第十三章麥克斯威方程

1、第十三章麥克斯威方程對電和磁的興趣由來已久。正式發(fā)表的關于電的第一條定量定律是庫侖定律（C. A.Coulomb ,1785 ）。1820年奧斯特（Oersted，丹麥）發(fā)現(xiàn)通電的導線對磁針有作用力。畢奧 -薩伐爾確定了這個力正比于電流強度，反比于導線與磁極的距離。與此同時安培（Amper e）把磁性歸結為電流和電流的相互作用，提出安培定律。但安培被自己提出的超距作用的分子電流假說所迷惑，沒能夠發(fā)現(xiàn)電磁感應現(xiàn)象。這個對形成電磁場的概念致關重要的現(xiàn)象在 1831年被法拉第（Friday ）發(fā)現(xiàn)。法拉第創(chuàng)建的力線和場的概念是意味深長的。麥克斯威（Maxwell , 1965）在此基礎上建立了電磁場

2、的完整理論，麥克斯威方程。13.1場方程讓我們把上一章真空中穩(wěn)恒電磁場的公式歸納一下:(13.1)(13.2)2 1' c(X)c(X)%、2AaC A)=70ja下標c和a強調該量與靜止電荷和穩(wěn)恒電流相聯(lián)系。上述公式僅當電磁場不隨時間變化時成立,.:t(13.3)(13.6)(13.7)隨時間變化的電磁場滿足什么樣的方程呢？相對論的協(xié)變性可以引導我們猜出正確的 結果?；貞浀诰耪掠呻姾墒睾愕玫降倪B續(xù)性方程（9.29 ）式(13.4)其中四維矢量算符(13.5)而四維位移矢量定義為/ 1、XX2 Xy3XX4<X丿Qct在（13.4）式中定義了/.1j，Z jx.2 jjy.3 j

3、jz.4 <jJcP連續(xù)性方程的協(xié)變性要求上式定義的j是一個四維反變矢量，稱為四維電流密度矢量。因此在洛倫茲變換下，電流密度和電荷密度混合在一起，如四維位移矢量一樣變換。從（13.1）和（13.2）式看到電勢和矢勢分別與四維矢量的時間分量和空間分量對應。這提示我們把（13.1 ）和（13.2）式寫成時間和空間分量對稱的形式。首先，為了把（13.1）式和（13.2）式統(tǒng)一成一條四維矢量方程，（13.1）的左邊要寫成-.二0j4 -0（icT），即在（13.1）兩邊乘以i/c，(13.8)4 c -ic：、c(x)-pC和（13.2）式對比，可以認出矢勢 A和“電勢”（r: /c）要構成一個

4、四維矢量。引入四維勢A1，其各個分量定義為A-A2A3A3-(13.9)我們四維勢對非穩(wěn)恒電磁場也適用，所以式中沒有下標c和a。（13.1 ）和（13.2）式的拉普拉斯算符是三維伽利略標量算符，在相對論協(xié)變理論中要 推廣為四維標量算符（達朗貝爾算符），(13.10)因為我們的討論僅局限與平直時空，有x"二X|和"二-：J，可以不區(qū)分上指標和下指標。但我們還是盡量保留上下指標，以便于檢查方程的正確性。另外（13.2）式中的矢勢散度I A在相對論協(xié)變理論中也要寫成四維標量弋 AT= A-L'Sic& <c 丿(13.11)其中重復指標隱含求和。如不特別聲明

5、，以后我們都采用這種約定。 至此，（13.1 ）和（13.2）變成相對論協(xié)變的形式，-：2Aoj4（ 13.12）FA=-卩0 j， i =1,2,3（ 13.13）兩式還是寫不成一個統(tǒng)一的四維矢量方程，原因是（13.12）式的左邊少了一項。為了物理的美，所有人都會毫不猶疑地嘗試在（13.12）式的左邊添上- '（j.iiA亠），它是電磁場的時間導數(shù)，對穩(wěn)恒電磁場它等于零。于是（13.12）和（13.13）可以合寫成緊湊的一條四維矢量方程，；：2A' （：A）-0廣（13.14）這就是我們所尋找的電磁場的場方程，它被實驗證明是普遍適用的。 對穩(wěn)恒電磁場，容易檢驗（13.14）式

