2012年全國(guó)高考(湖南卷)理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(共18頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.設(shè)集合M=-1,0,1，N=x|x2x，則MN=A.0 B.0,1 C.-1,1 D.-1,0,0【答案】B【解析】 M=-1,0,1 MN=0,1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的基本運(yùn)算，較簡(jiǎn)單，易得分.先求出,再利用交集定義得出MN.2.命題“若=，則tan=1”的逆否命題是A.若，則tan1 B. 若=，則tan1C. 若tan1，則 D. 若tan1，則=【答案】C【解析】因?yàn)椤叭簦瑒t”的逆否命

2、題為“若，則”，所以 “若=，則tan=1”的逆否命題是 “若tan1，則”.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.3.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是【答案】D【解析】本題是組合體的三視圖問題，由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知，原圖下面圖為圓柱或直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是該幾何體的俯視圖，不可能是該幾何體的俯視圖，因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為如圖的矩形.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查空間想象能力.是近年高考中的熱點(diǎn)題型.4.設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身

3、高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（，）C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg【答案】D【解析】【解析】由回歸方程為=0.85x-85.71知隨的增大而增大，所以y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，由最小二乘法建立的回歸方程得過程知，所以回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（，），利用回歸方程可以預(yù)測(cè)估計(jì)總體，所以D不正確.【點(diǎn)評(píng)】本題組要考查兩

4、個(gè)變量間的相關(guān)性、最小二乘法及正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的概念，并且是找不正確的答案，易錯(cuò).5. 已知雙曲線C ：-=1的焦距為10 ，點(diǎn)P （2,1）在C 的漸近線上，則C的方程為A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1w#ww.zz&st【答案】A【解析】設(shè)雙曲線C ：-=1的半焦距為，則.又C 的漸近線為，點(diǎn)P （2,1）在C 的漸近線上，即.又，C的方程為-=1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想和基本運(yùn)算能力，是近年來?？碱}型.6. 函數(shù)f（x）=sinx-cos(x+)的值域?yàn)?A -2 ,2 B.-, C.-1,1 D.- , 【答案

5、】B【解析】f（x）=sinx-cos(x+)，值域?yàn)?,.【點(diǎn)評(píng)】利用三角恒等變換把化成的形式，利用，求得的值域.7. 在ABC中，AB=2，AC=3，= 1則.中&%國(guó)教*育出版網(wǎng)A. B. C. D.【答案】A【解析】由下圖知.又由余弦定理知，解得.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、余弦定理等知識(shí).考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.需要注意的夾角為的外角.8已知兩條直線 ：y=m 和： y=(m0)，與函數(shù)的圖像從左至右相交于點(diǎn)A，B ，與函數(shù)的圖像從左至右相交于C,D .記線段AC和BD在X軸上的投影長(zhǎng)度分別為a ,b ,當(dāng)m 變化時(shí)，的最小值為來

6、源%&:中國(guó)*教育#出版網(wǎng)A B. C. D. 【答案】B【解析】在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=(m0)，圖像如下圖，由= m，得，= ，得.依照題意得.，.【點(diǎn)評(píng)】在同一坐標(biāo)系中作出y=m，y=(m0)，圖像，結(jié)合圖像可解得.二 、填空題： 本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分 ，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.（一）選做題（請(qǐng)考生在第9、10、 11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分 ）9. 在直角坐標(biāo)系xOy 中，已知曲線： (t為參數(shù))與曲線 ：(為參數(shù)，) 有一個(gè)公共點(diǎn)在X軸上，則.【答案】【解析】曲線：直角坐標(biāo)方程為，與軸交點(diǎn)為；曲線 ：直角

7、坐標(biāo)方程為，其與軸交點(diǎn)為，由，曲線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)在X軸上，知.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法等.曲線與曲線的參數(shù)方程分別等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，找出與軸交點(diǎn)，即可求得.10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集為_.【答案】【解析】令，則由得的解集為.【點(diǎn)評(píng)】絕對(duì)值不等式解法的關(guān)鍵步驟是去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（組）.11.如圖2，過點(diǎn)P的直線與圓O相交于A，B兩點(diǎn).若PA=1，AB=2，PO=3，則圓O的半徑等于_.【答案】【解析】設(shè)交圓O于C，D，如圖，設(shè)圓的半徑為R，由割線定理知【點(diǎn)評(píng)】本題考查切割線定理，考查數(shù)形結(jié)合思想，由切割

8、線定理知，從而求得圓的半徑. (二)必做題（1216題）12.已知復(fù)數(shù) (i為虛數(shù)單位)，則|z|=_.【答案】10【解析】=，.【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模.把復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)的形式，利用求得.13.( -)6的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .（用數(shù)字作答）【答案】-160【解析】( -)6的展開式項(xiàng)公式是.由題意知，所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察二項(xiàng)式定理，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決這類問題的常規(guī)辦法.14.如果執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，輸入,n=3,則輸出的數(shù)S= .【答案】【解析】輸入,n=3,，執(zhí)行過程如下：；，所以輸出的是.【點(diǎn)評(píng)】本題考查算法流程圖，要明白循環(huán)

9、結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，一般解法是逐步執(zhí)行，一步步將執(zhí)行結(jié)果寫出，特別是程序框圖的執(zhí)行次數(shù)不能出錯(cuò).15.函數(shù)f（x）=sin ()的導(dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖4所示，其中，P為圖像與y軸的交點(diǎn)，A,C為圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖像的最低點(diǎn).（1）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，），則 ;（2）若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為 .【答案】（1）3；（2）【解析】（1），當(dāng)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）時(shí)；（2）由圖知，設(shè)的橫坐標(biāo)分別為.設(shè)曲線段與x軸所圍成的區(qū)域的面積為則，由幾何概型知該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、幾何概型等，（1）利用點(diǎn)P在圖像上求，（2）幾

