第三節(jié) 雅克比迭代法和高斯-塞德爾迭代法

1、精選ppt1第三節(jié)第三節(jié) 向量范數(shù)和矩陣范數(shù)向量范數(shù)和矩陣范數(shù)一、一、 向量范數(shù)向量范數(shù)非負性：非負性：齊次性：齊次性：三角不等性：三角不等性：x0,nxR 且且x00 x ,nxxxRR ,nxyxyx yR 則稱則稱 為為 中向量中向量 的的范數(shù)范數(shù)。xnRx非負實值非負實值函數(shù)函數(shù)存在唯一實數(shù)存在唯一實數(shù) 與之對應，且滿足與之對應，且滿足x定義：定義：設設 是是 的一個映射，若對的一個映射，若對nRRnxR ( )f x精選ppt2 常用的幾種常用的幾種向量范數(shù)：向量范數(shù)： 設設12(,)Tnxx xx 1- -范數(shù)：范數(shù)： 2- -范數(shù)：范數(shù)： - -范數(shù)：范數(shù)： 11niixx 12

2、221()( , )niixxx x 1maxii nxx 上述上述3種向量范數(shù)統(tǒng)稱為種向量范數(shù)統(tǒng)稱為P- -范數(shù)范數(shù)111()nppipixxp 精選ppt3二、二、 矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)非負性：非負性：齊次性：齊次性：三角不等性：三角不等性：A0,n nAR 且且A00A ,n nAAARR ,n nABABA BR ,n nABA BA BR 定義：定義：設設 是是 的一個映射，若對的一個映射，若對n nRR ( )f An nAR ，存在唯一實數(shù)存在唯一實數(shù) 與之對應，且滿足與之對應，且滿足A則稱則稱 為為 中矩陣中矩陣 的的范數(shù)范數(shù)。n nR AA精選ppt4列范數(shù)：列范數(shù)：111max

3、nijj niAa 記記()ijn nAa 行范數(shù)：行范數(shù)：11maxniji njAa 譜范數(shù)：譜范數(shù)：12A 其中其中 是是 的的最大最大特征值特征值1 TA A譜半徑譜半徑1()maxii nA 12()TA A 常用的幾種常用的幾種矩陣矩陣范數(shù)：范數(shù)：精選ppt5 第第四節(jié)四節(jié) 解解線性方程組的迭代法線性方程組的迭代法求解求解,n nAxb AR 0det()A 迭代法迭代法從一個從一個初始向量初始向量出發(fā)出發(fā), ,按照一定的按照一定的遞推遞推格式格式, ,產生逼近方程組的產生逼近方程組的近似解序列近似解序列。迭代法迭代法是一種是一種逐次逼近逐次逼近的方法的方法, ,與直接法比較與直接

4、法比較, , 具有具有: : 程序簡單程序簡單, ,存儲量小的存儲量小的優(yōu)點。優(yōu)點。特別適用于求解系數(shù)特別適用于求解系數(shù)矩陣為矩陣為大型稀疏矩陣大型稀疏矩陣 的方程組的方程組。思思路路與與不動點迭代相似不動點迭代相似 ， 將方程組將方程組 等價改寫等價改寫成成 形式，從而建立形式，從而建立迭代格式迭代格式A xb xBxf 1()( )kkxBxf ，從從 出發(fā)，生成迭代序列出發(fā)，生成迭代序列0( )x( )kx精選ppt6一一、雅克比雅克比迭代法迭代法設方程組設方程組10;(),();det()ijn ninAxb AabbA 將系數(shù)矩陣將系數(shù)矩陣分裂分裂為為：ADLU其中其中1122(,)

5、nnDdiag aaa 0L 21a31a1na0032a2na1,n na 000U 12a13a1na0023a2na1,nna 00精選ppt7如果如果01 2(, , )iiain原方程組可化為原方程組可化為11()xDL U xD b Bxf其中其中11();BDLUfD b 相應的迭代格式相應的迭代格式10 1 2()( );, , ,kkxBxf k 上述方法稱為上述方法稱為雅克比雅克比迭代法，簡稱迭代法，簡稱J法或法或簡單簡單迭代法迭代法分量形式：分量形式：11111 2( )( )();, ,inkkiijjijjjj ikiiiba xa xxina 精選ppt8二二、高斯

6、高斯- -塞德爾塞德爾迭代法迭代法高斯高斯- -塞德爾塞德爾迭代法是迭代法是雅克比雅克比迭代法的一種改進迭代法的一種改進。在在雅克比雅克比迭代公式中，計算迭代公式中，計算 時，利用已經算時，利用已經算1()kix 高斯高斯- -塞德爾塞德爾迭代法迭代法的分量形式：的分量形式：111111 2()( )();, ,inkkiijjijjjj ikiiiba xa xxina 111121()()(),kkkixxx 出來的出來的新的新的 值，從而得到值，從而得到 高斯高斯- -塞德爾塞德爾迭代法。迭代法。精選ppt9例例1 1：利用利用雅克比雅克比和和高斯高斯- -塞德爾塞德爾迭代法求解方程組迭代法求解方程組10311010 21331x2x3x 145 14解：解：123114310( )( )()()kkkxxx 113252310( )( )()()()kkkxxx 112314310( )( )()()kkkxxx 雅克比雅克比迭代格式迭代格式精選ppt10123114310( )( )()()kkkxxx 1113252310()( )()()()kkkxxx 11112314310()()()()kkkxxx 高斯高斯- -塞德爾塞德爾迭代格式迭代格式計算結果計算結果000()T