6、可以重新回到（13.1 ）和（13.2）式。方程左邊第二項的重復指標 J隱含著求 和。相對論協(xié)變性要求四維勢是一個（反變）四維矢量。如果已經肯定（13.9）式定義的四維勢是一個四維矢量，事實上（13.14）式是唯一的與穩(wěn)恒電磁場方程（13.1 ）和（13.2 ）式一致的相對論協(xié)變的場方程。特別值得一提的是， 方程（13.14）和電荷守恒是一致的。取該式的散度，易見左邊恒等于零，由此得到電荷守 恒的連續(xù)性方程（13.4）式。13.2規(guī)范不變性上節(jié)得到的場方程（13.14）式具有一個重要的不變性一一規(guī)范對稱性。電磁場的規(guī)范 變換為A ；j 丄，J = 1,2,3,4（ 13.15）其中（x）可以是

7、任意的可微的時空函數(shù)。把a'=A'丄-京乂代入（13.14）得：2a也*2 ：丄 _ 4 a-0j"即妝門-'A -0廠、（13.16）它形式上和（13.14） 一樣。因此規(guī)范變換前后的四維勢A合A同是電磁場方程的解。如果規(guī)范變換不影響邊界條件合界面條件，那么規(guī)范變換前后的四維勢描寫同樣的電磁場。物理可觀測結果在規(guī)范變換下保持不變稱為規(guī)范對稱性。二十世紀關于基本相互作用的研究與規(guī)范對稱性及其推廣有緊密的聯(lián)系。現(xiàn)在人們普遍愿意認為規(guī)范對稱性是基本相互作用的普遍對稱性，從而把它上升為一個物理基本原理。規(guī)范不變原理：由（13.15）式聯(lián)系起來的四維勢 A和A對應同樣

8、的電磁場。規(guī)范不變原理意味著不能通過物理測量發(fā)現(xiàn)A和A的差異，只有規(guī)范不變的量（在（13.15）式的變換下不變）才是物理上可測量的量。當四維矢量作規(guī)范變換時，所有的物 理量和物理規(guī)律保持不變。實際應用時，為了簡化計算常常對四維勢的規(guī)范任意性加以限制， 限制條件稱為規(guī)范條件。物理結果應該和特殊的規(guī)范條件的選擇無關。規(guī)范不變原理的一個重要的后果是場方程（13.14）式中不能出現(xiàn)正比于 A”而不含導數(shù)的一項。如下式是沒有規(guī)范不變性的，f2A_ 小 l.A' m2A二（ 13.17）在場論中，新加進去那一項稱為質量項。因此規(guī)范不變性不允許 A這就是泡利對楊-Mills場的著名質疑：傳遞強相互作

9、用的場應該具有質量，如何能夠用規(guī)范不變的場來描寫？這個問題后來由 Higgs真空破缺機制解決。場具有質量1°光子沒有質量是規(guī)范不變性的自然要求。常用的規(guī)范條件有：'、A=Q(13.18)(1 )庫侖規(guī)范(2) 洛倫茲規(guī)范二 0(13.19)(3) 時性規(guī)范(temporal gauge)A4=0(13.20)規(guī)范條件的共同特點是本身沒有(完整的)規(guī)范對稱性。在三種規(guī)范中只有洛倫茲規(guī)范具有洛倫茲協(xié)變性。在洛倫茲規(guī)范條件下，場方程有簡潔的協(xié)變的形式，2:A - - '0 j(13.21)13.3麥克斯威方程然而如果不知道四維勢和電荷受力的關系，場方程(13.14 )或(1

10、3.21)僅是一個形式理論。要明確它的物理意義必須和電磁場對電荷的作用力聯(lián)系起來。也就是說，要把四維勢和電場強度和磁感應強度聯(lián)系起來。對于磁場，第十二章已經假定有普遍的關系式(12.40)式，(13.22)易見此式右邊在規(guī)范變換下不變，和磁感應強度是一個物理可觀測量相適應(按照規(guī)范不變原理，B在規(guī)范變換下不變)。對于穩(wěn)恒電場的特殊情形，有上一章的(12.7)式Ec - c 二 ic，A：(13.23)如果推廣到非穩(wěn)恒情形，允許與時間有關的規(guī)范變換，A A4，則(13.23)的左邊成為(13.24)對非穩(wěn)恒(13.25)(13.26)(13.27)ic'A4 ic'A4 icJ它

11、不具有規(guī)范不變性，和規(guī)范不變原理要求電場E在規(guī)范變換下不變不相適應。電磁場，為了抵消(13.24 )的第二項，嘗試把(13.23)推廣為E 2 A4 a；：A對上式作規(guī)范變換，E =ic、A4 a：；A =汐(A4：】)a：4(A)二 ic'、A4 a：；A (ic a)：；'= E (ic a)：；'、可見規(guī)范不變原理要求a - -ic因此，四維勢和電場的一般關系為aq nEA（13.28）對它取散度，利用（13.22）得a n'、EB（13.29）ct上式說明變化的磁場可以產生電場，而且這種電場的旋度不等于零，這就是電磁感應現(xiàn)象。注意，由于非穩(wěn)恒電場的旋度不

