立體幾何解題方法技巧

1、專題六立體幾何解題方法技巧一、內(nèi)容提要：立體幾何需要我們?nèi)ソ鉀Q的問題概括起來就是三個(gè)方面，證明位置關(guān)系、求距離和求 角；具體內(nèi)容見下表：立 體 幾 何提 要主要內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容位置關(guān)系兩條異面直線相互垂直、直線與平面平仃、直 線與平面斜交、直線與平面垂直、兩個(gè)平面斜交、 兩個(gè)平面相互垂直兩條異面直線相互垂直、直線 與平面平行、直線與平面垂 直、兩個(gè)平面相互垂直距離兩條異面直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線到 平面的距離、兩個(gè)平面的距離兩條異面直線的距離、點(diǎn)到平 面的距離角 度兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角、 二面角兩條異面直線所成的角、 直線 和平面所成的角、二面角二、主要解題方法：（一）

2、位置關(guān)系1、兩條異面直線相互垂直證明方法：證明兩條異面直線所成角為90o；證明兩條異面直線的方向量相互垂直2、直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；0證明這條直線的方向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；0證明這條直線的方向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。3、直線和平面垂直證明方法：0證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，0證明直線的方向量與這個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量都垂直；0證明直線的方向量與這個(gè)平面的法向量相互平行。4、平面和平面相互垂直證明方法：0證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為900； 0證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個(gè)平面； 0證明兩個(gè)平面的法向量相互

3、垂直。（二）求距離求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到 平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。1、兩條異面直線的距離求法：如果知道兩條 異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長(zhǎng)度，線段長(zhǎng)度的求法也可以用向量來幫助解決，求線段AB的長(zhǎng)度，可以利用一2一 2AB （AM MN NB）來幫助解決，但是前提條件是我們要知道 | ABn|AM,MN, NB的模和每?jī)蓚€(gè)向量所成的角。 利用公式d（其中A B|n|分別為兩條異面直線上的一點(diǎn)，n為這兩條異面直線的法向量）2、點(diǎn)到平面的距離求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出

4、來。色等體積法。向量法，利用公d I AB n|式d（其中a為已知點(diǎn)，b為這個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，n這個(gè)平面的法向量）|n|（三）求角1、兩條異面直線所成的角求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得； 色通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異 面直線所成角得范圍是（0,，向量所成的角范圍是0,，如果求出的是鈍角，要2注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。2、直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角 a,那么所要求的角為一 或一2 23、平面與平面所成的角求法：“一找二證三

5、求”， 找出這個(gè)二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個(gè)角 是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。通過射影面積來求s射影cos(在其中一個(gè)平面內(nèi)找出一個(gè)三角形，然后找這個(gè)三角形在另外一個(gè)平面的s原射影，那么這個(gè)三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cos a,注意到我們要求的角為a或n a);向量法，先求兩個(gè)平面的法向量所成的角為a,那么這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為 a或n a。我們現(xiàn)在來解決立體幾何的有關(guān)問題的時(shí)候，注意到向量知識(shí)的應(yīng)用， 如果可以比較容易建立坐標(biāo)系，找出各點(diǎn)的坐標(biāo)，那么剩下的問題基本上就可以解決了，如果建立坐標(biāo)系不好做的話，有時(shí)求距離、角的時(shí)候也可以用

6、向量，運(yùn)用向量不是很方便的時(shí)候，就用傳統(tǒng)的 方法了！三、注意的問題：1、我們現(xiàn)在提倡用向量來解決立體幾何的有關(guān)問題，但是當(dāng)運(yùn)用向量不是很方便的時(shí)候， 傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運(yùn)用自如。2、我們?nèi)绻峭ㄟ^解三 角形去求角、距離的時(shí)候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“/a是我們所要求的角”、“線段AB的長(zhǎng)度就是我們所要求的距離”等等。讓人看起來一目了然。3、 用向量來求兩條異面直線所成角時(shí)，若求出COS a= X,則這兩條異面直線所成的角為a=a rccos|x|4、在求直線與平面所成的角的時(shí)候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補(bǔ)交與我們所要求的角

7、互余，所以要一 或一，若求出的角為銳角，2 2就用，若求出的鈍角，就用2 25、求平面與平面所成角的時(shí)，若用第 、種方法，先要去判斷這個(gè)二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍?！緦ｎ}訓(xùn)練】1、已知三棱錐 PABC中PB丄底面ABC BCA 90 ,PB=BC=CA= E是 PC的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在 PA上，且 3PF=FA.(1) 求證：平面PACL PBC求平面BEF與底面ABC所成角(用一個(gè)反三角函數(shù)值表示)用心愛心專心4用心愛心專心#B用心愛心專心5P2、如圖，四棱錐 P ABCD勺底面是正方形，PA丄底面 ABCD PA=AD=2點(diǎn)M N分別在棱PDPC上，且 P

