反思數(shù)學(xué)思想方法提高教學(xué)有效性

1、反思數(shù)學(xué)思想方法提高教學(xué)有效性丹陽市第五中學(xué)（212300） 湯秀財 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的高度抽象和概括，它蘊含在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。當(dāng)題目解決后，教師因勢利導(dǎo)地讓學(xué)生回顧反思，體會自己的研究過程，感悟其中的數(shù)學(xué)思想和技巧，使得學(xué)生的創(chuàng)造性活動得到再次升華。本文就反思圓錐曲線最值問題中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法作一些探究。一、 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法，利用圖形性質(zhì)來研究數(shù)量間關(guān)系的常用方法。解題是若能正確理解題意，借助圖形分析問題，將會直觀、簡捷。例 點和分別是橢圓上的動點和右焦點，定點B（2，2）求|MF|+|MB|的最小值 求|MB|+|MF|的最小值解：

2、易知橢圓右焦點F（4，0），左焦點F（-4，0），離心率,準線方程|MF|+|MB|=10-|MF1|+|MB|=10-（|MF1|-|MB|）當(dāng)M、B、F三點共線時，|MF1|-|MB|最大此時|MF|+ |MB|10-|F1B|=10-作MH垂直右準線于H，則，于是 反思：此類問題應(yīng)用兩個等價定義出發(fā)，再轉(zhuǎn)化為平幾中的問題：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于第三邊。利用數(shù)形結(jié)合求解，式解法適合于橢圓、雙曲線、拋物線的形如：的最小值問題。例 設(shè)P（x,y）在橢圓上運動，求的最大值分析：把看作是（x,y）與原點連線的斜率，則問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上的點與原點連線的斜率的最大值問題。解：設(shè)

3、，將y=2kx代入橢圓方程得由0得 ，所以的最大值為 反思：此類數(shù)形結(jié)合的思想方法適合于解決橢圓、圓、雙曲線、拋物線題型中形如：求最值問題。二、 參數(shù)思想 如果動點P（x,y）的坐標(biāo)關(guān)系不易找出時，可引入?yún)?shù)，三角換元，利用三角等價變形求最值。例 求橢圓上的點到直線的最大距離解：設(shè)橢圓上任一點P的坐標(biāo)為,則點P到直線的距離所以點P到直線的距離d的最大值為 本題也可用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題，利用直線與橢圓相切，求出距離的最大與最小值。例 橢圓上一動點P（x,y）與點A（a,0）(0a3)之間距離的最小值為1，求a的值解：設(shè)動點P的坐標(biāo)為，則=因為0a3,所以0若01 即0a 當(dāng)時解得（舍去）若1

4、 即ab0）的頂點B（0，-b)引一條弦BP，求弦BP的最大長度。解：設(shè)P（x,y）則 此時-byb 對稱軸當(dāng)即時 當(dāng)即時 五、 函數(shù)思想 函數(shù)思想是一種通過構(gòu)造，并應(yīng)用函數(shù)解題的思想，在圓錐曲線求最值問題中經(jīng)常應(yīng)用。例 過點A（8，0）作傾角為45的直線，交拋物線于M、N兩點，又作BCMN，交于B、C兩點，設(shè)直線BC與MN之間的距離為m，當(dāng)ABC面積取最大值時，求直線BC的方程及m的值。解：由題意=tan45=1,故可設(shè)直線BC的方程為又B、C兩點在上，-8b1 (BC與相切時b=1)將直線代入拋物線得設(shè) 則又A點到BC的距離SABC令，則03， 令解得 又03 直線BC的方程為，m的值為六

5、、 對稱思想對稱問題一般包括點對稱、直線對稱等，同時圓錐曲線自身的對稱性在解題中也有重要應(yīng)用。例 若直線與橢圓相交于A、B兩點，當(dāng)t 變化時求|AB|的最大值。分析：由直線與橢圓位置關(guān)系及橢圓的對稱性得直線與橢圓相交所得最大弦長應(yīng)為直線過橢圓中心時取得將直線代入橢圓解得，所以例 在直線上任取一點P，且以橢圓的焦點為焦點作橢圓，當(dāng)P點在何處時，所求橢圓的長軸最短？并求橢圓方程解：設(shè)橢圓焦點為，連結(jié)，在同側(cè)作關(guān)于的對稱點連結(jié)，則與的交點即為所求點，設(shè)將代入 解得（-9，12）的方程為： 與聯(lián)立解得P（-5，4）此時 所求橢圓方程為求圓錐曲線中的最值問題是高中教學(xué)中的一個重要環(huán)節(jié)，其中包含的數(shù)學(xué)思想并非彼此孤立，教會學(xué)生反思學(xué)習(xí)研究問題所涉及的思