數(shù)學(xué)北師大必修ⅱ1.7.2例析空間幾何體的體積問題 素材

1、例析空間幾何體的體積問題近幾年來，立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定，題目難易適中，而選擇題、填空題又經(jīng)常研究空間幾何體的幾何特征和體積、表面積。體積的計(jì)算，是定量研究幾何體的重要內(nèi)容與方法.對一些常用公式要牢記，包括柱體、錐體和球體的體積公式。下面給出一些典型例題希望對大家有幫助。一直接考查體積公式例1：養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為，高，養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽，現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大（高不變）；二是高度增加 （底面直徑不變）。（1）分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的體積；（2）分別計(jì)算按這兩種方

2、案所建的倉庫的表面積；（3）哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？ 解：（1）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成,則倉庫的體積如果按方案二，倉庫的高變成，則倉庫的體積（2）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成,半徑為。 棱錐的母線長為則倉庫的表面積如果按方案二，倉庫的高變成。 棱錐的母線長為 則倉庫的表面積（3） ， 練習(xí)：正四棱錐底面邊長為4，側(cè)棱長為3，則其體積為 .解：如圖，在OPA 中，因?yàn)?，所以正四棱錐的高為 ，故正四棱錐的體積為 從而應(yīng)填二 巧妙變形考查體積公式例2 將邊長為的正方體沿對角線折起，使得，則三棱錐的體積為 解析：先作圖如下： 對照平面圖形（圖1）和立體圖形（圖2）反復(fù)觀察，不難發(fā)現(xiàn)，折疊前的

3、線段DO和BO，它們在折疊后的長度未變，仍為.由勾股定理不難算出DOB=90.折疊前與AC垂直的線段BD雖被折成兩段，但與AC的垂直關(guān)系并沒有改變，即DOAC.因此易知DO即為三棱錐的高，從而易求出三棱錐的體積點(diǎn)評：在研究空間幾何體問題時(shí)，經(jīng)常要進(jìn)行一些圖形變換，折疊（旋轉(zhuǎn)）和展開就是兩種常見的圖形變換形式. 把平面圖形按照一定的規(guī)則進(jìn)行折疊（旋轉(zhuǎn)），得到空間幾何體，進(jìn)而研究其性質(zhì)，是一種常見的題型.解這類問題的關(guān)鍵是要分清折疊（旋轉(zhuǎn)）前后的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變與不變.練習(xí)如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點(diǎn)，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，

4、那么V1V2= _ _。解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2Sh。E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。點(diǎn)評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。三。創(chuàng)新考查空間幾何體的體積知識例3.兩相同的正四棱錐組成如圖甲所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（ ）A. 1個(gè)B. 2個(gè) C. 3個(gè)D. 無窮多個(gè)解：由于兩個(gè)正四棱

5、錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，由對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，問題轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種，所以選D。點(diǎn)評：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學(xué)會(huì)將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化。練習(xí)：如圖3，在棱長為a的正方體中，EF是棱AB上的一條線段，且EFba，若Q是上的定點(diǎn)，P在上滑動(dòng)，則四面體PQEF的體積（ ）（A)是變量且有最大值（B）是變量且有最小值（C）是變量無最大最小值（D）是常量分析：此題的解決

6、需要我們仔細(xì)分析圖形的特點(diǎn)這個(gè)圖形有很多不確定因素，線段EF的位置不定，點(diǎn)P在滑動(dòng)，但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現(xiàn)其中的穩(wěn)定因素？求四面體的體積要具備哪些條件？仔細(xì)觀察圖形，應(yīng)該以哪個(gè)面為底面？觀察，我們發(fā)現(xiàn)它的形狀位置是要變化的，但是底邊EF是定值，且P到EF的距離也是定值，故它的面積是定值再發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q到面PEF的距離也是定值因此，四面體PQEF的體積是定值我們沒有一點(diǎn)計(jì)算，對圖形的分析幫助我們解決了問題 練習(xí)：如解（9）圖，體積為V的大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個(gè)交點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn).V1為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確