專(zhuān)題研究：等差數(shù)列及前n項(xiàng)和歸納總結(jié)及典型例題

1、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和【高考導(dǎo)向】1考查運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問(wèn)題2考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式及綜合應(yīng)用【教材地位】數(shù)列這一章在高中教材當(dāng)中的地位相當(dāng)重要，既是與前面函數(shù)等一系列內(nèi)容有交叉部分，又能與后面的不等式等內(nèi)容銜接上。高考中占據(jù)相當(dāng)大的分值，大題中會(huì)出現(xiàn)一題，前面小題也會(huì)出現(xiàn)。所以這一節(jié)很重要，對(duì)于每一位學(xué)員來(lái)說(shuō)，很有必要學(xué)好?！局仉y點(diǎn)】1等差數(shù)列的判斷及證明2等差數(shù)列常見(jiàn)性質(zhì)及推導(dǎo)3運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問(wèn)題4等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式及綜合應(yīng)用【知識(shí)梳理】1等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)

2、列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示記：（d為公差）（，）2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為ana1(n1)d.推廣公式： 變形推廣：3、等差中項(xiàng)（1）如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列4、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）5、等差數(shù)列的判定方法（證明方法） （1） 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列 （2）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列 （3）數(shù)列

3、是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。注 后兩種方法只能用來(lái)判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來(lái)證明等差數(shù)列6、等差數(shù)列相關(guān)技巧：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱(chēng)作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng)奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，,（注意；公差為2）7、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的 一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0。（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為

4、常數(shù)列。（3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有。（注：，）當(dāng)然擴(kuò)充到3項(xiàng)、4項(xiàng)都是可以的，但要保證等號(hào)兩邊項(xiàng)數(shù)相同，下標(biāo)系數(shù)之和相等。（4）、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列 (5) 若是等差數(shù)列，則 ，也成等差數(shù)列 (6) an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列（7） 、的前和分別為、，則（8） 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，前m項(xiàng)和，則前m+n項(xiàng)和，當(dāng)然也有，則（9）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則（其中是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)）8、求的最值法一：因等差數(shù)列前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函

5、數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和即當(dāng) 由可得達(dá)到最大值時(shí)的值（2）“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。即 當(dāng) 由可得達(dá)到最小值時(shí)的值或求中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸最近的整數(shù)時(shí)，取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對(duì)稱(chēng)軸為9、解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通常考慮兩類(lèi)方法：基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程；巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量?！纠}精選】考向1：等差數(shù)

6、列的概念【例1】（2001天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列答案：B；解法一：an=an=2n1（nN）又an+1an=2為常數(shù)，常數(shù)an是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.解法二：如果一個(gè)數(shù)列的和是一個(gè)沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識(shí)，以及靈活運(yùn)用遞推式an=SnSn1的推理能力.但不要忽略a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活?？枷?：等差數(shù)列基本量的計(jì)算【例2】(2011

7、83;福建)在等差數(shù)列an中，a11，a33.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk35，求k的值審題視點(diǎn) 第(1)問(wèn)，求公差d；第(2)問(wèn)，由(1)求Sn，列方程可求k.解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d.由a11，a33可得12d3.解得d2.從而，an1(n1)×(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以Sn2nn2.進(jìn)而由Sk35可得2kk235.即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7為所求 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量，知三可求二，如果已知兩個(gè)條件，就可以列出方程組解之如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)、幾

8、何意義去考慮也可以體現(xiàn)了用方程思想解決問(wèn)題的方法【訓(xùn)練1】 (2011·湖北)九章算術(shù)“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_(kāi)升解析 設(shè)竹子從上到下的容積依次為a1，a2，a9，由題意可得a1a2a3a43，a7a8a94，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則有4a16d3，3a121d4，由可得d，a1，所以a5a14d4×.答案 考向3： 等差數(shù)列的判定或證明【例3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且滿(mǎn)足an2Sn·Sn10(n2)，a1.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式審

9、題視點(diǎn) (1)化簡(jiǎn)所給式子，然后利用定義證明(2)根據(jù)Sn與an之間關(guān)系求an.(1)證明 anSnSn1(n2)，又an2Sn·Sn1，Sn1Sn2Sn·Sn1，Sn0，2(n2)由等差數(shù)列的定義知是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列(2)解 由(1)知(n1)d2(n1)×22n，Sn.當(dāng)n2時(shí)，有an2Sn×Sn1，又a1，不適合上式，an 等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法，而對(duì)于通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適合在選擇題中簡(jiǎn)單判斷【訓(xùn)練2】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是n的二次函數(shù)，且a12，a22，S36.(1)求Sn；(2)證明：數(shù)列