12、等于零，電場力不再是保守力，因而標勢也失去了勢能函數(shù)的含義。場方程的第4個分量，擊A -總（EpA=Poj4（ 13.30）簡化后即A 二-丄（ 13.31）乙：:t；o應用（13.28）式得- 1E（ 13.32）可見高斯定律是普遍成立的。2 - 場方程的前三個分量即（13.13）式。禾U用恒等式I C A）C 人）-、A，可以將（ 13.13）式簡化為'、c A）二 2 A 二0j（13.33）c ctc ct利用（13.22）和（13.28）,上式寫成'、' BE 二 j（13.34）c :t前述關于電磁場的互相獨立的普遍公式小結如下：N& 乂E'

13、 B（13.35）-1- 1 E（13.36）1'、2 丄 E（13.37）C員I B =0（13.38）這組方程就是著名的麥克斯威方程組，它是電磁場的基本方程。從克斯威方程組的積分形式可以更直觀地看到它的意義。（1）方程（13.35 ）式在一固定曲面S上對之積分，Il G E） dsB ds（13.39）sC s應用斯托克斯公式于左邊，得：E dl（13.40）S;t其中: iiB ds是通過曲面 S的磁通。上式左邊是曲面邊界環(huán)路的感生電動勢，即單位S電荷沿環(huán)路走一圈的過程中電磁場對電荷做的功。如果環(huán)路為金屬導線，變化磁通感生出的電動勢便會在導線上形成電流。這就是法拉第 1831年發(fā)

14、現(xiàn)的動磁生電現(xiàn)象。（2）方程（13.36 ）式它是庫侖定律的推廣，普遍地適用于穩(wěn)恒和非穩(wěn)恒電場。這個公式稱為高斯定律，表明電荷是電場的一種源。在區(qū)域V對方程兩邊積分，利用高斯公式把左邊得體積分變成閉合曲面積分，得- _1 3Edsd3x（13.41）V；0 V它表示通過閉合曲面得電通量等于閉合曲面包含得電荷除以真空介電常數(shù)。（3）方程（13.37 ）式此式表明，電場強度的時間變化率對磁場的貢獻和電流一樣。麥克斯威首先注意到這一點，并把該變化率稱為位移電流密度，jD = ；0 - tE（13.42）這一項對認識電磁波至關重要。在一固定曲面S上對（13.37）積分，并應用斯托克斯公式于左邊得B d

15、l 二 I H： j - Jd ds（13.43）SS它表明磁場沿一曲面邊界的路徑積分等于電流和位移電流通過該曲面得通量之和乘真空磁 導率常數(shù)。對（13.37）取散度，- 1Ofc利用（13.36）式，便得到電荷守恒對應的連續(xù)性方程（13.4）式。（4）方程（13.38 ）式在一空間區(qū)域對方程積分，應用高斯公式化成沿區(qū)域封閉界面的積分，得i i B ds =0（13.44）&它反映了磁荷（磁單極）不存在的事實。假如存在磁荷，麥克斯威方程會是怎樣的呢？狄拉 克曾對此作了深入研究。但磁荷至今沒有被發(fā)現(xiàn)。方程組（13.40），（ 13.41 ），（ 13.43）和（13.44）是麥克斯威方程

16、組的積分形式。在電荷 密度和電流密度不連續(xù)的區(qū)域也可以使用積分形式的麥克斯威方程組。12.5電介質模型和理想導體相反的是電介質，其中沒有可以作宏觀移動的自由電荷。我們現(xiàn)在討論的電磁現(xiàn)象都是關于宏觀對象的，涉及的強度量都是對宏觀小、微觀大的小體積平均后的宏觀物 理量。被原子束縛的電子活動范圍非常?。?埃左右）并且極快地運動著，所以在宏觀尺度不能顯示出來近十多年興起的介觀物理研究的尺度在納米到埃之間，在這個尺度微觀運動變得重要了。需要考慮到電 子的量子行為（下冊第四篇）。電介質的一個簡單模型假設沒有外電場時電介質內部不出現(xiàn)宏觀電流分布，其內部的宏觀電磁場也等于零。 加上外電場之后，電介質中的帶電粒

