等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理

1、.一 . 本周教學(xué)內(nèi)容：等腰三角形的性質(zhì)和判定二 . 教學(xué)目標(biāo)：（一）知識(shí)與技能：（ 1）掌握等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理，并會(huì)靈活運(yùn)用。（ 2）能用上述結(jié)論進(jìn)行分析與說理，進(jìn)行初步的邏輯思維訓(xùn)練，形成一定的推理能力。（二）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過等腰三角形性質(zhì)定理和判定定理的證明體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。三 . 重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理難點(diǎn)是利用定理解決實(shí)際問題四 . 教學(xué)過程：（一）知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn) 1：等腰三角形的性質(zhì)定理1（ 1）文字語言：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）（ 2）符號(hào)語言：如圖，在 ABC 中，因?yàn)?AB=AC ，所以 B= C（ 3）證明

2、：取 BC 的中點(diǎn) D，連接 AD在 ABD 和 ACD 中 ABD ACD （ SSS） B= C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（ 4）定理的作用：證明同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等。知識(shí)點(diǎn) 2：等腰三角形性質(zhì)定理2（ 1）文字語言： 等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線， 底邊上的高， 互相重合 （簡(jiǎn)稱“三線合一”）（ 2）符號(hào)語言： AB=ACAB=AC AB=AC'. 1=2AD BCBD=DC AD BC， BD=DC 1= 2 1= 2BD=DCADBC（ 3）定理的作用：可證明角相等，線段相等或垂直。說明： 在等腰三角形中經(jīng)常添加輔助線，雖然“頂角的平分線，底邊上的高、底邊上的中線

3、互相重合，如何添加要根據(jù)具體情況來定，作時(shí)只作一條，再根據(jù)性質(zhì)得出另兩條”。知識(shí) 3：等腰三角形的判定定理（ 1）文字語言：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫為“等角對(duì)等邊”）（ 2）符號(hào)語言：在 ABC 中 B= C AB=AC（ 3）證明：過 A 作 AD BC 于 D，則 ADB= ADC=90 °。在 ABD 和 ACD 中 ABD ACD（AAS ） AB=AC（ 4）定理的作用：證明同一個(gè)三角形中的邊相等。說明： 本定理的證明還有其他證明方法（如作頂角的平分線）。證明一個(gè)三角形是等腰三角形的方法有兩種：1、利用定義2、利用定理?！镜湫屠}分析】基

4、礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題：例 1. 如圖，已知 P、Q 是 ABC 邊 BC 上兩點(diǎn)，且 BP=PQ=AP=AQ=QC ，求 BAC 的度數(shù)。解： AP=PQ=AQ （已知） APQ 是等邊三角形（等邊三角形的定義） APQ= AQP= PAQ=60 °（等邊三角形的性質(zhì)） AP=BP （已知） PBA= PAB （等邊對(duì)等角）又 APQ= PAB+ PBA=60 ° PBA= PAB=30 °同理 QAC=30 °'. BAC= PAB+ PAQ+ QAC=30 ° +60° +30 ° =120° 解答此類題的步驟

5、如下：（ 1）利用等邊對(duì)等角根據(jù)已知角的度數(shù)求另一個(gè)角的度數(shù)。（ 2）利用三角形內(nèi)角和定理，確定等量關(guān)系，借助等式或方程求解。例 2. 已知：如圖，在 ABC 中， B= C， D、 E、 F 分別為 AB ，BC ， AC 上的點(diǎn)，且BD=CE ， DEF= B 。求證： DEF 是等腰三角形。證明： B+ BDE+ BED=180 °（三角形內(nèi)角和定理） BED+ DEF+ FEC=180 °（平角性質(zhì)） B= DEF（已知） BDE= FEC（等角的補(bǔ)角相等）在 BED 和 CFE 中 BDE= FEC 中 （已證）BD=CE（已知） B= C（已知） BED CFE

6、 （ ASA ） DE=EF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） DEF 是等腰三角形（等腰三角形定義）綜合應(yīng)用題：例 3. 已知：如圖， AC 和 BD 相交于點(diǎn) O， AB CD ， OA=OB ，求證： OC=OD證明： AB CD（已知） A= C， B= D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） OA=OB （已知） A= B（等邊對(duì)等角） C= D（等量代換） OC=OD （等角對(duì)等邊）例 4. 如圖，在四邊形 ABDC 中， AB=2AC ， 1= 2，DA=DB ，試判斷 DC 與 AC 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。'.證法一： 證明：作 DE AB 于 E DA=DB DE AB AE=BE

