第十一章習題課常數(shù)項級數(shù)審斂ppt課件

1、1 1、常數(shù)項級數(shù)、常數(shù)項級數(shù) 常數(shù)項級數(shù)收斂常數(shù)項級數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ). .收斂級數(shù)的基本性質收斂級數(shù)的基本性質級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:習題課習題課 常數(shù)項級數(shù)審斂常數(shù)項級數(shù)審斂一、主要內容一、主要內容常數(shù)項級數(shù)審斂法常數(shù)項級數(shù)審斂法正正 項項 級級 數(shù)數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯級數(shù)交錯級數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質按基本性質;,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若SSn;, 0,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當當 nun一般項級數(shù)

2、一般項級數(shù)4.絕對收斂絕對收斂2 2、正項級數(shù)及其審斂法、正項級數(shù)及其審斂法.有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂ns(1) (1) 比較審斂法比較審斂法(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式( (3 3) ) 極極限限審審斂斂法法0, 0nnvu設設nnvu 與與若若是同階無窮小是同階無窮小同同斂斂散散與與則則 nnvu特別特別 nnvu 若若（等價無窮小）（等價無窮?。┩瑪繑可⑸⑴c與則則 nnvu( (4 4) ) 比比值值審審斂斂法法( (達達朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )(5) (

3、5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )3 3、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法4 4、任意項級數(shù)及其審斂法、任意項級數(shù)及其審斂法Leibniz定理定理絕對收斂，條件收斂絕對收斂，條件收斂附：附：正項級數(shù)與任意項級數(shù)審斂程序正項級數(shù)與任意項級數(shù)審斂程序 nu0nu nu發(fā)散發(fā)散NYnnuu1lim 1 Ynnvu 0nnulim N1 N改改用用它它法法Y nu收斂收斂 nv收斂收斂 nu發(fā)散發(fā)散 nu收斂收斂 nv發(fā)散發(fā)散 nu0nuN 發(fā)散發(fā)散 nuY斂斂 |nuY絕絕對對收收斂斂 nu 收斂收斂 nuN用檢比用檢比 法法用比較法用比較法用用L準則或考察部分和準則

4、或考察部分和N收斂 nuNY條件收斂條件收斂例例1求極限求極限nnnn 2!3lim 解解考察正項級數(shù)考察正項級數(shù) nnnnu2!3nnnnnnnnnnuu32!2)!1(3limlim111 10)1(23lim nn由檢比法由檢比法 nnn 2!3收斂收斂由級數(shù)收斂的必要條件得由級數(shù)收斂的必要條件得02!3lim nnnn二、典型例題二、典型例題例例2 設設 0lim anann試證試證 na發(fā)散發(fā)散證證不妨設不妨設 a 0 由極限保號性知由極限保號性知N 時當Nn 0 na由于由于01limlim ananannnn故由比較法的極限形式得故由比較法的極限形式得 na發(fā)散發(fā)散例例3 假假設

5、設 nu nv都發(fā)散都發(fā)散 那那么么A )(nnvu必發(fā)散必發(fā)散B nnvu必發(fā)散必發(fā)散C |nnvu必發(fā)散必發(fā)散D以上說法都不對以上說法都不對例例3 3;)1()1(:11 nnnnnnn判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根據級數(shù)收斂的必要條件，根據級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散 1).0()1()2ln()2(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(li

6、mlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時時從而有從而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1101時時即即當當 aa原級數(shù)收斂；原級數(shù)收斂；,1110時時即即當當 aa原級數(shù)發(fā)散；原級數(shù)發(fā)散；,1時時當當 a,)11()2ln(1 nnnn原級數(shù)為原級數(shù)為,)11()2ln(lim nnnn原級數(shù)也發(fā)散原級數(shù)也發(fā)散斂斂？是是條條件件收收斂斂還還是是絕絕對對收收斂斂？如如果果收收斂斂，是是否否收收判判斷斷級級數(shù)數(shù) 1ln)1(nnnn例例4 4解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1

7、(11發(fā)發(fā)散散 nnnnnnn即原級數(shù)非絕對收斂即原級數(shù)非絕對收斂,ln)1(1級數(shù)級數(shù)是交錯是交錯 nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上上單單增增在在 ,ln1單單減減即即xx ,1ln1時單減時單減當當故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯級數(shù)收斂，所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂故原級數(shù)是條件收斂 na nc都收斂都收斂 且且nnncba 例例5 設設 試證試證 nb收斂

8、收斂證證由由 nnncba 知知nnnnacab 0因因 na nc都收斂都收斂 故正項級數(shù)故正項級數(shù) )(nnac收斂收斂再由比較審斂法知再由比較審斂法知 正項級數(shù)正項級數(shù) )(nnab收斂收斂而而nnnnaabb )(即即 nb可表為兩個收斂級數(shù)可表為兩個收斂級數(shù)之和之和 )(nnab na故故 nb收斂收斂例例6 設設 0, 0 nnba且且nnnnbbaa11 假假設設 nb收斂收斂 那那么么 na也收斂也收斂證證由題設知由題設知1111bababannnn nnbbaa11 而而 nb收斂收斂由比較法得由比較法得 na收斂收斂Cauchy積分審斂法積分審斂法設設 0)( xfy單調減

9、少單調減少)(nfun 那那么么 1nnu與與 1)(dxxf同斂散同斂散例例7 證證由由 f(x) 單調減少知單調減少知 11)()()1(kkkkukfdxxfkfu即即 nknnkkkudxxfu11111)(nnnSdxxfSS 1111)(故故 1nnu與與 1)(dxxf同斂散同斂散例例8 設設 nu是單調增加且有界的正數(shù)數(shù)列是單調增加且有界的正數(shù)數(shù)列試證明試證明 )1(11 nnnuu收斂收斂證證記記11 nnnuuv那那么么011 nnnnuuuv且且11uuuvnnn 而正項級數(shù)而正項級數(shù) 11)(nnnuu的部分和的部分和 nknkknuuuuS1111)(又又 nu單調增