17、子受到電場的作用，正負電荷發(fā)生相對位移，或者極性分子（原來正負電荷中心不重合的分子）的取向從無規(guī)狀態(tài)變成有一定頃向性的狀態(tài)。這就是電極化現(xiàn)象。由于發(fā)生了電極化，電介質內部不均勻處和表面便出現(xiàn) 宏觀的電荷分布。我們稱這種電荷為束縛電荷。束縛電荷反過來會激發(fā)出電場，使電介質極化的電場實際上是外加電場和束縛電荷激發(fā)的電場之和。自由電荷密度和束縛電荷密度分別記為6和 訂。由高斯定律，；oE - I 訂（12.59）束縛電荷密度是難以直接計算和控制的，因此通常引入電介質的物性參數(shù)來描寫束縛電荷的效應，盡量在基本方程中消去。把電介質想象成很多微觀的電偶極子的集合pj ?。宏觀電偶極矩分布用電極化強度P描述

18、，它等于物理小體積V內總微觀電偶極矩與小體積之比（參見圖12-8），-送PiP =-（ 12.60）AV圖12-8.方盒子為物理小體積V，l為假想的電偶極子的電荷位移。ds是正在考慮中的界面。設電偶極子的數(shù)密度為 n，并假想電偶極子的電荷位移為I，則跨過小體積V的界面微元ds的電偶極子數(shù)目微 nl ds。每一個這樣的電偶極子都把一個正電荷留在界面的外側，故 留在界面外側的總電荷量為對 V的邊界S積分，得到小體積內電荷量（等于留在外面的電荷量的負值）?pd3(12.62)r - -： P ds - - C P）d3rS.V最后一等式用了高斯公式。因此，(12.63)代入（12.59）式得對各向同

19、性得均勻電介質,(12.64)最簡單得模型是假設 P正比于電場E。定義其比例系數(shù)為e ；0，稱e為電介質的極化率。引入一個輔助場電位移矢量(12.65)其中丫稱為相對介電常數(shù),；稱為電介質的介電常數(shù)。利用電位移矢量,(12.64)寫成;0E P = ；0 (1-'e) E 三.0 ;r E 三.E(12.66)利用高斯公式把矢量場散度的體積分變成矢量場沿區(qū)域邊界的在任意空間區(qū)域對上式積分， 面積分，得到（12.66）的積分形式,i-i D ds = Q fS上式是適用于電介質的高斯定律。引入介電常數(shù)；可以使我們在計算電介質靜電場時避免涉及電介質內部極化的細節(jié)。需要指出的是，（12.65

20、）式只在緩慢變化的外場下對某些介質近似適用。對高頻電磁場，介電 常數(shù)一般明顯依賴于頻率。對各向異性的系統(tǒng)要把（Di八；叵，j如12.65 ）式推廣為i, j =x,y,z(12.67)(12.68)對非線性電介質，需要考慮高階項,DTjijEj、；jkEjEkj,k(12.69)在電介質的界面，等價于（12.75 ）和（12.78 ）有關于電勢的邊界條件（習題），'2 一:n(12.79)1(12.80)（12.79）式中的亠表示沿法向求導數(shù)。對靜電問題，通常求電勢比較方便。電勢滿足泊松方程（ 荷為零，故（12.8）可寫成12.8）。在均勻介質內束縛電2 .' f'、

21、（12.81）；0在界面，電勢滿足邊界條件（12.79）和（12.80）。要完全確定電勢解，除了（12.81）和界面條件外，還要確定邊界條件。靜電問題的唯一性定理（參閱電動力學，郭碩鴻，人民教育出版社）：設區(qū)域 V內網I的自由電荷分布 6給定，在V的邊界:V上再給定電勢 V或電勢的法向導數(shù) ，則 創(chuàng)I淨區(qū)域內的電勢被唯一地確定。區(qū)域內存在理想導體時，導體的邊界條件可以有兩種選擇：給定每個導體的電勢或者給定每個導體總電荷。；1的電介質在左邊，介電Q,球殼接地，半徑為 a。 例12.6同心導體球和球殼之間填滿兩種電介質，介電常數(shù)為常數(shù)為名2的電介質在右邊（圖 12-11）。中間的導體球帶電荷求電場

22、和球殼上的自由電荷分布。圖12-11.同心導體球和球殼。左介電常數(shù)；1 （ ；2）的電介質。（右）邊填解：兩介質的界面無自由電荷，故（ 向電場連續(xù)，12.75）導致法向電位移矢量連續(xù)，而（12.78）導致切Dm 二 D2n，E1t = E2t（例 12.24）電場要和導體表面垂直，讓我們嘗試徑向電場，設左右兩半球的電場分別為E fdr）?，E2 二 f2（r）?（例 12.25）（例 12.24）第其中f1（r）和f2（r）是兩個只依賴于半徑的待定函數(shù)，他們必須相等才能保證 二個式成立，所以 £ = f2二f （r）。根據(jù)電介質的線性模型，電位移矢量為D1 二；也 二 /（r）?,D

