此，我們對關(guān)于求導(dǎo)，可得（這里，為了便于后面的討論，我們設(shè)此結(jié)果為k,顯然k不是常數(shù)），從而一首先，我們從最簡單的情況考慮：假設(shè)桿OQ勻速轉(zhuǎn)動，則有（即角速度） ,其中c為常數(shù)，此時，與t是線性函數(shù)關(guān)系，我們假設(shè)從上述解析式可以看出，v的變化完全依賴于的變化而變化，我們

7、利用幾何畫板軟件，可以模擬出以下圖像當(dāng)時，(假設(shè)h=4,l=3,r=2,c=1)圖（5）當(dāng)時，可取任意值(假設(shè)h=4,l=5,r=2,c=1)圖（6） <二假設(shè)桿OQ非勻速轉(zhuǎn)動時，即轉(zhuǎn)動的角速度為變量。我們給出下面幾種關(guān)于t的特殊函數(shù)關(guān)系：如果則這樣利用上述函數(shù)關(guān)系式，我們可以模擬出下面的圖像：當(dāng)時，(假設(shè)h=4,l=3,r=2,a=2)圖（7）當(dāng)時，可取任意值(假設(shè)h=4,l=5,r=2,a=2)圖（8）如果,則通過求導(dǎo)得到利用上述函數(shù)關(guān)系式，我們可以模擬出下面的圖像：當(dāng)時，(假設(shè)h=4,l=3,r=2,a=2)圖（9）當(dāng)時，可取任意值(假設(shè)h=4,l=5,r=2,a=2)圖（10）如

8、果,則通過求導(dǎo)得到那么利用上述函數(shù)關(guān)系式，我們可以模擬出下面的圖像：當(dāng)時，(假設(shè)h=4,l=3,r=2,a=2)圖（11）當(dāng)時，可取任意值(假設(shè)h=4,l=5,r=2,a=2)圖（12）備注：關(guān)于t可以有各種函數(shù)關(guān)系，以上我們只給出幾種較為常見的情況。 上述函數(shù)圖像我們利用幾何畫圖版工具模擬而得，也可以運用數(shù)學(xué)軟件MATLAB模擬，我們在附錄二中給出了源程序。三、模型的評價與改進(jìn)我們在討論過程中，假設(shè)了滑塊P沒有重力，與滑軌之間沒有摩擦，且不計兩桿的重力。但有時這些假設(shè)不會成立，這時我們得到的結(jié)果就會完全不同。這里我們考慮滑塊P與滑軌之間沒有摩擦，此時也分為幾種情況：若此滑軌十分粗糙，兩桿重力

9、可以小到忽略不計，那么滑塊P很可能就會靜止不動；若滑軌表面的粗糙程度是均勻的，則可以設(shè)摩擦系數(shù)是，通過受力分析來求解；若滑軌表面的粗糙程度是不均勻的，那么就很難把握其受力大小以及加速度大小等。 但是一般在實際情況下，連桿擺動機構(gòu)中O處的質(zhì)量很大，而滑塊P重力、兩桿重力以及摩擦力均可以忽略不計，即可得到我們前面的分析結(jié)果。此外，在第四問的討論中，由于不能確定與t的確切關(guān)系，所以我們只假設(shè)了幾種情況，還有許多種情況例如正弦函數(shù)關(guān)系、余弦函數(shù)關(guān)系等等。這里只要給出與t的一種關(guān)系，均可用上述討論的方法得到相應(yīng)的x與t的關(guān)系。即若要使P勻速運動，即，則四模型在實際生活中的運用該模型實際上是通過曲柄搖桿的

10、轉(zhuǎn)動，帶動滑塊的滑動的過程，這在實際的模型中，很類似于牛頭刨床的工作原理。牛頭刨床牛頭刨床，刨床的一種，利用住復(fù)運動的刀具切割已固定在機床工作平臺上的工件一般用來加工較小工件)。機床的刀架似牛頭，故名?；韼е俚叮髦本€住復(fù)運動的刨床，因滑枕前端的刀架形似牛頭而得名。牛頭刨床主要用于單件小批生產(chǎn)中刨削中小型工件上的平面、成形面和溝槽。中小型牛頭刨床的主運動(見機床)大多采用曲柄搖桿機構(gòu)(見曲柄滑塊機構(gòu))傳動，故滑枕的移動速度是不均勻的。大型牛頭刨床多采用液壓傳動，滑枕基本上是勻速運動?；淼姆祷匦谐趟俣却笥诠ぷ餍谐趟俣?。由于采用單刃刨刀加工，且在滑枕回程時不切削，牛頭刨床的生產(chǎn)率較低。機床的

11、主參數(shù)是最大刨削長度。牛頭刨床主要有普通牛頭刨床、仿形牛頭刨床和移動式牛頭刨床等。普通牛頭刨床(見圖)由滑枕帶著刨刀頭刨床和移動式牛頭刨床等。普通牛頭刨床(見圖)由滑枕帶著刨刀作水平直線住復(fù)運動，刀架可在垂直面內(nèi)回轉(zhuǎn)一個角度，并可手動進(jìn)給，工作臺帶著工件作間歇的橫向或垂直進(jìn)給運動，常用于加工平面、溝槽和燕尾面等。仿形牛頭刨床是在普通牛頭刨床上增加一仿形機構(gòu)，用于加工成形表面，如透平葉片。移動式牛頭刨床的滑枕與滑座還能在床身(臥式)或立柱(立式)上移動，適用于刨削特大型工件的局部平面。牛頭刨床主要由床身、滑枕、刀架、工作臺、橫梁、底座等組成。主要組成部分的名稱和作用如下：  1床身它用

