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1、教學(xué)設(shè)計(jì):直線的斜率江蘇省南菁高級(jí)中學(xué) 鄒小東教學(xué)目的1、了解解析幾何這門(mén)學(xué)科及其研究方法;2、理解直線的斜率,經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線斜率的過(guò)程,掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率的計(jì)算公式;3、理解直線的傾斜角的概念,知道直線的傾斜角的范圍;4、掌握直線的斜率和直線的傾斜角之間的關(guān)系;5、使學(xué)生感受直線的方向與直線的斜率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而體會(huì)研究直線的方向的變化規(guī)律,只要研究其斜率的變化規(guī)律。教學(xué)重點(diǎn) 直線的斜率教學(xué)難點(diǎn) 直線的斜率公式的理解 教學(xué)方法講解法、發(fā)現(xiàn)法、討論法教具準(zhǔn)備木板課程內(nèi)容分析本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù),對(duì)一些基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)已掌握的前提下,解析幾何的第一節(jié)課,教師應(yīng)向?qū)W生展
2、示在平面直角坐標(biāo)系下,數(shù)和形的關(guān)系,從而揭示解析幾何的研究方法和解決的問(wèn)題,為今后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。建議在教學(xué)過(guò)程中從學(xué)生熟悉的一次函數(shù)的圖象著手,導(dǎo)出解析幾何這門(mén)學(xué)科,從解析幾何的研究方法和平面內(nèi)確定一條直線的條件,啟發(fā)學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)刻畫(huà)直線傾斜程度的量。本節(jié)課的重點(diǎn)是直線的斜率,由兩點(diǎn)確定一條直線聯(lián)想能否用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示,結(jié)合學(xué)生熟悉的坡度的定義,揭示如何用兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示,以及表示的合理性。對(duì)直線斜率公式的應(yīng)用,要注意公式成立的條件和公式的正用、逆用,特別要說(shuō)明斜率不存在時(shí),直線存在(讓學(xué)生體驗(yàn)此時(shí)直線的位置,以加深印象),在逆用時(shí)強(qiáng)調(diào)斜率是一比值,由它能知道直線在坐標(biāo)系中的位置(體現(xiàn)數(shù)和
3、形的結(jié)合,讓學(xué)生利用圖象發(fā)現(xiàn)并歸納),若再有一點(diǎn)即知直線上另一點(diǎn)的坐標(biāo)(啟發(fā)學(xué)生利用斜率公式進(jìn)行求解,提醒注意不唯一)。直線的傾斜角是從幾何的角度來(lái)刻畫(huà)直線在坐標(biāo)系中的傾斜度,如何定義直線的傾斜角?對(duì)特殊的直線傾斜角又怎樣規(guī)定?對(duì)照?qǐng)D形予以說(shuō)明,進(jìn)而明確直線的傾斜角的范圍。關(guān)于直線的傾斜角和斜率的關(guān)系,要滲透分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)方法??紤]到學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式和正切函數(shù)的單調(diào)性還不知道,故應(yīng)附以說(shuō)明和借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器的定量計(jì)算,讓學(xué)生有所了解。教學(xué)過(guò)程一、問(wèn)題情景情景1:畫(huà)出一條直線問(wèn)題1:對(duì)所畫(huà)圖形你知道多少?二、學(xué)生活動(dòng)學(xué)生進(jìn)行思考、聯(lián)想、討論由學(xué)生說(shuō)出或經(jīng)啟發(fā)得到:是一次函數(shù)圖象。進(jìn)而設(shè)問(wèn):能否知
4、道是哪個(gè)一次函數(shù)?是否需要什么條件?學(xué)生回答并求出函數(shù)解析式,就函數(shù)解析式與其圖象的關(guān)系教師指出:直角坐標(biāo)系的建立架起了“數(shù)”與“形”的橋梁。解析幾何這門(mén)學(xué)隨之而產(chǎn)生。(學(xué)科介紹:解析幾何的創(chuàng)始人笛卡爾是17世紀(jì)法國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家,它是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題的學(xué)科。因此同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這門(mén)學(xué)科的過(guò)程中,務(wù)必耐心細(xì)致地進(jìn)行計(jì)算,確保運(yùn)算的準(zhǔn)確。)問(wèn)2:怎樣才能畫(huà)出一條直線?學(xué)生回答并演示(過(guò)兩點(diǎn);過(guò)一點(diǎn)及確定的方向)觀察:直線的方向與直線在坐標(biāo)系傾斜度的關(guān)系問(wèn)3:我們熟悉的坡度是怎樣確定的?利用木板進(jìn)行演示,讓學(xué)生有一個(gè)感性認(rèn)識(shí),體驗(yàn)坡度是由什么來(lái)確定的。揭示:(坡度=)問(wèn)4:如果給你直線上兩點(diǎn),