23、2 二；2E2 二 J（r）?（例 12.26）在包圍導體球的半徑為 r的同心球面（圖12-11中點線圈）上應用高斯定律，記左（右） 半球面為S1（ S2），11 D ds -£ ds 亠 i i <-2E2 ds=Q（例 12.27）sqs2把（例12.25）代入上式得Q - M ! f （r）r2sinvdW；亠？.2 h f（r）r2sinvdvdSiS2（例 12.28）2=2- （；i；2）f （r）r因此f（r） =Q22二（r 亠：2）r（例 12.29）于是在（例12.25）式的徑向電場假設下得到電場為（例 12.30）球殼接地，意味著它的電勢是固定的；又給定了

24、導體球的電荷，故本題符合唯一性定理的條件。解（例12.30）滿足所有界面條件和邊界條件，根據(jù)唯一性定理，它就是所求的電 場。導體內部電場和電位移矢量等于零。根據(jù)（12.75），左邊導體殼上的自由電荷面密度為=D1?= “E r?|r=a =mQ22二（“；2）a（例 12.31）同理，右邊導體殼上的電荷自由電荷面密度為二f 二 D2?= ；2E l?|r（例 12.32）例12.7半徑為a，介電常數(shù)為；的介電球置于均勻外電場E0中，如圖12-12，求電勢、電場、介質球的極化強度和電偶極矩。圖12-12.均勻外電場中的介質球。'、2 0解：因為在所考慮空間不存在自由電荷，電勢滿足拉普拉斯

25、方程（沒有源的泊松方程）（例 12.33）以球心為原點，沿外電場方向作 Z軸。讓我們先討論拉普拉斯方程軸對稱性解的一般形式。拉普拉斯方程有兩個簡單的特解：（1 ）處于原點的點電荷產生的電勢（此解在原點奇異，故定義域不包含原點）；（2）Z方向均勻電場對應的電勢。這兩個解的數(shù)學形式為，F(xiàn)（r）二1（例 12.34）r:1（2） （r） = z = r cost（例 12.35）因為二n詁八 2-：2 n側 12.36）:z: z所以，如果是拉普拉斯方程的解，則匚也是拉普拉斯方程的解。 應用于特解（例12.34），:z:01）得到一系列新的特解,（例 12.37）1 .2 COS T r譏）二7亠2

26、jz23cos v -13r（例 12.38）. 1計° （r ） F R （COST）（例 12.39）r函數(shù)Pn（COS）是著名的勒讓德多項式，適當選擇系數(shù)可以寫成前面幾個多項式德表達式如下,Pn（COS）二dn2n n! d （cos）n（例 12.40）（例 12.41）并非所有獨立的解都可以寫成（例P （cos 二）=COS 二（例 12.42）12F2（cosT（3 cos 二 -1）13F3（cos）（5cos J -3cosR（例 12.43）（例 12.44）12.39）的形式，例如特解（例12.35 ）就不行。為了得到所有可能形式的解，讓我們討論拉普拉斯方程的特點

27、。在球坐標下, 2 _ 1 ：一 2 ：一 1 1 :rsin 二2 aa2. 口 嚴口 Bl 2.2口2r r -r r sin 二 二 r r sin -（例 12.45）=R(r)0(旳代入(12.33)得到0)4> r2R(r) R(r) si門二幺。(旳二。 r2 dr drr2sin日 d日d日兩邊除 R(r)4(r)/r2 ,(例 12.46)(例 12.47)1 d 2 r R(r) dr"4（丁）sin 丁 喬si門二 喬匕（'）二-(例 12.48)其中：與r和二都無關，是一常數(shù)。因此，拉普拉斯方程分解成徑向方程和角度有關的方程，r2 R（r） -

28、： R（r） = 0（例 12.49）dr drsindd-P(旳匕 si n 覽:()=0(例 12.50)從（例12.49）看到，徑向函數(shù) R（r）微分兩次再乘r2必須和原來的函數(shù)形式一樣，所以它具有形式kR(r) =rk(例 12.51)代入（例 12.49）得 > -k（k 1），（例 12.50）成為plsin)心(旳 k(k 1) si門坨=0(例 12.52)（例 12.39）的解對應k二-n -1，即二n（n 1），其角度函數(shù)（勒讓德多項式）滿足,plsin d Pn(cos* n(n 1) s in rPn(cosr) =0 d日(例 12.53)其中n =0,1,2,