12、來支承刨床各部件。其頂面燕尾形導(dǎo)軌供滑枕作往復(fù)運動用，垂直面導(dǎo)軌供工作臺升降用，床身內(nèi)內(nèi)部安裝有傳動機構(gòu)。 2滑枕主要用來帶動刨刀作直線往復(fù)運動。前端安裝刀架。  3刀架用于夾持刨刀。搖動上端刀架手柄，可使刨刀上下移動；松開轉(zhuǎn)盤上的螺母，將轉(zhuǎn)盤扳轉(zhuǎn)一定角度，可實現(xiàn)斜向進(jìn)給?；迳线€安裝有可偏轉(zhuǎn)的刀座。抬刀板可以繞刀座橫軸向上抬起，刨刀在返回行程時，抬刀板抬起，減少刨刀與工件的摩擦。 工作臺用來安裝工件。它可以隨橫梁作上下調(diào)整運動，也可沿橫梁作水平方向的移動和進(jìn)給運動。牛頭刨床的傳動機構(gòu) 搖臂機構(gòu)搖臂機構(gòu)安裝在刨床內(nèi)部，其作用是把電機傳來的旋轉(zhuǎn)運動變成滑枕的往復(fù)直線運動。搖臂機構(gòu)是由搖

13、臂齒輪和搖臂等組成，如圖。搖臂的下端與支架相連；上端與滑枕的螺母相連。搖臂的滑槽與搖臂齒輪上的偏心滑塊相連。當(dāng)搖臂齒輪由小齒輪帶動旋轉(zhuǎn)時，偏心滑塊帶動搖臂繞支架中心左右擺動，使滑枕作往復(fù)直線運動。  刨削前，要調(diào)整滑枕的行程大小，使之略大于工件刨削表面長度。調(diào)整滑枕行程長度的方法是改變搖臂齒輪上滑塊的偏心位置，轉(zhuǎn)動方頭便可使滑塊在搖臂齒輪的導(dǎo)向槽內(nèi)移動，從而改變其偏心距。偏心距越大，滑枕的行程越長。 刨削前，還要根據(jù)工件的左右位置來調(diào)節(jié)滑枕的行程位置。方法是先使搖臂停留在極右位置，松開鎖緊手柄，用扳手轉(zhuǎn)動滑枕內(nèi)的圓錐齒輪使絲桿旋轉(zhuǎn)，從而使滑枕右移至合適位置，然后擰緊手柄。  

14、;棘爪架空套在絲桿軸上，棘輪由鍵和絲桿相聯(lián)。搖臂軸旋轉(zhuǎn)時，通過齒輪轉(zhuǎn)動，帶動偏心銷，使連桿拉動棘爪架往復(fù)擺動。搖臂齒輪軸每轉(zhuǎn)動一周，刨刀往返一次，棘爪架即往復(fù)擺動一次。棘爪架上裝有棘爪，借彈簧壓力使棘爪與棘輪保持接觸。搖桿向前擺動時，棘爪的垂直面推動棘輪；搖桿向后擺動時，棘爪的斜面從棘輪上滑過，而棘輪不動。因此棘爪架每往復(fù)擺動一次，即推動棘輪向前轉(zhuǎn)動若干齒，從而使工作臺沿水平方向移動一定距離，實現(xiàn)自動進(jìn)給。改變棘爪的前后方向，即可改變工作臺的進(jìn)給方向。若將棘爪提起，則棘爪與棘輪分離，自動進(jìn)給停止，此時，可用手動進(jìn)給。   工作臺進(jìn)給量的大小，可通過調(diào)整棘輪罩的位置，即使棘輪罩遮住棘爪

15、擺動范圍內(nèi)的部分棘齒，改變棘爪每次撥動的有效齒數(shù)進(jìn)行改變。調(diào)節(jié)進(jìn)給量的另一種方法是改變偏心銷的偏心距離，偏心距小，則每次棘爪每次撥動的齒數(shù)少，進(jìn)給量就??；反之進(jìn)給量就大。 刨削加工的主運動為刨刀的直線運動，刨削為單向加工，向前為加工行程，返回為空程。刨刀每次返回后，工件作橫向的間歇移動是進(jìn)給運動。五參考文獻(xiàn)：1 李海濤，鄧櫻，MATLAB程序設(shè)計教程，北京：高等教育出版社，2002。2 趙靜，但琦，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗，北京：高等教育出版社，2004。3 朱龍根主編，機械設(shè)計，北京：機械工業(yè)出版社，2006。附錄：程序清單一前三題我們所運用的c+程序如下：#include <iostrea

16、m>#include <cmath>using namespace std;void main()double r,l,h;cout<<"請輸入擺桿OQ的長度r："<<endl;cin>>r;cout<<"請輸入連桿PQ的長度l："<<endl;cin>>l;cout<<"請輸入擺角中心O到滑軌O'P的距離h："<<endl;cin>>h;double P(double r,double l,doubl

17、e h);double Betamin(double r,double l,double h);double Betamax(double r,double l,double h);cout<<"滑塊P的行程為："<<P(r,l,h)<<endl;cout<<"Beta角的變化范圍是："<<Betamin(r,l,h)<<","<<Betamax(r,l,h)<<""<<endl;double P(double r,double l,double h) /計算滑塊P的行程return 2*sqrt(l+r)*(l+r)-h*h);do