10、何概型，求出三角形面積及曲邊形面積，代入公式即得.16.設(shè)N=2n（nN*，n2），將N個(gè)數(shù)x1,x2,，xN依次放入編號(hào)為1,2，N的N個(gè)位置，得到排列P0=x1x2xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前和后個(gè)位置，得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到；當(dāng)2in-2時(shí)，將Pi分成2i段，每段個(gè)數(shù)，并對(duì)每段C變換，得到Pi+1，例如，當(dāng)N=8時(shí)，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時(shí)x7位于P2中的第4個(gè)位置.（1）當(dāng)N=16時(shí)，x7位于P2中的第_個(gè)位置；（2）當(dāng)N=2n（n

11、8）時(shí)，x173位于P4中的第_個(gè)位置.【答案】（1）6；（2）【解析】（1）當(dāng)N=16時(shí),可設(shè)為,即為,即, x7位于P2中的第6個(gè)位置,；（2）方法同（1）,歸納推理知x173位于P4中的第個(gè)位置.【點(diǎn)評(píng)】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動(dòng)腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問題.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分12分）某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件

12、17件及以上顧客數(shù)（人）302510結(jié)算時(shí)間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中的一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55.（）確定x，y的值，并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；&%中國(guó)教育出版網(wǎng)*#（）若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率.（注：將頻率視為概率）中%#國(guó)教*育出版網(wǎng)【解析】（1）由已知,得所以該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所以收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得 的分布為 X11.522.53PX的數(shù)學(xué)期望為 .

13、（）記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘”，為該顧客前面第位顧客的結(jié)算時(shí)間，則 .由于顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且的分布列都與X的分布列相同，所以 .故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，考查分布列及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查運(yùn)算能力、分析問題能力.第一問中根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和100位顧客中的一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55知從而解得，計(jì)算每一個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，從而求得分布列和期望；第二問，通過設(shè)事件，判斷事件之間互斥關(guān)系，從而求得該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率.18.（本小題滿分12分） 如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，

14、AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90°，E是CD的中點(diǎn).來源%:*中#國(guó)教育出版網(wǎng)（）證明：CD平面PAE；（）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.【解析】解法1（如圖（1），連接AC，由AB=4，是的中點(diǎn)，所以所以而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD平面PAE.（）過點(diǎn)作由（）CD平面PAE知，平面PAE.于是為直線與平面PAE所成的角，且.由知，為直線與平面所成的角.由題意，知因?yàn)樗杂伤运倪呅问瞧叫兴倪呅危视谑窃谥校杂谑怯痔菪蔚拿娣e為所以四棱錐的體積為解法2：如圖（2），以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間

15、直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為：（）易知因?yàn)樗远瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以()由題設(shè)和（）知，分別是，的法向量，而PB與所成的角和PB與所成的角相等，所以由（）知，由故解得.又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為 .【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面垂直關(guān)系的證明，考查空間角的應(yīng)用，及幾何體體積計(jì)算.第一問只要證明即可，第二問算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積，或者建立空間直角坐標(biāo)系，求得高幾體積.19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1,2， 來&源:中教網(wǎng)%（1） 若

16、a1=1，a2=5，且對(duì)任意nN，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式.（2） 證明：數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.【解析】解（）對(duì)任意,三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，所以即亦即故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.于是（）（）必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對(duì)任意，有由知，均大于，于是即，所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.（）充分性：若對(duì)于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則，于是得即由有即，從而.因?yàn)?，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要

17、條件是：對(duì)任意nN，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證.20.（本小題滿分13分）來#源:中教%&*網(wǎng)某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A，B，三種部件的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為,（單位：件）.已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)部件件，或部件件，或部件件.該企業(yè)計(jì)劃安排名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)部件的人數(shù)與生產(chǎn)部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（k為正整數(shù)）.（）設(shè)生產(chǎn)部件的人數(shù)為，分別寫出完成，三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間；（）假

18、設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案.【解析】解：（）設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間（單位：天）分別為由題設(shè)有 期中均為1到200之間的正整數(shù).（）完成訂單任務(wù)的時(shí)間為其定義域?yàn)橐字瑸闇p函數(shù)，為增函數(shù).注意到于是（1）當(dāng)時(shí)， 此時(shí) ，由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得.由于.故當(dāng)時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為.（2）當(dāng)時(shí)， 由于為正整數(shù)，故，此時(shí)易知為增函數(shù)，則.由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得.由于此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于.（3）當(dāng)時(shí)， 由于為正整數(shù)，故，此時(shí)由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)

19、取得最小值，解得.類似（1）的討論.此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為，大于.綜上所述，當(dāng)時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)生產(chǎn)，三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.【點(diǎn)評(píng)】本題為函數(shù)的應(yīng)用題，考查分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值等，考查運(yùn)算能力及用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際應(yīng)用問題的能力.第一問建立函數(shù)模型；第二問利用單調(diào)性與最值來解決，體現(xiàn)分類討論思想.21.（本小題滿分13分）www.z%zstep.co*&m在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點(diǎn)均在C2：（x-5）2y2=9外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，M到直線x=2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.（）求曲線C1的方程；（）設(shè)P(x0,y0)（

20、y0±3）為圓C2外一點(diǎn)，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線x=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值.【解析】（）解法1 ：設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得，易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè).于是，所以.化簡(jiǎn)得曲線的方程為.解法2 ：由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為.（）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為，又，則過P且與圓相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為.于是整理得 設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程的兩個(gè)實(shí)根，故 由得 設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為，則是方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 同理可得 于是由，三式得.所以，當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為