29、3/ o如果（例12.51）中的k取正整數(shù)（如特解（例 12.35）對應k= 1），注意到（例12.52 ）和（例12.53）具有相同的形式，可知角度函數(shù)魚旳二Pk（COSd）。于是我們得到另一形式的解，k2)(r) =rkPk(cos 旳(例 12.54)可以證明，如果 k不是整數(shù)，則方程（例 12.52）的解是一無窮級數(shù)，而且再 v -0,二是發(fā)散。因此對于物理解，k必須是正負整數(shù)或零。因為拉普拉斯方程是線性齊次的，任何解的線性疊加仍然是方程的解，所以拉普拉斯方程的軸對稱解的一般形式為，：(r)八一n =0nanrb百PnT(例 12.55)記介質球內的電勢為;：（1）,球F面我們通過界面

30、條件和邊界條件確定本題待求的電勢。外的電勢為（門廠+為|Pn（cosT）n*r丿2（r）八 Cnrn 出 Pn（cosr）n衛(wèi).r首先注意到再介質球內包含原點，而電勢在球內必須有線限，所以在介質球內n =0,1,2,，故（r）二 anpcos"n =0對介質球外的解，在無窮遠處電場等于外加電場E0，即（2）（r）_ j E0rcosv - -E0rP1（co）與（例12.57）比較知，在介質球外面,Cnn1 =°故介質球外面的解為八；d（r）工E°rP1（cosd）亠二 詁 Pn（cos） n=9 r剩下的待定系數(shù)an和dn要由界面條件確定。根據(jù)（12.79）和（

31、12.80），:：（2）0.:rr =a:=S；=rr =a（r）| 八（r）|y把（例12.56）和（例12.57）代入上兩式并比較 R（COS日）的系數(shù)得比較Pn（cosr） , n = 1，的系數(shù)，得an In廣dn In廣0。從（例12.64 ）和（例 12.56）（例 12.57）0 =0，（例 12.58）（例 12.59）（例 12.60）（例 12.61）（例 12.62）（例 12.63）（例 12.64）（例 12.65）12.65）中解小1 =J-03E°a二亠 2 ;03 ；0a1 -Eo二亠 2 ；0（例 12.66）（例 12.67）最后得到所求得電勢解為

32、（r）二II改用柱坐標，"Z）:a在柱坐標中，'-=e?'：cP-E0r cost-EoZr cost3 ；o Eo 三亠2 ；0；20Eoa'cosv2r（例 12.68）球內的極化強度為因為電場在球內是均勻的, 體積乘極化強度，它在球外引起的電勢由例23£oEo z二亠 2 ；0；-；oE°a z；2o （；亠 z）&乜7Z，所以電場為，3 名o Eo；2。7 +E°a3（P22z2）?"0 ；2o （2 z2）5/2 ?；-o3E°a'z：e?_；2o（2Z2）5/2?Eor _ ar a

33、r _ ar a（例 12.69）（例 12.70）（例 12.71）所以極化強度也是均勻的。故介質球的電偶極矩等于球的4 a33_ 4（- ；。）；°a；2。Eo（例 12.71）（例12.11 ）式給出,p（r） % a3E° r ；2° r3（例 12.72）這正是（12.68）或（12.69）式ra區(qū)域電勢的第二項。13.4電磁場邊值關系12.6電介質的界面條件跨過電介質界面作一個很小的垂直界面的扁平圓柱形高斯面如圖12-9。根據(jù)高斯定律，；（/卜1 E ds =QfQp（ 12.70）S其中Qf和Qp分別為高斯面包括的界面自由電荷和束縛電荷。圖12-9.

34、兩種介質的界面。Ej和E2分別為界面處介質1和介質2中的電場。?為法向單位矢量。取側面高度趨向于零，則側面對（12.70 ）式的曲面積分沒有貢獻。因為高斯面很小，曲面上下面的電場可認為是均勻的。（12.70）式成為；o（E2 -EJ nS=Qf Qp（ 12.71）引入表面自由電荷密度 -f =Qf/S和表面束縛電荷密度 二p =Qp/S，上式寫成；o（E2 -EJ二 p（ 12.72）又從（12.62）知道，束縛電荷可以寫成電極化強度P沿閉合曲面積分，I I P dS 二-Qp（ 12.73）S取側面高度趨向于零，則側面對（12.73 ）式的曲面積分沒有貢獻。因為高斯面很小，曲面上下面的電極

35、化強度 P可認為是均勻的，于是（P2 -R） ?= f（ 12.74）代入（12.71 ）得0 E2 - E1 ?=匚 f - P2 - R n?D2 -Djr? - ； f（12.75）。直接應用（12.66）式也可以得到L,如圖12-10。因為靜電場的旋度（12.76）E1tsoE? + P2 卜(昴巳 + R )Lr?=<Tf這是關于電位移矢量的邊界條件（對非靜電場也適用）（12.75）式?？邕^界面作一很小的垂直界面的狹長矩形閉合回路 等于零（見（12.3）式），電場沿回路積分等于零，:E dr =0Lr?圖12-10.跨過介質表面的閉合回路。取回路垂直界面的邊長趨向于零，并設平行