7、= AB=2AC AE=AC在 AED 和 ACD 中 AED ACD C= AED=90 ° DC 與 AC 的位置關(guān)系為：DC AC證法二： 證明：延長(zhǎng)AC 到 F，使 CF=AC ，連結(jié) DF AB=2AC ， AF=2AC AB=AF在 ABD 和 AFD 中 ABD AFD DF=DB DA=DB DA=DF又 AC=CF DCAF說明： 法一是利用了“截長(zhǎng)法”即在長(zhǎng)線段AB 上截取 AE=AB法二是利用了“補(bǔ)短法”即在短線段AC 上補(bǔ)足 AF=AB ，從而達(dá)到解決問題的目的。例 5. 求證：等腰三角形兩腰上的中線相等解： 已知：如圖所示，在ABC 中， AB=AC ， B

8、D ，CE 是 ABC 的中線求證： BD=CE'.證明： BD ， CE 是 ABC 的中線 AE=AB ， AD=AC AB=AC AE=AD在 ABD 和 ACE 中 ABD ACE （ SAS） BD=CE （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）說明： 這是一個(gè)證明文字?jǐn)⑹龅膸缀蚊}的題目，做這類題時(shí)首先要分清題設(shè)，結(jié)論，畫出草圖，結(jié)合圖形寫出：已知、求證、然后再證明。例 6. 如圖，點(diǎn) C 為線段 AB 上的一點(diǎn)， ACM ， BCN 是等邊三角形， AN ， MC 相交于點(diǎn) E，CN 與 BM 相交于點(diǎn) F。（ 1）求證 AN=BM（ 2）求證 CEF 為等邊三角形證明： （ 1） A

9、CM ， CBN 是等邊三角形 AC=MC ， CN=CB ， ACM= NCB=60 ° ACN= BCM=120 °在 ACN 和 MCB 中 ACN MCB （SAS） AN=BM（ 2）由（ 1）中 ACN MCB ANC= MBC在 CEN 和 CFB 中 CEN CFB（ ASA ） CE CF又 ECF 60°'. CEF 為等邊三角形例 7. 下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片斷，閱讀后，請(qǐng)回答下面的問題：學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后，蘇老師請(qǐng)同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問題：“已知，等腰三角形 ABC 的角 A 等于 30°， 請(qǐng)你求出其余兩角。

10、”同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后，李明舉手講：“其余兩角 30°和 120°，”衛(wèi)華同學(xué)說：“其余兩角是 75°和 75°”還有一些同學(xué)也提出了不同的看法 （ 1）假如你也在課堂中，你的意見如何？為什么？（ 2）通過上面數(shù)學(xué)問題的討論，你有什么感受？（用一句話表示）解略【模擬試題】 （答題時(shí)間： 25 分鐘）1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為（）A. 60°B. 120°C. 60°或 150°D. 60 °或 120°2.如圖， ABC 中 AB=AC ，點(diǎn)

11、D 在 AC 邊上，且 BD=BC=AD ，則 A 的度數(shù)為（）A. 30°B. 36°C. 95°D. 70°3. 如圖， ABC 中， AD BC 于 D，BE AC 于 E，AD 與 BE 相交于 F，若 BF=AC ，那么 ABC 的大小是（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°4. 聰明的小明用含有 30°角的兩個(gè)完全相同的三角板拼成如圖所示的圖案，并發(fā)現(xiàn)圖中有等腰三角形，請(qǐng)你幫他找出兩個(gè)等腰三角形：。5.如圖，一個(gè)頂角為 40°的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，則1+ 2=度。6. 在 ABC 中， AB=AC ， AB 邊的垂直平分線與AC 所在直線相交所得的銳角為40°，則底角 B 的大小為。7. 如圖，已知 ABC 為等邊三角形， D、 E、 F 分別在邊 BC 、CA 、 AB 上，且 DEF 是等邊三角形'.（ 1）除已知相等的邊以外， 請(qǐng)你猜想還有哪些相等的線段， 并證明你的猜想是正確的。（ 2）你所證明相等的線段可以通過怎么樣的變化相互得到？寫出變化過程?！驹囶}答案】1. D2. B3. B4. A