直線與平面垂直的判定教學設計

1、直線與平面垂直的判定教學設計一、內容和內容解析直線與平面垂直的定義：如果直線與平面內的任意一條直線都垂直，就稱直線與平面互相垂直。定義中的“任意一條直線”就是“所有直線”。直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。定理體現了轉化的數學思想：將“直線與平面垂直”的問題轉化為“直線與直線垂直”的問題。直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中線線垂直位置關系的拓展，又是面面垂直的基礎，是空間中垂直位置關系間轉化的重心，同時它又是直線和平面所成的角等內容的基礎，因而它是點、直線、平面間位置關系中的核心概念之一。對直線與平面垂直的定義的研

2、究遵循“直觀感知、抽象概括”的認知過程展開，而對直線與平面垂直的判定的研究則遵循“直觀感知、操作確認、歸納總結、初步運用”的認知過程展開，通過該內容的學習，能進一步培養(yǎng)學生空間想象能力，發(fā)展學生的合情推理能力和一定的推理論證能力，同時體會“平面化”思想和“降維”思想。教學重點：直觀感知、操作確認，概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。二、目標和目標解析目標：理解直線與平面垂直的意義，掌握直線與平面垂直的判定定理。目標解析：1、借助對圖片、實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義。2、通過直觀感知、操作確認，歸納、概括出直線與平面垂直的判定定理。3、能運用直線與平面垂直的判定定理，證明與直線和

3、平面垂直有關的簡單命題：在平面內選擇兩條相交直線，證明它們與平面外的直線垂直。4、能運用直線與平面垂直定義證明兩條直線垂直，即證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面。三、教學問題診斷分析學生已經學習了直線、平面平行的判定及性質，學習了兩直線（共面或異面）互相垂直的位置關系，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數學結論”的體會，有了一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力。在直線與平面垂直的判定定理中，為什么至少要兩條直線，并且是兩條相交直線，學生的理解有一定的困難，因為定義中“任一條直線”指的是“所有直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導致學生形成理解上的思維障礙。同時，由于學生

4、的空間想象能力、推理論證能力有待進一步加強，在直線與平面垂直判定定理的運用中，不知如何選擇平面內的兩條相交直線證線面垂直（抑或選擇平面證線面垂直從而得到線線垂直）導致證明過程中無從著手或發(fā)生錯誤。教學難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。四、教學支持條件分析為了有效實現教學目標，條件許可準備投影儀，多媒體課件，三角板。學生自備學具：三角形紙片、鐵絲、三角板。五、教學過程設計（一）、觀察歸納直線與平面垂直的定義1、直觀感知問題 1：請同學們觀察圖片，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關系？你能舉出一些類似的例子嗎？設計意圖：從實際背景出發(fā)，直觀感知直線和平面垂直的位置關

5、系，使學生在頭腦中產生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數學抽象做準備。師生活動：觀察圖片，引導學生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內直立的墻角線和地面位置關系，桌子腿與地面的位置關系，直立書的書脊與桌面的位置關系等，由此引出課題。2、觀察思考思考：如何定義一條直線與一個平面垂直呢？我們已經學過直線和平面平行的判定和性質，知道直線和平面平行的問題可轉化為考察直線和平面內直線平行的關系 , 直線和平面垂直的問題同樣可以轉化為考察一條直線和一個平面內直線的關系，然后加以解決。問題 2：（1）如圖 1，在陽光下觀察直立于地面旗桿 AB及它在地面的影子 BC，旗桿所在的直線與影子所在直線位置關系

6、是什么？（2）旗桿 AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線 B1C1 的位置關系又是什么？設計意圖：引導學生用“平面化”的思想來思考問題，通過觀察，感知直線與平面垂直的本質屬性。師生活動：教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，引導學生得出旗桿所在直線與地面內的直線都垂直。3、抽象概括問題 3、通過上述觀察分析，你認為應該如何定義一條直線與一個平面垂直？設計意圖：讓學生歸納、概括出直線與平面垂直的定義。師生活動：學生思考作答，教師補充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞，定義是說這條直線和平面內所有直線垂直。同時給出線面垂直的記法與畫法。定義：如

7、果直線 l 與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線 l 與平面互相垂直，記作： l . 直線 l 叫做平面的垂線 ，平面叫做 直線 l 的垂面 直線與平面垂直時，它們唯一的公共點 P 叫做垂足 。畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖 2。4、辯析舉例辨析：下列命題是否正確，為什么？（ 1）如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線與這個平面垂直。（ 2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內的任一直線。設計意圖：通過問題辨析，加深概念的理解，掌握概念的本質屬性。由（ 1）使學生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”