36、界面的邊長很短，上下邊的電場可認為是 均勻的，（12.76）式成為(12.77)(12.78)E2 洛 l =0因為丨與法向單位矢量 ?垂直，所以上式也可以寫成E2 - E1? = 0此為界面上靜電場的第二個邊界條件。13.4電磁場的能量和能流電磁場是一種物質，它本身應該具有一定的能量。帶電粒子在電場中加速，能量增加， 增加的能量應該來自于電場。在下一章我們將學到，帶電粒子速度變化時會發(fā)射（或吸收） 電磁波。因此能量可以在帶電粒子和電磁場之間轉移。在只有帶電粒子和電磁場的系統(tǒng)中， 我們相信兩者的能量之和是守恒的。假設電磁場的能量以某種方式分布在空間各處，弓I入能量密度w（x,t）來描寫能量的分

37、布。當電磁場隨時間變化時，可以想象空間各點的能量也隨之變換。我們進一步假定能量是定域守恒量，即空間一區(qū)域的能量變換必須通過伴隨著能量輸?shù)姆较?，它的大小等于單位時間流過與它的方向垂直的單位面積的能量。根據(jù)第十一章的洛倫茲力公式（11.22）,體積微元di中速度為V的帶電物質受到的電 磁作用力等于df = E V Bd .（13.45）其中r為該帶電物質的密度。電磁場對空間區(qū)域V中的帶電物質作功的功率為v df ： |H Ev B vd. = ：?v Ed. = j Ed.（13.46）VVVV按照能量密度的定義，區(qū)域內電磁能量的增加率等于d .wd .（13.47）dt V按照能流密度的定義，單

38、位時間內通過區(qū)域的界面流入區(qū)域的能量等于i：iS ds - - '- Sd.（13.48）VV式中；:V表示區(qū)域V的界面，方向規(guī)定為指向區(qū)域的外部，故式中有一負號。根據(jù)能量守恒，（13.48）等于（13.46 ）與（13.47）之和,_ - - d一 Sdi = J j Edi 十一Jwdi（13.49）VVdt V因為區(qū)域V是任意的，故有微分方程'、S 丿=-j E（13.50）:t為了猜出 w和S的表達式，通過麥克斯威方程用電磁場表示（13.50）式的右邊。由（13.37 ）得一 -1- ej E E I B 1- ；°E（13.51）%ct利用矢量公式'

39、 a b =（'、 a） b-a （、b），上式化為(13.52).:tj E 斗 h E B E B L ；0E :E %利用（13.35）把中括號中得第一項寫成磁場得變化率，1和-E B-:E；:t(13.53)代入（13.50）；°E2_0并比較兩邊，發(fā)現(xiàn)電磁場能流密度和能量密度得一種可能得選擇為-1 -S E BLL'_0(13.54)；oEB22% 昔 E2(13.55)由（13.54）式定義得矢量稱為坡印亭矢量。需要指出的是，以上兩式給出能流密度和能量 密度僅是一種最簡單的可能選擇，存在滿足能量守恒關系（13.50）的有其它解。至今還沒有實驗檢驗電磁場能量

40、的確切分布和流動情況。13.5電磁場理論本節(jié)我們把電磁場理論納入第二篇介紹的力學框架，即以最小作用原理為第一性原理， 從新建立電磁場的經典理論。（1 ）場強張量四維勢滿足的場方程（13.14 ）可以寫成,i A - A 二一"oj、（ 13.56）為了方便以后表述，在上式中我們對（13.14）的上下標作了調整本書選擇的度規(guī)張量是 4乘4單位矩陣，即g、.二g兒二：丄，因此張量的指標可以隨意提升和下降。 文中用上下標來強調求和的重復指標。定義四維場強張量F：二X. 一（ 13.57）利用場張量，場方程被寫成（ 13.58）容易驗證四維場張量的重要性質一一規(guī)范不變（習題 13.1 ）。因

41、此，場張量的分量是可 以測量的物理量。事實上它的分量可以和電場強度和磁感應強度聯(lián)系起來。利用（13.22）和（13.28 ）式，可以得到（習題 13.2）10B3_ B2iE1c_ B30B1iE2F =B2_ B10ciE3ciE1iE2iE30一 ccc(13.59)它是一個反對稱的 4乘4矩陣，也稱為法拉第張量 ”.矢勢A 相當于電荷空間的聯(lián)絡，?？耍‵ock）和外爾（Weyl）把法拉第張量解釋為電荷空間的曲率張旦。電磁場張量按張量的一般變換方式變換，F(xiàn)= a：a.：F；（ 13.60）其中a :為洛倫茲變換矩陣。由（13.60）不難得到電磁場場強在兩個慣性系之間的變換方式,E = E