10、加且有界單調增加且有界故由單調有界原理知故由單調有界原理知 Aunn lim存在存在1limuASnn 即即 11)(nnnuu收斂收斂進而進而 111)(1nnnuuu收斂收斂由比較法得由比較法得 1nnv收斂收斂設正數(shù)數(shù)列設正數(shù)數(shù)列 na單調減少，級數(shù)單調減少，級數(shù) 11)1(nnna發(fā)散發(fā)散考察考察nnna)11(1 的斂散性的斂散性證證 記記nnnau)11( 由由 na單調減少單調減少0 na故由單調有界原理知故由單調有界原理知 Aann lim存在存在且且0 A假假設設0 A由由Leibniz審斂法得審斂法得 交錯級數(shù)交錯級數(shù) 11)1(nnna收斂收斂 與題設矛盾與題設矛盾0 A

11、nnnnnau 11limlim111 A由檢根法知由檢根法知 nnna)11(1 收斂收斂 例例9 知知 nunnln1lnlim0 nu證明證明收斂收斂 nu1 發(fā)散發(fā)散nu1 的斂散性不定的斂散性不定nu1 由由1ln1lnlim nunn知知對對1 NnN ,有有1ln1ln qnun nqunln1ln nqunlnln 證證例例10qnnu1 而而 qn1收斂收斂故由比較法知故由比較法知 nu收斂收斂 由由1ln1lnlim nunn知知NnN 當,有有1ln1ln rnun nrunln1ln nrunlnln rnnu1 而而 rn1發(fā)散發(fā)散故由比較法知故由比較法知 nu發(fā)散發(fā)

12、散如如pnnnu)(ln1 1ln)ln(lnlnlimln1lnlim nnpnnunnn但但收斂收斂時時 nup1發(fā)散發(fā)散時時 nup1 討論討論 1npnna的斂散性的斂散性), 0(常常數(shù)數(shù)ap 解解對級數(shù)對級數(shù) 1npnna|)1(limlim1aannuupnnnn 1| a 1npnna收斂收斂 1npnna絕對收斂絕對收斂1| a 1npnna發(fā)散發(fā)散 1npnna發(fā)散發(fā)散1| a分情況說明分情況說明例例11 1 a級數(shù)成為級數(shù)成為 11npn1 p收斂收斂1 p發(fā)散發(fā)散1 a級數(shù)成為級數(shù)成為 1)1(npnn1 p絕對收斂絕對收斂1 p條件收斂條件收斂例例12 對對 ,的值，

13、研究一般項為的值，研究一般項為 nnnVn 2sin的級數(shù)的斂散性的級數(shù)的斂散性解解)(sin nnVn )sin()1(nn 由于當由于當 n 充分大時，充分大時， )sin(n 定號定號故級數(shù)從某一項以后可視為交錯級數(shù)故級數(shù)從某一項以后可視為交錯級數(shù)整數(shù)整數(shù)當當 為何值為何值無論無論 總有總有|)sin(|lim|lim nVnnn 0|sin| 0lim nnV級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散整數(shù)整數(shù)當當 nVnnsin)1( 時當 n nsin非增地趨于非增地趨于 0 由由Leibniz審斂法知審斂法知 1nnV收斂收斂但但 |sin|lim1|lim nnnVnnn而而 11nn發(fā)散發(fā)散故由比較法的

14、極限形式故由比較法的極限形式時當0 1sinnn 發(fā)散發(fā)散 1nnV條件收斂條件收斂0 0 nV級數(shù)顯然收斂級數(shù)顯然收斂 正項級數(shù)正項級數(shù) 由級數(shù)收斂的必要條件要使由級數(shù)收斂的必要條件要使 收斂必須收斂必須 nu0nu但在一般項趨于但在一般項趨于 0 的級數(shù)中為什么有的收斂有的級數(shù)中為什么有的收斂有的卻發(fā)散，的卻發(fā)散，0nu因此從原則上講，比較法是基礎，更重要更因此從原則上講，比較法是基礎，更重要更基本，但其極限形式包括極限審斂法則基本，但其極限形式包括極限審斂法則更能說明問題的實質，使用起來也更有效更能說明問題的實質，使用起來也更有效的階的階問題的實質是級數(shù)收斂與否取決于問題的實質是級數(shù)收斂

15、與否取決于關于常數(shù)項級數(shù)審斂關于常數(shù)項級數(shù)審斂nnnuu1lim 和和nnnu lim作為作為nu變化快慢變化快慢得到檢比法和檢根法，檢比法得到檢比法和檢根法，檢比法和檢根法的實質是把所論級數(shù)與某一幾何級數(shù)和檢根法的實質是把所論級數(shù)與某一幾何級數(shù)作比較，雖然使用起來較方便但都會遇到作比較，雖然使用起來較方便但都會遇到“失失效的情況。效的情況。 收收斂斂收收斂斂nnuu |這一結論將許多級數(shù)的斂散性判定問題歸結為正項這一結論將許多級數(shù)的斂散性判定問題歸結為正項級數(shù)的斂散性判定級數(shù)的斂散性判定注注比較法、比較法的極限形式、檢比法、比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對正項級數(shù)方檢根法、積分審斂法，只能對正項級數(shù)方可使用可使用的一種估計的一種估計檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件L準則也是充分條件而非必要條件準則也是充分條件而非必要條件通項