8、CL平面 AMN.(1) 求證：AML PD(2) 求二面角 P AM- N的大小；求直線CD與平面AMN所成角的大小用心愛心專心6用心愛心專心#3、如圖，平面 ABC丄平面 ABEF ABCD是正方形,ABEF是矩形，且AF1 -AD 2a, G是用心愛心專心#BEF的中點(diǎn),(1 )求證平面 AGC_平面 BGC(2 )求GB與平面AGC所成角的正弦值 (3 )求二面角 B- AC G的大小.4、如圖，在正方體 ABCD A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中點(diǎn)，H為平面EDB內(nèi)一點(diǎn)，H62m, 2m, m (m 0)。(1) 證明HG 平面EDB ;(2) 求BC1與平面EDB所成的角；若

9、正方體的棱長(zhǎng)為 a，求三棱錐A EDB的體積。用心愛心專心#1、證明(1)! '-'PB丄底面 ABCr -PB丄AC 又ZBCA-90zAU丄平面PBC又.ACU平面PAC,平面PAC丄平面PBC馨 設(shè)FE的延長(zhǎng)統(tǒng)與AC的延長(zhǎng)線去于XL連、皿則MB背平面醫(yī)F石平面ABU的交線在平面PC料中，由已知E是PC的中屆F是PA聞四等分點(diǎn),7取呂C的中點(diǎn).H,則£H PB,.IEH丄底5 .ABC過H作HO丄田于0,由三垂狂定理+ EO±MB 則ZEOH肉平而弓EF與底而ABC所成二面坤的平而角<51在 RtBCM 中,HO a，在RtEHO 中，.EHa10

10、2eh廠tan EOH5HO即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為 arctan 5若利用面積射影法，指出 HDB是厶EFB在底面ABC上的射影，并計(jì)算出其面積S射影 丄a27分 計(jì)算出S efb 6 a216 16cosS射影S EFB即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為 arccos62、( 1)證明： ABCD是正方形， CDLAD,/ PAL底面 ABCD： PAL CD. CDL平面 PAD/ AM 平面 PAD, CDLAM./ PCL平面 AMN： PC! AM. AML平面 PCD. AML PD.(2)解：T AML平面 PCD(已證). AML PM AML NM

11、. / PMN為二面角P-AM-N的平面角./ PNL平面 AMN： PNL NM.在直角 PCD中，CD=2, PD=2,2 , PC=2 3 ./ PA=AD AML PD z.M 為 PD的中點(diǎn)，PM= PD22由 Rt PMN Rt PCD 得CD PMPCcos( PMN)MNPMCDPC22.3PMN3即二面角P AM- N的大小為arccos 用心愛心專心8用心愛心專心#曲(厶URV) =.LV _ 忑冠=FC3）解：延氏XXL CD交于點(diǎn)E一TPC丄平面ASM 二疋為CF在平面AA1N內(nèi)的射慝 匚（即與平在AA1N所成的角 'CD丄衛(wèi)D, EX_LPXS 2CEN=ZX

12、fPN.在 RtAPMX 中*JJZP.V g (0.ZA£P.V= arc sin用心愛心專心#二CD與平面山IX所成的甬的大小為orcsiii用心愛心專心#3、( 1)證明：正方形 ABCD CB AB 面 ABCL面 ABEF且 交于 AB, CBL面 ABEF / AG GB 面 ABEF CBLAGCBL BG用心愛心專心9又AD=2a, AF= a , ABEF是矩形，G是EF的中點(diǎn), AG=BG=2a , AB=23, AB2=aG+bG,. AGLBG v CGH BG=B. AGL平面 CBG 而 AG 面AGC 故平面AGC_平面BGC在 Rt ABC 中，BOBOHarcsi£3(2)解：如圖，由(I)知面 AGCL面BGC且交于 GC在平面 BGC內(nèi)作BHLGC垂足 為H,貝U BHL平面 AGCBGH是GB與平面 AGC所成的角在 Rt CBG 中 BHBC BGBC BG23a又 BG= 2aCG.BC2BG23'BH6 sin BGHBG3(3)由(叮知，BHL面AGC作BCL AC 垂足為 O,連結(jié)HQ貝U HOL ACBOH為二面角B AC-G的平面角在 Rt BOH中 ,sin BOH 聖 6BO 3i即二面角B AC G的大小為