42、，B/ 二 B/(13.61)(13.62)E =Y(E +xB)|, B=Y BpXE i丄丄，丄I c2丿丄其中=1/ .1-v2/c2。（2 ）對偶變換真空中電荷密度和電流密度均等于零，因此真空麥克斯威方程組為'、EB(13.63)孜、E =0(13.64)- 1 ：；-v B 2 e(13.65)C t(13.66)這組方程式隱藏著電場和磁場之間的對稱性，即真空麥克斯威方程組經變換E；cB， B-；1E（ 13.67）C之后保持原來的樣子。這個變換稱為對偶變換，真空電磁場的這個對稱性稱為對偶對稱性。對偶變換等價于場張量的變換E3cE2E3E2-iB1cc0旦-iB2cEi0-i

43、B3ciB2iB30(13.68)引入全反對稱Levi-Civita符號；：它當（川）是（1,2,3,4）的偶置換時等于1,是（1,2,3,4）的奇置換時等于-1，否則等于0?？梢宰C明Levi-Civita符號是一個4階張量。利用Levi-Civita符號，對偶變換可以寫成(13.69)1LVF -； F2i ； ' F因為Levi-Civita符號是張量，所以對偶場張量也是一個張量。易見，對對偶場張量作對偶變換得到- F。利用對偶場張量可以把麥克斯威方程組中的（詢二013.35）和（13.38）式寫成緊湊的形式,（13.70）如果用場張量來表示，上式可寫成(13.71)（13.70）

44、和與之等價的（13.71）是引入矢勢描寫電磁場所需要滿足的自洽條件。換句話說, 如果場張量F由（13.59）式定義，而其中的電磁場強度 E和B和矢勢的關系分別由（13.28）和（13.22）式給出，則（13.70）（即（13.71）成為恒等式，幾何學上稱為Bianchi恒等式。矩陣方程（13.58）加上（13.70）式和麥克斯威方程等價。這兩條方程有非常相似的形 式，尤其是對電流密度等于零（真空）的情形。如果有磁單極子，（13.70）的右邊將出現(xiàn)磁單極流密度，這樣（13.58 ）和（13.70）式便完全對稱。但這么一來，就不能自洽地引入矢 勢了。（3 ）作用量和場方程如第二篇第五章，電磁場的動

45、力學方程即場方程也可以納入最小作用量原理的框架。 對于一個定域的理論，作用量一般地可以寫成拉格朗日密度的四維時空積分。l=jLdt=l （x）d4x（ 13.72）拉格朗日密度（x）是基本自由度及其導數(shù)的標量函數(shù)。要寫出電磁場的拉格朗日密度，首先 要知道電磁場的基本自由度。我們至今介紹了兩套描寫電磁場的方案，一種方案采用場強E和B作基本變量，另一種采用四維矢勢 A卩（卩=1,2,3,4 ）。場強滿足麥克斯威方程組。麥克斯威方程組只含時間的一次微分，因此場強的演化由任意給定時刻的場強完全確定。每一空間點的電場強度和磁感應強度分別有三個分量，所以對每一空間點需要知道6個實數(shù)分量的初始條件。四維矢勢

46、有四個分量，但存在規(guī)范任意性。在一小區(qū)域內可取特定規(guī)范把規(guī)范任意性完全消除，剩下三個分量（例如取時性規(guī)范 A4 =0 ），故四維矢勢實際上只有 3個獨立分量。 關于四維矢勢的場方程是時間的二階微分方程，所以需要知道某時刻的三個獨立矢勢分量和他們的一階時間導數(shù)作為初始條件才能完全確定四維矢勢的演化?？梢?，至少就局部性質而言，場強和四維矢勢的自由度是一樣的。但已經知道存在不 能在全空間選取單一規(guī)范的情況，使得電磁場得一些大范圍整體性質不能用場強描述，而只能用四維矢勢來描述。場強不足以完全描寫電磁場，四維矢勢能完整描寫電磁場但又有多余的任意性。因為關于四維矢勢的場方程是時間的二階微分方程，選用四維矢勢為基本自由度可以 建立和質點力學類似的動力學。暫時不考慮規(guī)范任意性，認為電磁場的自由度為 A "（x）|=1,2,3,4;x V二其中V為電磁場存在的空間。拉格朗日量是拉格朗日密度的 空間積分，而拉格朗日密度是依賴于A*x）,二（x）和電流密度j "（x）的函數(shù)，L. （Al（x