10、an是等差數(shù)列(1)解 設(shè)SnAn2BnC(A0)，則解得：A2，B4，C0.Sn2n24n.(2)證明 當(dāng)n1時(shí)，a1S12.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n24n2(n1)24(n1)4n6.an4n6(nN*)當(dāng)n1時(shí)符合上式，故an4n6，an1an4，數(shù)列an成等差數(shù)列考向4： 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值【例:4】設(shè)等差數(shù)列an滿(mǎn)足a35，a109.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求an的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值審題視點(diǎn) 第(1)問(wèn)：列方程組求a1與d；第(2)問(wèn)：由(1)寫(xiě)出前n項(xiàng)和公式，利用函數(shù)思想解決解 (1)由ana1(n1)d及a35，a109得可解得數(shù)列an的通項(xiàng)公式

11、為an112n.(2)由(1)知，Snna1d10nn2.因?yàn)镾n(n5)225，所以當(dāng)n5時(shí)，Sn取得最大值 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值(2)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和SnAn2Bn(A、B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值【訓(xùn)練3】 在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值解 法一 a120，S10S15，10×20d15×20d，d.an20(n1)×n.a130.即當(dāng)n12時(shí)，an0，n14時(shí)，an0

12、.當(dāng)n12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S12S1312×20×130.法二 同法一求得d.Sn20n·n2n2.nN*，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.法三 同法一得d.又由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.考向5：等差數(shù)列通項(xiàng)公式【例:5】設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則（ ）A B C D解析：，將代入，得，從而。選B。點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將因式轉(zhuǎn)化為只含首項(xiàng)和公差的式子，變?cè)獪p少，因式就容易處理了?！纠?6】已知

13、數(shù)列為等差數(shù)列，且 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）證明解析：（1）（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d。由即d=1。所以即（II）證明因?yàn)?，所?點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)求通項(xiàng)公式，最終通過(guò)通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問(wèn)題，屬于綜合性的題目，解題過(guò)程中注意觀察規(guī)律?？枷?：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式【例:7】（1）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有（ ）A.13項(xiàng)B.12項(xiàng)C.11項(xiàng)D.10項(xiàng)（2）設(shè)數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（ ）A.1 B.2 C.4 D.6（3）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則（ ）A B C

14、D解析：（1）答案：A設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)n13（2）答案：B前三項(xiàng)和為12，a1a2a312，a24a1·a2·a348，a24，a1·a312，a1a38，把a(bǔ)1，a3作為方程的兩根且a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，選B.（3）答案為A；點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用和考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力?！纠?8】設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則Sn=na1n（n1）dS77，S1575，即解得a12，d1a1（n1）d2

15、（n1）。，數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差為，Tnn2n評(píng)述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對(duì)一些綜合性的問(wèn)題要先理清思路再行求解?？枷?：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式【例:9】（1）設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5S6，S6S7S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值（2）等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ）A.130 B.170 C.210 D.260解析：（1）答案：C；由S5<S6得a1+a2+a3+a5<a1+a2+a5+a6，a6>0，又S6=

16、S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7>S8，得a8<0，而C選項(xiàng)S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由題設(shè)a7=0，a8<0，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。（2）答案：C解法一：由題意得方程組，視m為已知數(shù)，解得，。解法二：設(shè)前m項(xiàng)的和為b1，第m+1到2m項(xiàng)之和為b2，第2m+1到3m項(xiàng)之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110前3m項(xiàng)之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2

17、=S2S1=70，從而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210。點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問(wèn)題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問(wèn)題，等比數(shù)列也有類(lèi)似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對(duì)任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項(xiàng)的和是與m無(wú)關(guān)的不變量，在含有某種變化過(guò)程的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用不變量的思想求解，立竿見(jiàn)影。【例10】設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，Sn324，最后6項(xiàng)的和為180(n6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n.審題視點(diǎn) 在等差數(shù)列 an中，若mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)用

18、此性質(zhì)可優(yōu)化解題過(guò)程解 由題意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又Sn324，18n324.n18. 本題的解題關(guān)鍵是將性質(zhì)mnpqamanapaq與前n項(xiàng)和公式Sn結(jié)合在一起，采用整體思想，簡(jiǎn)化解題過(guò)程【訓(xùn)練4】 (1)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a17，且滿(mǎn)足an1an2(nN)，則a1a2a17_.(2)等差數(shù)列an中，a1a2a324，a18a19a2078，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于_解析 (1)an1an2，an為等差數(shù)列an7(n1)·2，a17716×225，S17153.(2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54