5、你能用它們的坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà)其傾斜度嗎?由學(xué)生討論引出課題:直線的斜率三、建構(gòu)數(shù)學(xué)直線的斜率定義:已知兩點(diǎn)P(x1,y1)Q(x2,y2),如果x1x2,那么直線PQ的斜率為: yQ(x2,y2)P(x1,y1)y2y1x1oxylP(x1,y1)Q(x2,y2)x2-x1y2-y1oy2y1x1x2深化對(duì)定義理解:斜率是直線傾斜程度的數(shù)量化,是一比值;斜率公式與兩點(diǎn)的順序有關(guān)嗎?為什么?對(duì)于不垂直于x軸的直線,其斜率是否唯一確定?與x軸垂直的直線,其斜率又是怎樣呢?四、數(shù)學(xué)運(yùn)用例1:直線l1、l2、l3都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2),又l1、l2、l3分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-
6、3,2),試計(jì)算直線l1、l2、l3的斜率。變:點(diǎn)Q1(m,-1),求l1的斜率;若此時(shí)l1的斜率為2,求m的值。點(diǎn)評(píng):本例意在鞏固斜率公式,變式可加深認(rèn)識(shí)公式成立的條件;k0,k=0,k0,k不存在時(shí),直線的形狀,讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合; 探索函數(shù)y=kx+b中的k的幾何意義:設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)和點(diǎn)Q(x2,y2)(x1x2)為函數(shù)y=kx+b圖象上任意兩點(diǎn)。則 從而 知:k為直線的斜率。為今后研究直線的方程與一次函數(shù)的關(guān)系奠定基礎(chǔ)。例2:經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2)畫(huà)直線,使直線的斜率分別為:;分析:關(guān)鍵是確定直線上另一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):一般可利用斜率公式根據(jù)斜率k和已知點(diǎn)P(x1,y1)而得到另一個(gè)點(diǎn)
7、Q(x2,y2)(不唯一)由得以求進(jìn)一步深化對(duì)斜率的理解,特別是公式中的x與y可正可負(fù)的認(rèn)識(shí)。情景2:過(guò)一點(diǎn)畫(huà)出許多直線,在直角坐標(biāo)系觀察各條直線的位置。問(wèn)題2:反映直線傾斜程度的量除了斜率外,還可以用什么來(lái)表示?學(xué)生觀察并進(jìn)行討論,引出:直線的傾斜角定義:(分與x軸相交的直線和與x軸重合或平行的直線兩種情況)范圍:例3:設(shè)直線l1過(guò)定點(diǎn)A,其傾斜角為a,若將l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,得到直線l2,求l2的傾斜角q。點(diǎn)評(píng):通過(guò)畫(huà)圖形加深對(duì)傾斜角定義的理解,結(jié)合圖形確定對(duì)傾斜角進(jìn)行分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn),從中體會(huì)分類(lèi)討論的思想方法。y直線的斜率和直線的傾斜角的關(guān)系BxoANaxBNAqqaa
8、 分直線的傾斜角為銳角(見(jiàn)圖)和直線的傾斜角為鈍角(見(jiàn)圖)啟發(fā)學(xué)生利用斜率的定義發(fā)現(xiàn):(注:)點(diǎn)評(píng):都是刻畫(huà)直線傾斜程度的量,直線的傾斜角側(cè)重于幾何直觀形象,而直線的斜率側(cè)重于用數(shù)來(lái)刻畫(huà)直線的方向;直線的傾斜角a是角,且0°a180°,而斜率k是實(shí)數(shù),且kR當(dāng)a90°時(shí),k=tana;當(dāng)a=90°時(shí),k不存在;當(dāng)a=0°時(shí),k=0;當(dāng)a為銳角時(shí),k0且k隨a的增大而增大;當(dāng)a為鈍角時(shí),k0且k隨a的增大而增大。(通過(guò)計(jì)算機(jī)、計(jì)算器的計(jì)算讓學(xué)生感知)練習(xí)判斷下列命題的真假: 若兩條直線的傾斜角相等,則它們的斜率也一定相等; 若兩條直線的斜率相等,則它們的傾斜角也一定相等; 若兩條直線的傾斜角不等,則它們中傾斜角大的,其斜率也
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