8、的意思，定義的實質就是直線與平面內所有直線都垂直。由（ 2）使學生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質，線線垂直與線面垂直可以相互轉化。師生活動：命題（ 1）判斷中引導學生用鐵絲表直線，用三角板兩直角邊表兩垂直直線，桌面表平面舉出反例。 教師利用三角板和教鞭進行演示， 將一塊大直角三角板的一條直角邊 AC放在講臺上演示，這時另一 條直角邊 BC就和講臺上的一條直線（即三角板與桌面的交線 AC）垂直，但它不一定和講臺桌面垂直 . 在此基礎上在講臺上放一根和 AC平行的教鞭 EF并平行移動，那么 BC始終和 EF垂直，但它不一定和講臺桌面垂直，最后教師用多媒體課件展示反例的直觀圖，如圖

9、3。由命題（ 2）給出下列常用命題：這個命題體現了平行關系與垂直關系的聯系，它是判斷線線垂直的常用方法。（二）、探究發(fā)現直線與平面垂直的判定定理1、觀察猜想思考：我們該如何檢驗學校廣場上的旗桿是否與地面垂直？雖然可以根據定義判定直線與平面垂直，但這種方法實際上難以實施。有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？問題 4、觀察跨欄、簡易木架等實物，你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？設計意圖：通過問題思考與實例分析，尋找具有可操作性的判定方法，體驗有限與無限之間的辯證關系。師生活動：引導學生觀察思考，給出猜想：一條直線與一個平面內兩相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。2、操作確

10、認問題 5：如圖 4，請同學們拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過 ABC的頂點 A 翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸） . 觀察并思考：（1）折痕 AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？（2）由折痕 ADBC，翻折之后垂直關系，即 AD CD，ADBD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結論？設計意圖：通過實驗，引導學生獨立發(fā)現直線與平面垂直的條件，培養(yǎng)學生的動手操作能力和幾何直觀能力。師生活動：在折紙試驗中，學生會出現“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導學生進行交流，根據直線與平面垂直的定義分析“不垂直”

11、的原因。學生再次折紙，進而探究直線與平面垂直的條件，經過討論交流，使學生發(fā)現只要保證折痕 AD是 BC邊上的高，即 AD BC，翻折后折痕 AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強幾何直觀性。3、合情推理問題 6：根據上面的試驗，結合兩條相交直線確定一個平面的事實，你能給出直線與平面垂直的判定方法嗎？設計意圖：引導學生根據直觀感知及已有知識經驗，進行合情推理，獲得判定定理。師生活動：教師引導學生回憶出“兩條相交直線確定一個平面”，以及直觀過程中獲得的感知，將“與平面內所有直線垂直”逐步歸結到“與平面內兩條相交直線垂直”，進而歸納出直線與平面垂直的判定定理。 同時指出要判斷一條直線與一個

12、平面是否垂直 , 取決于在這個平面內能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關緊要的 . 定理充分體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉化的數學思想。定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。用符號語言表示為：4、質疑深化辨析：如果一條直線與一個梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面嗎？設計意圖：通過辨析，強化定理中“兩條相交直線”的條件。師生活動：學生思考作答，教師再次強調“相交”條件。（三）、直線與平面垂直的判定定理的初步應用嘗試練習 1、求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。設計意

13、圖：初步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運用線面垂直判定定理的條件。師生活動：學生根據題意畫圖（如圖 6），將其轉化為幾何命題：不妨設 aAC,aBC求證：aAB。請兩位同學板演，其余同學在練習本上完成，師生共同評析，明確運用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相交”的條件。嘗試練習 2、如圖 7，已知 ab，a，求證： b。設計意圖：進一步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直，體會轉化思想在證題中的作用，發(fā)展學生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。師生活動：教師引導學生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可用判定定理證，提示輔助線的添法，將

14、思路集中在如何在平面內內找到兩條與直線b 垂直的相交直線上。另外，再引導學生將已知條件具體化的過程中， 逐步明確根據異面直線所成角的概念解決問題。學生練習本上完成，對照課本 P73 例 1, 完善自己的解題步驟。同時指出：本例結果可以作為直線和平面垂直的又一個判定定理 . 這樣判定一條直線與已知平面垂直， 可以用這條直線垂直于平面兩條相交直線來證明，也可以用這條直線的平行直線垂直于平面來證明.嘗試練習 3：如圖 8，直四棱柱（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時，？設計意圖：能合理尋找平面證線面垂直從而得出線線垂直，體會轉化思想在證題中的作用。師生活動：學生思考討論，請一位同學用投影儀展示并分析其思路，教師參與討論。（四）、總結反思（1）通過本節(jié)課的學習，你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現的什么數學思想？（3）關于直線與平面垂直你還有什么問題？設計意圖：培養(yǎng)學生反思的習慣，鼓勵學生對問題多質疑、多概括。師生活